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1 ESTATÍSTICA. 2 UDIII - Inferência Básica Ass 01: Teste de Hipóteses ESTATÍSTICA.

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1 1 ESTATÍSTICA

2 2 UDIII - Inferência Básica Ass 01: Teste de Hipóteses ESTATÍSTICA

3 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS Testar hipóteses estatísticas utilizando intervalos de confiança. Determinar o valor-p ( unilateral )

4 4 SUMÁRIO 1- Teste de Hipóteses Utilizando Intervalos de Confiança. 2. Valor-p ( Unilateral ).

5 5 1. Teste de Hipóteses Utilizando Intervalos de Confiança a ) Um Tratamento Moderno Uma Hipótese Estatística é uma afirmação acerca de uma população, que pode ser testada mediante extração de uma amostra aleatória.

6 6 Exemplo: Em uma grande universidade americana, selecionaram-se independentemente, em 1969, 10 professores e 5 professoras, registrando- se seus salários anuais conforme abaixo ( em milhares de dólares): Homens ( )Mulheres ( )

7 7 Estas médias amostrais dão uma estimativa aproximada das médias populacionais 1 e 2. Talvez possam ser usadas para resolver uma disputa: Um marido alega que não há diferença entre os salários dos homens ( 1 ) e os das mulheres ( 2 ). Em outras palavras, denotando a diferença por = 1 - 2, ele alega que: = 0. Sua esposa, entretanto, afirma que a diferença chega a 7 mil dólares: = 7.

8 8 Resolva a questão construindo um intervalo de 95% de confiança. Solução: g.l.= ( n ) + ( n )

9 9 Assim, com 95% de confiança, podemos estimar entre 1,0 e 9,0. A alegação do marido ( =0) parece implausível, porque está fora do intervalo de confiança. Já a alegação da esposa ( =7) se afigura mais plausível, pois está dentro do intervalo.

10 10 Um intervalo de confiança pode ser encarado como o conjunto de hipóteses aceitáveis Conclusão: A hipótese =0 é rejeitada ao nível de erro de 5%. Se estamos utilizando um intervalo de 95% de confiança, é natural dizermos que a hipótese está sendo testada ao nível de confiança de 95%. Entretanto, de acordo com a tradição, fala-se em geral de um teste ao nível de erro de ( ) de 5% (complemento de 95%).

11 11 Em outras palavras, coletamos suficiente evidência amostral para podermos discernir uma diferença entre os salários dos homens e os das mulheres. Dizemos então que a diferença é estatisticamente discernível ou estatisticamente significativa, ao nível de erro de 5%. Observação: A conclusão apresentada não mostra necessariamente uma discriminação.

12 12 Outro Exemplo: Suponhamos que o intervalo de confiança tenha-se baseado em uma amostra menor, sendo, por conseguinte, mais vago. Especificamente, suponhamos calculado o intervalo de confiança: Como a hipótese =0 está dentro do intervalo, ela não pode ser rejeitada. Ou seja, estes resultados não são mais estatisticamente discerníveis: chamamo-los estatisticamente indiscerníveis ou estatisticamente não-significativos, ao nível de erro de 5%.

13 13 b ) O Tratamento Tradicional A hipótese =0 tem interesse especial. Como ela não representa diferença alguma, costuma chamar-se hipótese nula H 0. Ao rejeitá-la, por estar fora do intervalo de confiança, estabelecemos o fato importante de que existe realmente uma diferença entre as rendas dos homens e a das mulheres. Tal resultado costuma-se chamar-se tradicionalmente estatisticamente significativo ao nível de significância de 5%.

14 14 A expressão significância estatística é uma expressão técnica significando simplesmente que foram coletados dados suficientes para afirmar que existe uma diferença. Não significa que a diferença seja necessariamente importante.

15 15 Por exemplo, se tivéssemos extraído grandes amostras de populações quase idênticas, o intervalo de 95% de confiança ao invés de: = 5,0 4, (1) poderia ser: = 0,005 0,004 Esta diferença é tão pequena que poderíamos desprezá-la como não tendo significado real, embora estatisticamente, seja tão significativa quanto (1).

16 16 SUMÁRIO 1- Teste de Hipóteses Utilizando Intervalos de Confiança. 2. Valor-p ( Unilateral ).

17 17 2. Valor-p ( UNILATERAL) a ) Que é Valor-p? Vimos anteriormente uma técnica simples para testar qualquer hipótese, examinando se ela está ou não dentro do intervalo de confiança. Adotamos agora uma nova perspectiva, concentrando-nos em apenas uma hipótese, a hipótese nula H 0. Calcularemos apenas o grau de apoio que ela tem dos dados.

18 18 Exemplo: Um processo tradicional de fabricação tem produzido milhões de válvulas de TV, com vida média =1200 horas e desvio padrão =300 horas. Um novo processo, recomendado pelo departamento de engenharia como sendo melhor, produz uma amostra de 100 válvulas com média =1265. Conquanto esta amostra faça com que o novo processo pareça melhor, é isto apenas uma conseqüência do acaso? É possível que o novo processo não seja realmente melhor do que o processo tradicional e que tenhamos obtido uma amostra não representativa?

