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Probabilidade. O que é probabilidade ? Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis,

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Apresentação em tema: "Probabilidade. O que é probabilidade ? Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis,"— Transcrição da apresentação:

1 Probabilidade

2 O que é probabilidade ? Experimento aleatório: é um experimento no qual podemos descrever o conjunto de todos os resultados possíveis, mas não podemos dizer, a priori, qual desses resultados vai acontecer. Espaço Amostral (Ω): é o conjunto de todos os possíveis resultados do aleatório. Evento (A, B, C, etc): é um subconjunto do espaço amostral.

3 O que é probabilidade ? Seja Ω um espaço amostral finito uniforme e seja A um evento qualquer desse espaço. A probabilidade de A, denotada por P(A), é dada por: onde #Ω é o número de resultados possíveis do experimento e #A é o número de resultados favoráveis à ocorrência do evento A. É claro que

4 Conceito de Frequência de Probabilidade Suponha que o experimento foi repetido n vezes, sempre sob as mesmas condições, e que o evento A ocorreu m vezes entre essas n realizações do experimento. Então, a fração m/n é uma boa aproximação para a probabilidade de A, se o numero de n de repetições for bastante grande:

5 Propriedades básicas da probabilidade a)P(Ω)=1 : Probabilidade de ocorrência de um evento certo. b)P(Ø) = 0 : Probabilidade de ocorrência de um evento impossível. c)Se o evento A e B são mutuamente excludente: P (A ou B) = P(A)+P(B) d)Se A e B podem ocorrer simultaneamente : P (A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) e)P(A c )=1-P(A)

6 Variáveis Aleatórias

7 Conceitos Uma variável aleatória (v.a) é uma função que associa cada elemento de um espaço amostral a uma número real. – Variáveis aleatórias discreta: Os valores que ela pode assumir pertencem a um conjunto enumerável E de números reais – Variáveis aleatórias contínua: Para que a probabilidade de ela pertencer a um conjunto de números reais seja estritamente positiva, esse conjunto deve conter dentro de si um intervalo

8 Exemplos 1) Experimento : jogar 1 dado Variável Aleatória: X = o dobro do número obtido menos 1 X : {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 3, 5, 7, 9, 11} 2) Experimento : jogar 4 moedas (C: Cara e K: Coroa) Variável Aleatória: Y = números de caras obtidas Y : {CCCC, CKCC,..., KKKK} {0, 1, 2, 3, 4}

9 Função Densidade Probabilidade x P(x) 11/6 31/6 51/6 71/6 91/6 111/6 y P(y) 01/6 1 4/6 2 6/16 3 4/16 4 1/16 Ex. 1 Dado Ex. 2 Moeda

10 Caso Discreto A função de probabilidade p corresponde à variável aleatória discreta X associada a cada número real x a probabilidade de que a variável X assuma aquele valor x. xp(x) = P[X=x] A função de distribuição acumulada F corresponde à variável aleatória discreta X é definida por F(x)=P[Xx], para todo x real.

11 Medidas de Centralizada e de Dispersão Média ou Esperança de uma variável aleatória discreta – Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x 1, x 2, x 3,...,x N, com probabilidade p(x 1 ), p(x 2 ), p(x 3 ),...,p(x N ) respectivamente, então sua média ou esperança é: E(A)= x 1 p(x 1 ) + x 2 p(x 2 ) + x 3 p(x 3 ) x N p(x N )

12 Medidas de Centralizada e de Dispersão Variância de uma variável aleatória discreta – Se X é uma variável aleatória discreta que assume os valores x 1, x 2, x 3,...,x N, com probabilidade p(x 1 ), p(x 2 ), p(x 3 ),...,p(x N ) respectivamente, então a variancia é calculada por: Var (X)= (x 1 – E(X)) 2.p(x 1 ) + (x 2 – E(X)) 2.p(x 2 ) (x N – E(X)) 2.p(x N ) Desvio padrão de uma variável aleatória discreta –

