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Capítulo 6 Estimativas e Tamanho de Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA.

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1 Capítulo 6 Estimativas e Tamanho de Amostras Prof. Paulo Renato de Morais ESTATÍSTICA APLICADA

2 Introdução à Estimação

3 1.Variáveis aleatórias usadas para estimar um parâmetro populacional Média amostral, proporção amostral, mediana amostral Média amostral, proporção amostral, mediana amostral 2.Exemplo: Média amostral x é um estimador da média populacional 2.Exemplo: Média amostral x é um estimador da média populacional Se x = 50, então 50 é a estimativa de Se x = 50, então 50 é a estimativa de 3.Base teórica é a distribuição amostral Estimadores

4 Propriedades da Distribuição Amostral da Média 1.Não-viciada Média da distribuição igual à média populacional Média da distribuição igual à média populacional 2.Eficiente Média amostral aproxima-se mais da média populacional do que qualquer outro estimador não-viciado Média amostral aproxima-se mais da média populacional do que qualquer outro estimador não-viciado 3.Consistente Quando tamanho da amostra cresce, variação da média amostral decresce Quando tamanho da amostra cresce, variação da média amostral decresce

5 Não-Viciada Não-viciadaViciada

6 Eficiente Distribuição amostral da mediana Distribuição amostral da média

7 Consistente Amostra menor Amostra maior

8 Processo de Estimação Média,, é desconhecida População Amostra Aleatória Tenho 95% de confiança que está entre 42 e 58. Média X = 50 Amostra

9 Parâmetros Desconhecidos da População são Estimados Estimar parâmetro populacional... com estatística amostral Média x Proporçãop p ^ Variância 2 s 2 Diferenças x 1 - x 2

10 Métodos de Estimação Estimação por Ponto Estimação por Intervalo

11 Estimação por Ponto

12 1.Proporciona um único valor Baseada em observações de 1 amostra Baseada em observações de 1 amostra 2.Não dá informação sobre quão perto o valor está do parâmetro populacional desconhecido 3.Exemplo: Média amostral x = 50 é estimativa por ponto da média populacional desconhecida

13 Estimação por Intervalo

14 1.Proporciona intervalo de valores Baseada em observações de 1 amostra Baseada em observações de 1 amostra 2.Dá informação sobre proximidade do parâmetro populacional desconhecido Afirmação em termos de probabilidade Afirmação em termos de probabilidade Saber a proximidade exata requer conhecer o parâmetro populacional desconhecido Saber a proximidade exata requer conhecer o parâmetro populacional desconhecido 3.Exemplo: média populacional desconhecida está entre 42 e 58 com 95% de confiança

15 Intervalo de confiança Elementos Chaves da Estimação por Intervalo Estatística amostral (estimativa por ponto) Limite de confiança (inferior) Limite de confiança (superior) Uma probabilidade que o parâmetro populacional esteja em algum lugar dentro do intervalo.

16 Limites de Confiança para a Média Populacional Parâmetro = Estatística ± Erro © T/Maker Co.

17 1.Probabilidade que o parâmetro populacional desconhecido esteja dentro do intervalo 2.Denotado por (1 - é a probabilidade que o parâmetro não esteja no intervalo é a probabilidade que o parâmetro não esteja no intervalo 3.Valores típicos são: 99%, 95%, 90% Nível de Confiança

18 Intervalos e Nível de Confiança Distribuição Amostral da Média Número grande de intervalos Intervalos vão de X - Z X a X + Z X (1 - ) % dos intervalos contêm. % não. % não.

19 Fatores que Afetam o Comprimento do Intervalo 1.Dispersão dos dados Medida por Medida por 2.Tamanho da amostra X = / n X = / n 3.Nível de confiança (1 - ) Afeta Z Afeta Z Intervalos vão de X - Z X a X + Z X © T/Maker Co.

20 Intervalo de Confiança para Estimar a Média (Amostra Grande)

21 Intervalo de Confiança para a Média (Amostra Grande) 1.Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (n 30) Tamanho da amostra no mínimo 30 (n 30) Amostragem aleatória Amostragem aleatória Se o desvio padrão populacional é desconhecido, use o desvio padrão amostral Se o desvio padrão populacional é desconhecido, use o desvio padrão amostral 2.Intervalo de Confiança:

22 Exemplo de Estimação da Média (Amostra Grande) A média de uma amostra aleatória com n = 36 é X = 50. Construa um intervalo com 95% de confiança para se = 12.

