Q-Q plots Construídos a partir das distribuições marginais de cada componente do vetor p-variado. São de fato um gráfico do quantil amostral versus quantil.

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1 Q-Q plots Construídos a partir das distribuições marginais de cada componente do vetor p-variado. São de fato um gráfico do quantil amostral versus quantil esperado sob normalidade (podem ser usados para validar outras distribuições diferentes da normal). Quando a configuração de pontos no gráfico se aproxima de uma reta, a suposição de normalidade é sustentável. A normalidade é suspeita se houver pontos que se desviam do comportamento linear. A forma como os pontos se desviam do comportamento linear pode fornecer pistas sobre a natureza da não normalidade das observações. Conhecida a razão da não normalidade dos dados, ações corretivas podem ser tomadas (transformações visando normalizar os dados ou uso de técnicas para dados não normais).

2 PASSOS NA CONSTRUÇÃO DO Q-Q plot
Ordenar os n valores da j-ésima componente do vetor aleatório. Seja as observações ordenadas. Os ‘s são os quantis amostrais (i=1,2,...,n). Quando todos os quantis amostrais são distintos entre si, então exatamente i observações são menores ou iguais a A proporção i/n da amostra à esquerda de x(i) é frequentemente aproximada para (i-0,5)/n por conveniência analítica.

3 PASSOS NA CONSTRUÇÃO DO Q-Q plot
Para uma distribuição normal padrão, podemos obter os quantis q(i) tais que P(Z≤ q(i))=(i-0,5)/n. A idéia será olhar os pontos (q(i),x(i)) com a mesma probabilidade acumulada (i-0,5)/n. Se os dados, de fato, provêm de uma normal, os pares serão aproximadamente linearmente relacionados, pois o quantil esperado sob normalidade é aproximadamente σ q(i)+μ, com σ representando o desvio-padrão e μ a média da distribuição.

4 Usando o R para a construção do Q-Q plot
No R temos a função ppoints(n,0.5) que gera o vetor de valores (i-0,5)/n, para i variando de 1 a n. Para gerar os quantis esperados sob normalidade usaremos a função qnorm(p), que retorna o quantil cuja probabilidade acumulada é p. (Quando não especificamos nada além de p, o R retorna quantis da N(0,1)). A função usada para ordenar um vetor de números no R é a função sort(x).

5 Avaliação da normalidade das distribuições marginais
Uma medida quantitativa para auxiliar na avaliação do Q-Q plot é calcular a correlação rQ entre os quantis esperados e o vetor observado ordenado. A hipótese de normalidade é rejeitada ao nível de significância α se rQ obtido for menor que um valor apropriado. Por exemplo, ao nível de significância de 5% amostras de tamanho 50, a hipótese deve ser rejeitada se rQ for inferiro a 0,9768.

6 Transformações de normalização
Se a suposição de normalidade dos dados não é plausível, que estratégia adotar? 1) Usar técnicas estatísticas apropriadas para dados não-normais, após verificar a distribuição plausível para os dados (Poisson, Gamma,etc.) 2) Transformar os dados para uma nova escala, sob a qual a suposição de normalidade é plausível. Aqui, somente trataremos da transformação, pois técnicas a serem estudadas a seguir são voltadas para dados normais.

7 Transformações úteis Escala original Escala transformada Contagens (y)
Proporções ( Correlações (r) Fisher

8 Transformações de normalização
Em muitas situações a escolha para melhorar a aproximação normal não é óbvia. Para tais casos é conveniente deixar que os dados mostrem uma transformação. Uma família útil de transformações para esse propósito é a família de transformações de potências : xλ. As transformações de potência só estão definidas para variáveis positivas. Porém, isso não é tão restritivo quanto parece, porque uma única constante pode ser adicionada a cada observação no conjunto de dados se alguns dos valores observados forem negativos. 

9 Transformações de normalização
Box e Cox consideraram a seguinte família de transformações de potência modificada: que é contínua em λ para x>0.  Dada a amostra, escolhe-se λ de modo a maximizar:

10 Transformações de normalização
Observação: A transformação obtida geralmente melhora a aproximação à normalidade. Porém, não há garantias de que mesmo a melhor escolha de λ produzirá um conjunto de dados transformados que seja adequado à suposição de normalidade. Os resultados obtidos por uma transformação selecionada de acordo com esse procedimento devem ser cuidadosamente examinados para possíveis violações da suposição de normalidade. Essa recomendação de fato vale para qualquer transformação usada.