Conjuntos Disjuntos Monitoria Algoritmos 2012.2

Conjuntos Disjuntos Breve resumo Uma coleção de elementos, e cada elemento pertence a um conjunto. Unir elementos é o mesmo que unir os conjuntos os quais eles pertencem. Cada conjunto tem o seu representante. x y x U y 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6

Conjuntos Disjuntos x y x U y 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6 Vamos supor que o representante do conjunto x é 1, e o representante do conjunto y é 4. Rep(x) é o representante do conjunto em que x está contido. Rep(1) = Rep(2) = Rep(3) = 1 Rep(4) = Rep(5) = Rep(6) = 4

Conjuntos Disjuntos x y x U y 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6 unir(1,2) = unir(1,3) = unir(2,3) = x unir(4,5) = unir(4,6) = unir(5,6) = y unir(1,4) = unir(1,5) = unir(1,6) = unir(2,4) = ... = unir(3,6) = x U y

OBS.: a aresta significa quem é o representante do elemento. Conjuntos Disjuntos Início: 6 conjuntos disjuntos OBS.: a aresta significa quem é o representante do elemento. 1 2 3 4 5 6 Como representar isso em código? public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } //rep[i] indica o representante do elemento i

Mas peraí, isso é eficiente? Conjuntos Disjuntos Vamos utilizar o seguinte algoritmo para união: unir(2,1) public void unir (int i, int j) { rep[i] = j; } 1 3 4 5 6 2 unir(3,2) 1 4 5 6 2 3 Mas peraí, isso é eficiente?

Não! Imagine o caso: unir(2,1), unir(3,2), unir(4,3), unir(5,4), etc. Conjuntos Disjuntos Não! Imagine o caso: unir(2,1), unir(3,2), unir(4,3), unir(5,4), etc. Teríamos uma lista encadeada: 1 2 Se eu quiser saber o conjunto em que o 6 está contido, eu teria que percorrer os 5 elementos acima dele. Esta estratégia é custosa (O(n) por consulta). Precisamos pensar numa estratégia que amortize este custo! 3 4 5 6 ...

Conjuntos Disjuntos E a estratégia nova que iremos adotar é simples! Ao invés de unirmos um elemento diretamente a outro, vamos unir o representante do conjunto de um com o representante do conjunto do outro. Para isso, criaremos uma função recursiva achaConjunto que faz o representante do elemento atual ser igual ao representante do seu atual representante. Isto é: public int achaConjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = achaConjunto(rep[i]); return rep[i]; }

Conjuntos Disjuntos Nossa nova função de unir conjuntos agora será: public void unir (int i, int j) { rep[AchaConjunto(i)] = AchaConjunto(j); } Voltando à simulação em que estávamos antes: 1 3 4 5 6 2 unir(2,3) 3 4 5 6 1 2

Conjuntos Disjuntos unir(2,3) 3 4 5 6 1 2 achaConjunto(2) = 3 3 4 5 6 1 2

Conjuntos Disjuntos unir(1,5) 4 5 6 3 1 2 unir(4,2) 5 6 2 3 4 1

Conjuntos Disjuntos public void init (int N) { for (int i = 1; i <= N; i++) { rep[i] = i; } public int achaConjunto (int i) { if (rep[i] = i) { return i; } else { rep[i] = achaConjunto(rep[i]); return rep[i]; } public void unir (int i, int j) { rep[achaConjunto(i)] = achaConjunto(j); }

DESAFIO! EXEMPLO INPUT EXEMPLO OUTPUT Conjuntos Disjuntos Há N discos no chão. Cada disco é definido por sua posição (x,y) e seu raio r. Os discos são cobertos de cola, portanto dois discos estão colados se eles se intersectam em pelo menos 2 pontos. Se você levantar um disco do chão, você levantará todos os discos colados a ele, e todos os discos colados aos discos colados a ele, e assim por diante. Dados os N discos, você deverá informar a maior quantidade de discos que se pode levantar de uma vez só segurando um único disco. A entrada é composta por vários casos de teste, e cada caso de teste começa com um inteiro N, e N linhas se seguem, cada uma definindo x, y, r, onde (x,y) é a posição do centro do disco, e r é o raio do mesmo. A entrada deverá ser lida até o N encontrado ser -1. A saída para cada caso de teste é uma linha contendo um único número com a resposta. EXEMPLO INPUT EXEMPLO OUTPUT 3 3.0 2.0 2.0 0.0 -0.5 1.0 0.0 0.0 2.0 2