A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Capítulo 5- Estabilidade Cap 5 – Estabilidade Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Capítulo 5- Estabilidade Cap 5 – Estabilidade Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados."— Transcrição da apresentação:

1 Capítulo 5- Estabilidade Cap 5 – Estabilidade Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores INTRODUÇÃO AO CONTROLO 1º semestre – 2011/2012

2 Capítulo 5- Estabilidade Objectivo e Sumário Estabilidade de SLITs no sentido BIBO o Definição o Exemplos motivadores o A estabilidade e a localização dos pólos Critério de Routh-Hurwitz Exemplos Referências o Cap.3 (Secção 3.7) – do livro de Franklin, Powel, Naemi, 5ª edição (referência principal)

3 Capítulo 5- Estabilidade Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua m (s) a (s) Dinâmica da velocidade angular m (s) + _ k a (s) R (s) Esquema proposto de controlo Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ?

4 Capítulo 5- Estabilidade Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Como é a resposta a uma entrada de comando escalão unitário ? para Resposta forçada Resposta natural Transforma de Laplace unilateral inversa

5 Capítulo 5- Estabilidade Exemplo motivador (controlo veloc. motor corrente contínua) Escolha do ganho k do controlador A) k = 2 B) k = -2 Resposta natural tende para zero - sistema estável - Polo em –3 rads -1 (negativo) Resposta natural tende para infinito - sistema instável - Polo em +1 rads -1 (positivo) Resposta natural + resposta forçada

6 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO BI = Bounded Input BO = Bounded Output Sistema BIBO estável – sse para qualquer entrada limitada, a saída é um sinal limitado

7 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs) Localização dos pólos de G(s) determinam o comportamento qualitativo da resposta natural U(s)Y(s) Transformada inversa de Laplace Pólos de G(s) com parte real negativa Resposta natural tende para zero limitado Pólos de G(s) com parte real positiva Resposta natural explode ilimitado ESTABILIDADEINSTABILIDADE Considera-se u(t) limitado Pergunta: A resposta natural é limitada (BO=Bounded Output)?

8 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO Pólos de G(s) com parte real = 0 Multiplicidade 1 Resposta natural exibe termo constante (polo real) ou oscilatório (par de pólos complexos conjugados) Multiplicidade superior a 1 Resposta natural explode Resposta a sinais limitados (BI = Bounded Inputs) INSTABILIDADEESTABILIDADE MARGINAL

9 Capítulo 5- Estabilidade Sistema BIBO estável RESPOSTA NATURAL TENDE PARA ZERO LIMITADOS LIMITADOS SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA PÓLOS DE G(s) COM PARTE REAL NEGATIVA SISTEMA ESTÁVEL

10 Capítulo 5- Estabilidade Sistema BIBO instável RESPOSTA NATURAL EXPLODE (É NÃO LIMITADA) LIMITADOS ILIMITADOS SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA PELO MENOS UM PÓLO G(s) COM PARTE REAL POSITIVA, OU PÓLOS SOBRE O EIXO IMAGINÁRIO COM MULTIPLICIDADE MAIOR DO QUE UM SISTEMA INSTÁVEL

11 Capítulo 5- Estabilidade Sistema BIBO marginalmente estável RESPOSTA NATURAL EXIBE TERMO CONSTANTE, OU É OSCILATÓRIA (com oscilações de amplitude constante) LIMITADOS HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA ILIMITADOS QUE PRODUZEM SINAIS ILIMITADOS NA SAÍDA LIMITADOS HÁ SINAIS LIMITADOS DE ENTRADA LIMITADOS QUE PRODUZEM SINAIS LIMITADOS NA SAÍDA G(S) TEM PÓLOS COM PARTE REAL NULA E MULTIPLICIDADE 1 E NÃO TEM PÓLOS NO SPCD SISTEMA MARGINALMENTE ESTÁVEL

12 Capítulo 5- Estabilidade Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

13 Capítulo 5- Estabilidade Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

14 Capítulo 5- Estabilidade Respostas naturais: exemplos Resposta natural a uma entrada escalão unitária. Sistemas sem zeros e ganho estático unitário

15 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO Como estudar a estabilidade BIBO dos sistemas – Determinar a localização dos pólos Factorizar o polinómio denominador da F.T. – Pode não ser fácil para ordens elevadas – Usar Matlab É preciso saber a localização exacta dos pólos? Ou basta saber se há polos no spcd ou sobre o eixo imaginário? Critério de Routh-Hurwitz – Permite concluir sobre a establidade BIBO sem factorizar o polinómio denominador de G(s)

16 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO Caracterizar a estabilidade do SLIT com FT G(s) Código matlab >> d=[ ]; >> p=roots(d) p = i i i i SLIT instável2 pólos no spcd

17 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO (sistema de 1ª ordem) m (s) + _ k a (s) R (s) Exemplo sistema de 1ª ordem: Sistema de controlo de velocidade angular de um motor de corrente contínua Pólo = p= -(1+k) Sistema estável sse Para k>-1, os coeficientes do polinómio denominador são positivos. Num sistema de primeira ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos

18 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua Integrador(posição angular é o integral da velocidade angular) m (s) a (s) Dinâmica da velocidade angular m (s) + _ K R (s) 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados

