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Conjuntos Disjuntos Monitoria Algoritmos 2012.2. Breve resumo Uma coleção de elementos, e cada elemento pertence a um conjunto. Unir elementos é o mesmo.

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1 Conjuntos Disjuntos Monitoria Algoritmos

2 Breve resumo Uma coleção de elementos, e cada elemento pertence a um conjunto. Unir elementos é o mesmo que unir os conjuntos os quais eles pertencem. Cada conjunto tem o seu representante x y x U y Conjuntos Disjuntos

3 1 2 3 x y x U y Conjuntos Disjuntos Vamos supor que o representante do conjunto x é 1, e o representante do conjunto y é 4. Rep(x) é o representante do conjunto em que x está contido. Rep(1) = Rep(2) = Rep(3) = 1 Rep(4) = Rep(5) = Rep(6) = 4

4 1 2 3 xyx U y Conjuntos Disjuntos unir(1,2) = unir(1,3) = unir(2,3) = x unir(4,5) = unir(4,6) = unir(5,6) = y unir(1,4) = unir(1,5) = unir(1,6) = unir(2,4) =... = unir(3,6) = x U y

5 Conjuntos Disjuntos Início: 6 conjuntos disjuntos OBS.: a aresta significa quem é o representante do elemento. Como representar isso em código? public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } //rep[i] indica o representante do elemento i

6 Conjuntos Disjuntos unir(2,1) unir(3,2) public void unir (int i, int j) { rep[i] = j; } Mas peraí, isso é eficiente? Vamos utilizar o seguinte algoritmo para união:

7 Conjuntos Disjuntos Não! Imagine o caso: unir(2,1), unir(3,2), unir(4,3), unir(5,4), etc. Teríamos uma lista encadeada: Se eu quiser saber o conjunto em que o 6 está contido, eu teria que percorrer os 5 elementos acima dele. Esta estratégia é custosa ( O(n) por consulta). Precisamos pensar numa estratégia que amortize este custo!

8 E a estratégia nova que iremos adotar é simples! Ao invés de unirmos um elemento diretamente a outro, vamos unir o representante do conjunto de um com o representante do conjunto do outro. Para isso, criaremos uma função recursiva achaConjunto que faz o representante do elemento atual ser igual ao representante do seu atual representante. Isto é: Conjuntos Disjuntos public int achaConjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = achaConjunto(rep[i]); return rep[i]; }

9 Conjuntos Disjuntos public void unir (int i, int j) { rep[AchaConjunto(i)] = AchaConjunto(j); } Nossa nova função de unir conjuntos agora será: Voltando à simulação em que estávamos antes: unir(2,3)

10 Conjuntos Disjuntos unir(2,3) achaConjunto(2) =

11 Conjuntos Disjuntos unir(1,5) unir(4,2)

12 Conjuntos Disjuntos public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } public int achaConjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = achaConjunto(rep[i]); return rep[i]; } public void unir (int i, int j) { rep[achaConjunto(i)] = achaConjunto(j); }

13 DESAFIO! Há N discos no chão. Cada disco é definido por sua posição (x,y) e seu raio r. Os discos são cobertos de cola, portanto dois discos estão colados se eles se intersectam em pelo menos 2 pontos. Se você levantar um disco do chão, você levantará todos os discos colados a ele, e todos os discos colados aos discos colados a ele, e assim por diante. Dados os N discos, você deverá informar a maior quantidade de discos que se pode levantar de uma vez só segurando um único disco. A entrada é composta por vários casos de teste, e cada caso de teste começa com um inteiro N, e N linhas se seguem, cada uma definindo x, y, r, onde (x,y) é a posição do centro do disco, e r é o raio do mesmo. A entrada deverá ser lida até o N encontrado ser -1. A saída para cada caso de teste é uma linha contendo um único número com a resposta. EXEMPLO INPUT EXEMPLO OUTPUT Conjuntos Disjuntos


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