13 Medidas de Centralizada e de Dispersão Coeficiente de variação de uma variável aleatória discreta e igual ao quociente entre o desvio-padrão e a média CV(X)=DP(X)/EX

14 Exemplos Em um determinado condomínio residencial: 30% das famílias não tem filhos, 40% tem um filho, 20% têm dois filhos e 10 têm mais de três filhos X0123 P(x)=P(X=x)0,30,40,20,1 F(x)=P(Xx)0,30,70,91,0

15 Distribuições Comuns de Variáveis Aleatórias Discretas 1.Constante 2.Uniforme 3.Bernoulli 4.Binomial 5.Geometrica 6.Poisson

16 Variável Aleatória Constante fdp FDC c 1.0 c

17 Distribuição Discreta Uniforme A v.a. discreta X que assume n valores discretos com probabilidade p X (i) = 1/n, 1 i n fdp FDC:

18 Variável de Bernoulli – V.A gerada por um experimento único de Bernoulli tem um resultado binário {1, 0} ou {sucesso, falha} – A v.a. binária X é chamada variável de Bernoulli tal que: –Função de massa de probabilidade :

19 Distribuição de Bernoulli FDC x q p+q=1 0

20 Binomial A v.a. X representa o número de sucessos em uma sequência de experimentos de Bernoulli. Todos experimentos são independentes. Cada resultado é um sucesso ou falha. A probabilidade de sucesso de um experimento é dado por p. A probabilidade de uma falha é 1- p. Uso do modelo: número de processadores down num cluster; número de pacotes que chegam ao destino sem erro.

21 Distribuição Binomial A distribuição binomial com parâmetros n 0 e 0 < p < 1, é A média e variância da binomial são:

22 V.A. Binomial: fdp pkpk 12,86102E-05 20, , , , , , , , , DISTRBINOM (núm_s;tentativas;probabilidade_s; cumulativo)

23 V.A. Binomial: FDC 12,86102E-05 20, , , , , , , , , , , , , , , , , ,

24 Exemplo Um sistema de segurança consiste em 4 alarmes (idênticos) de pressão alta, com probabilidade de sucesso p = 0,8 (cada um). Qual a probabilidade de se ter exatamente 3 alarmes soando quando a pressão atingir o valor limite ?

25 S1 S2 S3 F4 0,8 x 0,8 x 0,8 x 0,2 = 0,1024 S1 S2 F3 S4 0,8 x 0,8 x 0,2 x 0,8 = 0,1024 S1 F2 S3 S4 0,8 x 0,2 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 F1 S2 S3 S4 0,2 x 0,8 x 0,8 x 0,8 = 0,1024 P(3) = 4 x (0,8) 3 x (1 - 0,8) 1 = 0,4096

26 Distribuição de Poisson Número de eventos independentes que ocorrem em um intervalo de tempo Número de chegadas em um servidor em 1 hora Número de erros de impressão em uma página de um livro = # médio de eventos que ocorrem no período Aproximação para VA Binomial com n grande e p pequeno Se X = Binomial(n,p), X Poisson( = np)

27 Poisson: propriedades Considere que um servidor espera receber 100 transações em um minuto: – = 100 (constante) Espera-se que: – O início de cada transação seja independente dos outros; – Para cada pequeno intervalo de tempo t, a probabilidade de uma nova transação chegar seja t – A probabilidade de chegar duas transações ao mesmo tempo seja zero! O processo de Poisson tem as propriedades acima A VA X~Poisson representa o número de transações que chegam durante um período t.

28 VA Poisson: Aplicacao A V.A. de Poisson é boa para modelar vários fenômenos, como o número de transações que chegam a um servidor em uma hora, ou o número de queries que chegam a uma máquina de busca em 1 minuto ou número de pacotes que chegam num roteador em 1 segundo. Muito comumente usado para modelar chegada de sessões de usuários – servidores Web, multimídia, banco de dados, ftp, Sessões são iniciadas por usuários – Chegada de duas sessões tendem a ser independentes: Poisson é uma boa aproximação Contra-exemplo: – Chegada de requisições em um servidor Web – Premissa de independência não é válida: existe dependência entre requisições para o arquivo HTML e as imagens embutidas nele

