ANÁLISE DISCRIMINANTE

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1 ANÁLISE DISCRIMINANTE
LIG, 25 de novembro de 2008

2 Método de Fisher para várias populações
Fisher também propôs um método discriminante para o caso de mais de duas populações. O objetivo básico do método de Fisher é separar populações. Ele pode, porém, também ser usado para propósitos de classificação. Não é necessário supor que as g populações sejam normais multivariadas. Porém, suporemos que as g matrizes de covariância das populações são iguais a uma matriz Σ que é positiva definida.

3 Método de Fisher para várias populações

4 Método de Fisher para várias populações
A razão anterior mede a variabilidade entre os grupos relativamente à variabilidade comum dentro dos grupos. Podemos escolher o vetor a de modo a maximizar essa razão. Ordinariamente, a matriz de covariância e os vetores de média da população são desconhecidos, mas dispõe-se de uma amostra de treinamento a partir da qual podemos estimar os parâmetros desconhecidos. Com isso obtemos os discriminantes lineares amostrais de Fisher.

5 Discriminantes Lineares amostrais de Fisher

6 Discriminantes Lineares amostrais de Fisher
Resultado:

7 Discriminantes Lineares amostrais de Fisher
Esse método é útil para fins de representação dos diferentes grupos de modo a verificar a “separação” entre eles. Obtenha os primeiros escores para cada observação e depois, represente-as em diagramas de dispersão dos escores tomados 2 a 2. O uso do estimador S da matriz de covariâncias é apropriado por conta da suposição de que as matrizes de covariância nos g grupos são iguais.

8 Uso dos escores discriminantes de Fisher para classificação

9 Uso dos escores discriminantes de Fisher para classificação
Como as componentes do vetor Y têm variâncias unitárias e covariâncias nulas, a medida apropriada de distância quadrada de Y=y a jY é Uma regra de classificação razoável designa y a k-ésima população se a distância quadrada dessa observação a kY for menor do que todas as demais dadas por

10 Classificação via escores de Fisher
Resultado: Se somente r dos discriminantes são usados, a regra de classificação é alocar x a k-ésima população se

11 Comentários Finais A discussão tendeu a enfatizar a regra discriminante linear e, muitos pacotes estatísticos são baseados nela. Apesar da regra discriminante linear ter uma estrutura simples deve-se sempre lembrar que ela foi obtida sob fortes suposições: normalidade multivariada e covariâncias iguais. Antes de implementar tal regra, estas suposições devem ser verificadas na ordem: normalidade e igualdade das covariâncias. Se uma ou ambas as suposições forem violadas, um procedimento de classificação melhorado pode ser obtido se primeiramente os dados são transformados de forma adequada.

12 Comentários Finais Regras discriminantes quadráticas representam um procedimento alternativo. Elas são apropriadas se a normalidade vale, mas a suposição de covariâncias iguais é violada. A suposição de normalidade é mais crítica para regras quadráticas do que para regras lineares. Se existir dúvida quanto à adequação de uma regra linear ou quadrática ambas podem ser construídas e suas taxas de erro podem ser examinadas usando o procedimento de “holdout” de Lachenbruch.