19 19 Para especificar melhor o problema, formulemos a hipótese nula: o novo processo produziria uma população que não é diferente da anterior, isto é, H 0 : = Costuma-se escrever abreviadamente: 0 = A alegação do departamento de engenharia é chamada hipótese alternativa, H 1 : >1200 Quão consistente é a média amostral ¯ =1265 com a hipótese nula 0 = 1200? Especificamente, se a hipótese nula fosse verdadeira, qual seria a probabilidade de ¯ tomar o valor de 1265?

20 20 Solução: Pelo Teorema Central do Limite, a distribuição é normal, com média 0 =1200 e desvio padrão / ¯:

21 21 Conclusão: Se, de fato, o novo processo não é melhor (ou seja, se H 0 é verdadeira, haveria apenas uma chance de 1,5% de observar um tão elevado como ,5% é o que chamamos de valor-p de H 0 ( em inglês, prob-value ( valor de prova ). Neste exemplo os dados parecem não apoiar H 0.

22 22 Valor-p = P( ser tão grande quanto o valor observado, no caso de H 0 ser verdadeira ) =1200 Valor-p=1,5%

23 23 O valor-p na figura anterior é calculado na cauda direita, porque a hipótese alternativa está do lado direito ( > 1200). Por outro lado, se a hipótese alternativa estivesse à esquerda ( < 1200), então o valor-p seria calculado na cauda esquerda, isto é, Valor-p = P( ser tão pequena quanto o valor observado, no caso de H 0 ser verdadeira )

24 24 Quer se situe à direta ou à esquerda, o valor- p é um excelente instrumento para resumir o que os dados dizem sobre a credibilidade de H 0. Quanto maior o valor-p, maior a credibilidade de H 0.

25 25 2. Valor-p ( UNILATERAL) b ) Utilização da Distribuição t Vimos como foi padronizada de modo que pudéssemos utilizar a tábua normal. A estatística chave calculada foi

26 26 Em geral não se conhece, que deve ser estimado pelo desvio padrão amostral s. Tem- se então a estatística t, em lugar de z:

27 27 Exemplo: Uma amostra de n=5 notas acusou = 65 e s =11,6. Suponha a legação de que a média populacional é apenas 50. Qual o valor-p neste caso? Solução: Valor-p<0,025

28 28 p(t) t t obs =2,89 t 0,025 =2,776 0, Valor-p<0,025 Vemos que o valor observado de t, 2,89, está além de t 0,025 =2,776. Isto significa que a probabilidade da cauda é inferior a 0,025.

29 29 Como o valor-p é uma medida da credibilidade de H 0, um valor tão baixo leva-nos a concluir sobre a implausibilidade de H 0. Em outras palavras, se H 0 fosse verdadeira ( média populacional = 50 ), haveria menos de 2,5 chances em 100 de obter uma média tão elevada quanto à média 65 efetivamente observada.

30 30 Pode-se generalizar facilmente o uso de t para abranger outros testes de hipóteses: Freqüentemente a hipótese nula é 0: neste caso, a equação acima toma a forma extremamente simples:

31 31 Exemplo: Uma amostra aleatória de salários de 10 professores acusou média anual de 16 mil dólares; uma amostra de salários de 5 professoras acusou média anual de apenas 11 mil dólares. A variância conjunta (pooled) foi 11,7. Calculando-se um intervalo unilateral de 95% de confiança para mostrar a diferença entre os salários dos homens e das mulheres, obtemos: ( 1- 2 )>1700 dólares A hipótese nula (H 0 : 1- 2 =0) não é plausível porque está fora do intervalo de confiança. Para indicar quão pouca credibilidade os dados a H 0, calcule seu valor-p.

32 32 Solução: A hipótese nula é 1- 2 = 0, de modo que a equação abaixo é adequada: g.l.=13 t obs (2,67) está além de t 0,010 =2,650. Assim, Valor-p<0,010 (muito baixa credibilidade).

33 33 Exemplo: Para investigar se as crianças negras de uma geração passada apresentavam conscientização racial e preconceito antinegro, Clark e Clark (1958) estudaram um grupo de 252 crianças negras. A cada uma pediu-se que escolhesse uma boneca de um grupo de quatro – duas brancas e duas não-brancas. 169 dentre as 252 crianças escolheram boneca branca. Qual o valor-p da hipótese nula, de que as crianças ignoram a cor? (A hipótese alternativa é que as crianças têm preconceito contra os negros, sendo a favor dos brancos.

34 34 Solução: Suponhamos que as 252 crianças possam ser encaradas como uma amostra aleatória de uma grande população de crianças negras (é uma mera suposição). De qualquer forma, a hipótese nula é de que a proporção populacional que escolhe boneca branca é 50-50, isto é, 0 =0,50. A proporção amostral observada é P=169/252=0,67. Seu erro padrão é dado por:

35 35 Solução ( continuação): (utilizamos o valor nulo =0,50 porque o valor-p baseia-se sempre na hipótese nula). Assim:

36 36 Solução ( continuação): Como a amostra é suficientemente grande, podemos aplicar a distribuição normal z em lugar de t: Valor-p = P(Z>5,40) < 0, Com tão minúsculo valor-p, a credibilidade da hipótese nula é praticamente zero. Assim – tanto quanto a nossa amostra reflita as propriedades de uma amostra aleatória – pode-se concluir que, há uma geração passada, mesmo as crianças negras tinham preconceito em favor das brancas.

37 37 PRATIQUE COM OS EXERCÍCIOS. BOA SORTE!


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