29 Função de densidade de probabilidade (fdp): FDC: Distribuição de Poisson

30 Poisson Uma v.a. de Poisson X tem sua fdp: Onde > 0 é uma constante E(X)= Var(X) =

31 Exercícios 1.Considere que o número de mails que chegam a um servidor de mails no intervalo t segundos é distribuído como Poisson com parâmetro 0.3t. Calcule a seguintes probabilidades: – Exatamente três mensagens chegarão num intervalo de 10 seg. – No máximo 20 msgs chegarão num período de 20 seg. – O número de msgs num intervalo de 5 seg está entre 3 e 7 mails. 2.A probabilidade de um query falhar (não ser bem sucedido) é 10 (-4). Qual a probabilidade de falharem mais de 3 queries numa sequência de 1000 queries?

32 Solução 1) 2)P(X 10 = 3) = )P(X 20 20) = )

33 Solução 2)

34 Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas Normal Exponencial Weibull Lognormal Pareto....

35 Distribuições de Variáveis Aleatórias Contínuas Variáveis aleatórias contínuas – Assumem um intervalo infinito de diferentes valores – W=% percentual de crescimento do PIB em 2005 – V=tempo para retornar a resposta de um query – Valores específicos-particulares de uma v.a. contínua tem probabilidade 0 – Intervalos de valores tem probabilidade 0

36 Distribuição Normal (Gaussiana) Distribuição mais comum na análise de dados fdp é: - x + Média é, desvio padrão

37 Distribuição Normal Em forma de Sino Unimodal Simétrica Média, mediana e moda são iguais Assintótica em relação ao Eixo X Amplitude Interquartil é 1,33 Média, Mediana Moda X f(X) 50% Q1Q3

38 Notação para Distribuições Gaussianas Geralmente denotada N(, ) Normal unitária é N(0,1) Se x tem N(, ), tem N(0,1) O -quantil de uma normal unitária z ~ N(0,1) é denotado por z tal que

39 Normal Função de densidade para =0, =1

40 Normal Função de densidade para =1 =2 =5

41 Normal Funções de densidade para =1 =1 =2

42 Distribuição Exponencial Quantidade de tempo até que determinado evento ocorra = taxa de chegadas 1/ = tempo médio entre chegadas

43 Exemplo: v.a. exponencial fdp: FDC: V.A. muito frequentemente usada em computação Modelos: – Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca – Tempo de execução de processos – Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador – Tempo entre chegadas de sessões em um servidor fdp x f(x)

44 44 Distribuição de Probabilidades Exponencial T: valores da variável aleatória contínua = intervalo entre chegadas, com e = 2,71828 P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e -t : taxa média de chegadas 1/ : intervalo médio entre chegadas

45 Distribuição de Probabilidades Exponencial Exemplos: – Carros chegando num pedágio; – Clientes chegando num caixa eletrônico – Tempo entre duas submissões de queries a uma maquina de busca – Tempo de execução de processos – Tempo entre chegadas de pacotes em um roteador – Tempo entre chegadas de sessões em um servidor

46 46 Distribuição de Probabilidades Exponencial Usada para estudos de Sistemas de Filas Função densidade de probabilidade Parâmetros

47 47 Distribuição de Probabilidades Exponencial Valores of X f(x) Lambda = 3,0 (Média = 0,333) Lambda = 2,0 (Média = 0,5) Lambda = 1,0 (Média = 1,0) Lambda = 0,50 (Média = 2,0)

48 48 Exemplo Ex.: Operários chegam no almoxarifado a uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade do intervalo entre chegadas consecutivas de Operários ser maior que 5 ? = 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas P(intervalo entre chegadas > t) = 1 – P(intervalo entre chegadas t) = 1 – (1 – e -30.0,0833 ) = 0,0821

49 Distribuição log normal Muito utilizada para modelar duração de sessão de usuários em serviços web

50 Média e Variância A média e variância de uma va X que tem uma distribuição lognormal são:


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