Campo Magnético Estacionário Hayt – cap 8 Objetivo: Definir corrente elétrica e densidade de correte Definir a Lei de Biot-Savart Definir a Lei de Ampère Calcular o campo magnético a partir da Lei de Biot-Savart Calcular o campo magnético através da Lei de Ampère Introdução Corrente e densidade de correte elétrica Lei de Biot-Savart Lei Circuital de Ampère Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual. André Luis Lapolli – URL:http://www.lapolli.pro.br

Introdução A carga elétrica pode produzir dois tipos de campo: Campo Elétrico: Basta a sua presença. Campo Magnético: Gerado apenas quando a carga está em movimento Isto foi descoberto por Oersted na experiência que verificou o movimento de uma agulha magnética na presença de um fio percorrido por uma corrente elétrica. Força elétrica sobre uma carga na presença de um campo elétrico é dada por Força magnética sobre uma carga na presença de um campo magnético é dada por

Introdução Intensidade do campo magnético em alguns locais do universo. Local Unidade T (tesla) Estrela de neutrons 108 Eletroimã 1,5 Barra imantada 10-2 Superfície da terra 10-4 espaço 10-10 Menor valor de blindagem 10-14

 Corrente e densidade de correte elétrica Corrente elétrica é a quantidade de cargas que atravessa a secção transversal de um condutor por unidade de tempo. DQ  Carga total q – carga do elétron n - número de portadores de carga por unidade de volume. V- Volume do cilindro J - Densidade de corrente (corrente/Área (A) v - velocidade de arrastamento dos elétrons Dt - intervalo de tempo que os elétrons levam para atravessar o comprimento l delimitado =v Velocidade de deriva Velocidade de migração

Lei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por uma carga elétrica que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga e a velocidade da mesma, perpendicular ao plano da carga e ponto, à uma certa distância, satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p. [H]=A/m (ampère/metro) Onde: H – Campo magnético q – carga elétrica. v – velocidade da carga R – distância da carga ao ponto onde se deseja calcular o campo magnético.

Força magnética entre duas cargas pontuais. Lei de Biot-Savart Força magnética entre duas cargas pontuais. Lembrando que B é o vetor indução magnética ou densidade de fluxo. [B]=Wb/m2 (weber/ metro quadrado) Constante de permeabilidade Permeabilidade no vácuo.

Lei de Biot-Savart Usando a Memória:

Lei de Biot-Savart A lei de Biot-Savart define que o campo magnético gerado por um elemento de carga que se desloca em uma direção é diretamente proporcional à carga perpendicular ao plano da carga e ponto satisfazendo a regra da mão direita e inversamente proporcional ao quadrado da distância sendo que a constante de proporcionalidade é 1/4p. [H]=A/m (ampére/metro) Onde: dH – Campo magnético elementar I – corrente elétrica. dL – comprimento elementar do filamento R – distância do elemento de carga IdL ao ponto onde se deseja calcular o elemento de campo magnético.

Não é possível resolver experimentalmente Lei de Biot-Savart I1 P dL1 aR12 R12 dH2 Não é possível resolver experimentalmente

Lei de Biot-Savart Portanto vamos nos restringir ao caso estacionário onde a corrente é constante no tempo e, portanto a densidade de cargas não varia em função do tempo. Lembrando a equação da continuidade. Como a densidade de cargas não varia no tempo. Aplicando-se o teorema do divergente: 

[K]=A/m – densidade de corrente superficial. Lei de Biot-Savart A corrente total que atravessa qualquer superfície fechada é zero, e esta condição pode ser satisfeita somente pela consideração de um fluxo de corrente em um percurso fechado. É esta corrente fluindo em um circuito fechado que deve ser a nossa fonte de experiência e não o elemento diferencial A Lei de Biot-Savart pode ser expressa como fontes distribuídas como densidade de corrente J e densidade de corrente superficial K. [J]= A/m2 – corrente que flui em uma camada de espessura infinitesimal. [K]=A/m – densidade de corrente superficial.

Se K for uniforme então I, corrente total na largura b é dada por: Lei de Biot-Savart Se K for uniforme então I, corrente total na largura b é dada por: Medida perpendicular ao fluxo da corrente Para o caso não uniforme: I b dn K Elemento infinitesimal de caminho atravessado pela corrente que está fluindo São os elementos de corrente do filamento, da superfície e do volume. Consequentemente podemos escrever a lei de Biot-Savart das outras duas formas

Lei de Biot-Savart Exemplo 1: O campo magnético produzido por um filamento infinitamente longo de corrente I a uma distância r perpendicular ao mesmo é: z R y r H x

Lei de Biot-Savart y z

Para o caso em que o elemento de corente seja finito: Lei de Biot-Savart Para o caso em que o elemento de corente seja finito: z y x

Aplicando a lei de Biot-Savart Exemplo 2: O campo magnético produzido por uma espira de corrente I a uma distância perpendicular z do plano da espira. r IdL dH I x y z r dl Aplicando a lei de Biot-Savart

No centro da espira quando z=0 Lei de Biot-Savart 0 (zero) Pois a soma vetorial em torno do plano xy é nula. 2 No centro da espira quando z=0 Observa-se que o campo magnético é sempre perpendicular ao plano da espira e no eixo de simetria, ou seja, eixo central.