23 Exemplo de Estimação da Média (Amostra Grande) A média de uma amostra aleatória com n = 36 é X = 50. Construa um intervalo com 95% de confiança para se = 12.

24 Questão Você é um inspetor de qualidade. O para garrafas de 2 litros é 0,05 litros. Uma amostra aleatória de 100 garrafas forneceu X = 1,99 litros. Qual é o intervalo com 90% de confiança para a média verdadeira da quantidade em garrafas de 2 litros? 2 liter © T/Maker Co. 2 liter

25 Solução do Intervalo de Confiança

26 Achando o Tamanho da Amostra

27 Achando o Tamanho da Amostra para Estimar Achando o Tamanho da Amostra para Estimar Eu não quero amostra muito grande nem muito pequena!

28 Exemplo de Tamanho da Amostra Que tamanho de amostra é necessário para se estar com 90% de confiança de se estar correto dentro de 5? Um estudo piloto mostrou que o desvio padrão é 45.

29 Exemplo de Tamanho da Amostra Que tamanho de amostra é necessário para se estar com 90% de confiança de se estar correto dentro de 5? Um estudo piloto mostrou que o desvio padrão é 45.

30 Questão Você trabalha em Recursos Humanos. Você deseja saber o gasto médio dos empregados com saúde. Você quer ter uma confiança de 95% que a média amostral esteja dentro de ± $50. Um estudo piloto mostrou que é $400. Que tamanho de amostra você usará?

31 Solução do Tamanho da Amostra

32 Correção para População Finita

33 1.Usada quando tamanho da amostra é grande comparada ao tamanho da população Se n/N > 0,05, use o fator de correção Se n/N > 0,05, use o fator de correção

34 Correção para População Finita 1.Usada quando tamanho da amostra é grande comparada ao tamanho da população Se n/N > 0,05, use o fator de correção Se n/N > 0,05, use o fator de correção 2.Fator de correção: 3.Intervalo de confiança para média com fator: Diminui o comprimento do intervalo de confiança Diminui o comprimento do intervalo de confiança

35 Intervalo de Confiança para Estimar a Média (Amostra Pequena)

36 Intervalo de Confiança para a Média (Amostra Pequena) 1.Hipóteses: Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30) Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30) População distribuída normalmente População distribuída normalmente Desvio padrão populacional desconhecido Desvio padrão populacional desconhecido 2.Usa distribuição t de Student

37 Intervalo de Confiança para a Média (Amostra Pequena) 1.Hipóteses: Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30) Tamanho da amostra menor que 30 (n < 30) População distribuída normalmente População distribuída normalmente Desvio padrão populacional desconhecido Desvio padrão populacional desconhecido 2.Usa distribuição t de Student 3.Intervalo de confiança:

38 Z t Distribuição t de Student 0 Normal Padrão t (gl = 13) Forma de sino Simétrica Cauda mais longa

39 Tabela da t de Student Suponha: n = 3 gl= n - 1 = 2 = 0,10 /2 = 0,05 2,920 Valores de t / 2 / 2 0,05

40 Graus de Liberdade ( gl ) 1.Número de observações que podem variar após a estatística amostral ser calculada 2.Exemplo: Soma de 3 números é 6 X 1 = X 2 = X 3 = Soma = 6

41 Graus de Liberdade ( gl ) 1.Número de observações que podem variar após a estatística amostral ser calculada 2.Exemplo: Soma de 3 números é 6 X 1 = 1 (Ou outro número) X 2 = 2 (Ou outro número) X 3 = 3 (Não pode variar) Soma = 6 Graus de liberdade = n -1 = 3 -1 = 2

42 Exemplo de Estimação da Média (Amostra Pequena) Uma amostra aleatória com n = 25 tem x = 50 e s = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para.

43 Exemplo de Estimação da Média (Amostra Pequena) Uma amostra aleatória com n = 25 tem x = 50 e s = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para.

44 Questão Você é um analista estudando o tempo de manufatura de um produto. Os seguintes tempos foram medidos (em min.): 3,6; 4,2; 4,0; 3,5; 3,8; 3,1. Qual é o intervalo com 90% de confiança para o tempo médio de manufatura?