19 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO (sistema de 2ª ordem) Exemplo sistema de 2ª ordem: Sistema de controlo de posição angular de um motor de corrente contínua 2 pólos Hipóteses possíveis 2 pólos reais 2 pólos complexos conjugados Num sistema de segunda ordem, é condição necessária e suficiente para o sistema ser BIBO estável que os coeficientes do polinómio denominador sejam todos positivos NÃO É GENERALIZÁVEL PARA ORDENS SUPERIORES

20 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz ESTABILIDADE: G(s) é estável sse todos os pólos tiverem parte real negativa. CONDIÇÃO NECESSÁRIA: os coeficientes do polinómio denominador devem ter todos o mesmo sinal NÃO É UMA CONDIÇÃO SUFICIENTE! Se os coeficientes do polinómio denominador tiverem todos o mesmo sinal (todos positivos ou todos negativos) e estiverem todos presentes É preciso fazer ANÁLISE DE CRITÉRIOS PARA ESTUDO DE ESTABILIDADE CRITÉRIO DE HURWITZ CRITÉRIO DE HURWITZ – uma condição necessária (mas não suficiente) de estabilidade BIBO de um SLIT causal é que todos os coeficientes do polinómio denominador da FT sejam positivos (ou tenham o mesmo sinal)

21 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade. Critério de Hurwitz: exemplos Os coeficientes não têm todos o mesmo sinal. Sistema não estável Há um coeficiente que é nulo. O sistema não é estável Pode ser instável ou marginalmente estável Os coeficientes têm todos o mesmo sinal Só pelo critério de Hurwitz não é possível tirar conclusões sobre estabilidade

22 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz U(s) Y(s) TABELA INICIAL Construção da tabela de Routh As duas primeiras linhas são construídas a partir dos coeficientes do polinómio denominador de G(s)

23 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz TABELA DE ROUTH COMPLETADA Construção da matriz de Routh

24 Capítulo 5- Estabilidade Estabilidade BIBO: Critério de Routh-Hurwitz CRITÉRIO DE ROUTH O número de pólos no semiplano complexo direito é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela de Routh. Um SLIT é estável sse todos os elementos da coluna pivot da tabela de Routh tiverem o mesmo sinal (*) (*) e, na construção da matriz de Routh, não tiver havido zeros na coluna pivot

25 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Exemplo + _ R (s) C (s) 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela 2 pólos no semiplano complexo direito: SISTEMA INSTÁVEL Todos os coeficientes positivos Critério de Hurwitz não permite concluir sobre establiade Critério de Routh Na construção da tabela de Routh podemos simplificar os cálculos multiplicando todos os elementos de uma linha por uma constante positiva

26 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Zeros só na primeira coluna.

27 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Um zero só na primeira coluna da tabela de Routh EVOLUÇÃO DOS SINAIS DA COLUNA1 2 mudanças de sinal 2 pólos no semiplano complexo direito SISTEMA INSTÁVEL

28 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Aplicação do Critério de Hurwitz o Sistema não estável Será marginalmente estável ou instável ? A tabela de Routh permite responder a essa pergunta Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário

29 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais Uma linha de zeros na tabela de Routh Sucede quando D(s) tem pólos simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário >> d=[ ]; >> p=roots(d) p = Código Matlab

30 Capítulo 5- Estabilidade Critério de Routh-Hurwitz: Casos Especiais 1 mudança de sinal na coluna pivot 1 polo no semiplano complexo direito SISTEMA INSTÁVEL Uma linha de zeros na tabela de Routh As raízes deste polinómio estão simetricamente colocados relativamente ao eixo imaginário As raízes deste polinómio são pólos de G(s) Polinómio auxiliar

31 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1

32 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1 O comportamento da tabela de Routh depois da linha correspondente ao polinómio auxiliar Q(s) é resultado dos zeros desse polinómio auxiliar Na coluna pivot, depois do polinómio auxiliar, não há trocas de sinal Por simetria, o polinómio auxiliar Q(s) não tem raízes no SPCE O polinómio auxiliar não tem raízes no semi-plano complexo direito (SPCD) Q(s) tem 4 raízes no eixo imaginário >> q=[ ]; >> r=roots(q) r = i i i i

33 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 1 Análise das outras raizes – linhas Duas trocas de sinal 2 pólos no SPCD 2pólos no SPCE Do polinómio auxiliar 2 pares de pólos sobre o eixo imaginário SISTEMA INSTÁVEL

34 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2 + _ Sistema a Controlar Controlador Objectivo: Fazer análise de Estabilidade como função de K + _ Controlo de um sistema instável em malha aberta Função de Transferência em Cadeia Fechada

35 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 2 Condição de estabilidade: Sistema Estável (é preciso ganho elevado para estabilizar o sistema instável!)

36 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 + _ + + Sistema a ControlarControlador PI (Proporcional Integral) + _ Que valores de K e K I garantem que o sistema em cadeia fechada é estável? Controlador PI (Proporcional Integral)

37 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 s3s3 12+K s2s2 3KIKI s1s1 0 s0s0 KIKI Condições necessárias e suficientes de estabilidade -2

38 Capítulo 5- Estabilidade Aplicação critério Routh-Hurwitz: Exemplo 3 Resposta a entrada escalão do sistema em cadeia fechada K I =0 Controlador P (proporcional) Erro estático é não nulo Ambos têm erro estático nulo


Carregar ppt "Capítulo 5- Estabilidade Cap 5 – Estabilidade Maria Isabel Ribeiro António Pascoal Transparências de apoio às aulas teóricas Todos os direitos reservados."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google