Corrente envolvida pelo percurso. Lei Circuital de Ampère Análoga à Lei de Gauss, a Lei circuital de Ampère permite o cálculo de campos magnéticos para casos de simetria. Esta lei estabelece que a integral de linha de H em qualquer percurso fechado é exatamente igual a corrente enlaçada pelo percurso. Corrente envolvida pelo percurso.

Lei Circuital de Ampére Exemplo 1: O campo magnético a uma distância r de um filamento que conduz uma corrente estacionária I. r f dl H I x y z dl df r

Exemplo 2: Verificação da validade da lei de Ampère. Lei Circuital de Ampère Exemplo 2: Verificação da validade da lei de Ampère. Lei de Ampère aplicada a uma espira circular de raio r que conduz uma corrente estacionária I. B A dl z Lei de Ampère z y r dl I dl x D dl C

Os lados AB, BC e CD possuem campos desprezíveis. Lei Circuital de Ampère Lei de Ampère Os lados AB, BC e CD possuem campos desprezíveis. Restou o caminho DA. Lembrando que dl=dzaz. Utilizando o resultado de H da espira calculado no Exemplo 2 de lei de Biot-Savart:

Lei Circuital de Ampère É uma integral de resolução trigonométrica. y z Provado a Lei de Ampère!!!!!

Lei Circuital de Ampère Para que se satisfaça a Lei de Ampère é necessário que se satisfaça as seguintes condições: 1. Para cada ponto do circuito, H deve ser tangencial ou normal ao percurso. 2. H possui o mesmo módulo em todos os ponto ao longo do percurso onde é tangencial.

  I é uniforme para o condutor central; Lei Circuital de Ampère I é uniforme para o condutor central; -I é uniforme para o condutor externo. Para o percurso de raio r onde a<r<b: Se r<a então:   Onde a corrente calculada é:

Se r>c a corrente total é nula e portanto . Lei Circuital de Ampère Para r<a: Se r>c a corrente total é nula e portanto . Finamente se b<r<c:

Corrente elétrica que flui sobre uma superfície. Lei Circuital de Ampère Corrente elétrica que flui sobre uma superfície. z x y L 1 1’ 2 2’ 3 3’ Partindo da Lei de Ampère e utilizando o caminho : 1-1’-2’-2-1. O campo magnético possui mesmo módulo tanto acima como abaixo da lâmina e possuem sentidos opostos. Para o caminho: 3-3’-2’-2-3.

Lei Circuital de Ampère Matematicamente: Considerando-se o vetor unitário aN vetor normal à superfície, pode-se determinar o campo magnético pela seguinte expressão. Colocando-se uma segunda superfície com corrente em sentido oposto tem-se:

H = K x aN (-d/2 < z < d/2 ) Lei Circuital de Ampère Hx2 (z > d/2 ) Hx1 (z > d/2 ) K1 = -Ky ay Acima ou abaixo, externamente aos planos, o campo total é nulo Hx1 (-d /2 < z < d/2 ) Hx2 (-d /2 < z < d/2 ) K2 = -Ky ay Hx1 (z < -d/2 ) Hx2 (z < -d/2 ) Entre os planos de corrente elétrica os campos magnéticos, produzido por cada conjunto de filamentos, se somam vetorialmente. H = K x aN (-d/2 < z < d/2 )

Lei Circuital de Ampère Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide infinitamente longo de raio a e densidade de corrente K=Kaaf. c b d a

Solenoide formado de n espira e comprimento d e raio a. Lei Circuital de Ampère Solenoide formado de n espira e comprimento d e raio a. O procedimento de cálculo e semelhante ao caso anterior a despeito da corrente filamentar. c d a b No interior do solenoide. É bom lembrar que este resultado é aproximado.

Campo magnético produzido pelos tóroides. Lei Circuital de Ampère Campo magnético produzido pelos tóroides. No interior do toróide. Externamente o campo magnético para ambos os casos é nulo.

Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual Lembrando a Lei de Ampère: Corrente enlaçada. Circulação de H Lembrando o Teorema de Stokes. 2ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas. É possível chegar à mesma conclusão partido da Lei de Biot-Savart. Isto fica como exercício para os alunos.

Lei Circuital de Ampère na Forma Pontual Nas mesmas condições Portanto 3ª equação de Maxwell aplicada à condições estáticas.

P E R G U N T A S ?