45 Solução do Intervalo de Confiança X = 3,7 X = 3,7 S = 0,38987 S = 0,38987 n = 6, gl = n - 1 = = 5 n = 6, gl = n - 1 = = 5 S / n = 0,38987 / 6 = 0,1592 S / n = 0,38987 / 6 = 0,1592 t 0,05;5 = 2,0150 t 0,05;5 = 2,0150 3,7 - (2,015)(0,1592) 3,7 + (2,015)(0,1592) 3,7 - (2,015)(0,1592) 3,7 + (2,015)(0,1592) 3,379 4,021 3,379 4,021

46 Intervalo de Confiança para uma Proporção

47 Dados Qualitativos 1.Variáveis aleatórias qualitativas são classificadas por um atributo p.e., qualidade (perfeita, defeituosa) p.e., qualidade (perfeita, defeituosa) 2.As medidas refletem n o em cada categoria 3.Escala nominal ou ordinal 4.Exemplos: As duas peças fabricadas encaixam ou não? As duas peças fabricadas encaixam ou não? A dimensão da peça está dentro do especificado ou não? A dimensão da peça está dentro do especificado ou não?

48 Proporções 1.Envolve variáveis qualitativas 2.Fração ou % da população na categoria 3.Se houver apenas dois resultados possíveis, distribuição binomial Possui ou não possui a característica Possui ou não possui a característica

49 Proporções 1.Envolve variáveis qualitativas 2.Fração ou % da população na categoria 3.Se houver apenas dois resultados possíveis, distribuição binomial Possui ou não possui a característica Possui ou não possui a característica 4.Proporção amostral (p) ^

50 1.Aproximada por distribuição normal exclui 0 ou n exclui 0 ou n 2.Média 3.Desvio padrão Distribuição Amostral da Proporção Distribuição Amostral P ^ P(P ^ )

51 Intervalo de Confiança para a Proporção 1.Hipóteses: Dois resultados possíveis Dois resultados possíveis População segue distribuição binomial População segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usada Aproximação pela Normal pode ser usada não inclui 0 ou n não inclui 0 ou n 2.Intervalo de confiança:

52 Exemplo de Estimação da Proporção Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou que 32 fizeram pós-graduação. Construa um intervalo com 95% de confiança para p.

53 Exemplo de Estimação da Proporção Uma amostra aleatória de 400 alunos mostrou que 32 fizeram pós-graduação. Construa um intervalo com 95% de confiança para p.

54 Questão Você é responsável por anúncios no jornal. Você quer encontrar a % de erros. De 200 anúncios, 35 tinham erros. Qual é o intervalo com 90% de confiança para a proporção de erros?

55 Solução do Intervalo de Confiança

56 Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção p

57 1.Quando se conhece uma estimativa 2.Quando não se conhece uma estimativa

58 Exemplo de Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção p Que tamanho de amostra é necessário para se estimar a proporção de motoristas que falam ao celular enquanto dirigem com 95% de confiança de se estar correto dentro de uma margem de erro de 3%? A) Suponha que um estudo piloto mostrou que 18% dos motoristas falam ao celular. B) Suponha que não se tem qualquer informação sobre essa proporção.

59 Exemplo de Tamanho da Amostra para Estimar a Proporção p A)B)

60 Intervalo de Confiança para a Variância

61 1.Hipóteses: Amostragem aleatória Amostragem aleatória População segue distribuição normal População segue distribuição normal 2. Usa a distribuição qui-quadrado 3.Intervalo de confiança:

62 Exemplo de Estimação da Variância Uma amostra aleatória com n = 25 tem s 2 = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para.

63 Exemplo de Estimação da Variância Uma amostra aleatória com n = 25 tem s 2 = 8. Construa um intervalo com 95% de confiança para.

64 Questão Você é um analista estudando o tempo de manufatura de um produto. Os seguintes tempos foram medidos (em min.): 3,6; 4,2; 4,0; 3,5; 3,8; 3,1. Qual é o intervalo com 90% de confiança para a variância do tempo de manufatura?

65 Solução do Intervalo de Confiança X = 3,7 X = 3,7 S = 0,38987 S 2 = 0,152 S = 0,38987 S 2 = 0,152 n = 6, gl = n - 1 = = 5 n = 6, gl = n - 1 = = 5 2 0,05;5 = 11, ,95;5 = 1, ,05;5 = 11, ,95;5 = 1,145 5 (0,152)/11,071 5 (0,152)/1,145 5 (0,152)/11,071 5 (0,152)/1,145 0, , , , , , , ,81471


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