Algorítmos e estrutura de dados III Carlos Oberdan Rolim Ciência da Computação Sistemas de Informação

Árvores de busca binária

Problemas... Se um vetor tiver ordenado é possível obter um algoritmo de pesquisa muito eficiente denominado pesquisa binária Não é eficiente na inserção e remoção devido a necessidade de reorganização para manter a ordenação As listas ligadas resolvem esse problema com o uso de ponteiros Problema é que algoritmos de pesquisa são sequenciais Árvore binária resolve esse tipo de problema de forma eficiente

Árvore de pesquisa binária Uma árvore de pesquisa binária é uma árvore binária armazenando chaves (ou itens) em seus nós internos e satisfazendo a seguinte propriedade: Seja u, v e w três nós tais que u é nó esquerdo de v e w é o nó direito. Temos key(u) key(v) key(w) Nós externos não armazenam itens (null) Itens da esqueda menor que a raiz Itens da direita maior ou igual a raiz Cada subarvore é uma arvore Uma travessia em ordem visita as chaves em ordem crescente

Á rvore bin á ria onde os elementos são organizados de forma que: y < xz > x x Árvore de pesquisa binária

Exemplo: 50, 20, 39, 8, 79, 26, 58, 15, 88, 4, 85, 96, 71, 42, Árvore de pesquisa binária

Estrutura de dados dinâmica, com recupera ç ão em tempo logar í tmico Árvore de pesquisa binária

Representação de um Nó struct arvore{ char info; struct arvore *esq, *dir; }; typedef struct arvore *arvorePTR; Uma árvore binária de busca vazia é representada por uma variável ponteiro com conteúdo nulo

Árvore com ponteiro para raiz

Inserindo um elemento em uma árvore de busca binária 5 14 (a) Árvore depois da inserção de 5 e 14

Inserindo um elemento em uma árvore de busca binária (b) Árvore depois da inserção de 8

Inserindo um elemento em uma árvore de busca binária (c) Árvore depois da inserção de 2

Inserindo um elemento em uma árvore de busca binária (d) Árvore depois da inserção de 20

Exemplo: 50, 20, 39, 8, 79, 26, 58, 15, 88, 4, 85, 96, 71, 42, Inserindo um elemento em uma árvore de busca binária

void tInsere (arvorePTR *plist, char x) { if((*plist) == NULL){ *plist=(arvorePTR) malloc (sizeof(struct arvore)); (*plist)->info=x; (*plist)->esq=NULL; (*plist)->dir=NULL; } else{ if (x info){ tInsere (&((*plist)->esq),x); } else{ tInsere (&((*plist)->dir),x); }

Pesquisa de um elemento Se T é uma árvore nula, não há o que pesquisar; Se a raiz de T armazena o elemento x, a solução é imediata; Se x é menor que o valor da raiz de T, a busca prossegue na subarvore esquerda de T; Se x é maior ou igual a T, a busca prossegue na subarvore direita de T

Pesquisa de um elemento AVRPTR aPesq(arvorePTR *plist, char x) { if (*plist == NULL) /*elemento não encontrado*/ return (NULL); else if (x==(*plist)->info) /*elemento encontrado na raiz*/ return (*plist); else if (x info) /*procura-o numa subarvore*/ return(aPesq(&((*plist)->esq),x)); else return(aPesq(&((*plist)->dir),x)); }

Remoção de um Elemento Três cenários: 1.Se a Raiz não possuí filhos, a solução é imediata. Podemos removê-la e anular T; 2.Se a raiz possuí um único filho, podemos remover o nó raiz e o nó filho toma o seu lugar; 3.Se a raiz possuir dois filhos, não é possível que ambos assumam o lugar do pai. Qual das subarvores deve assumir o lugar do nó pai removido? O que deve ser feito com a subarvore que não foi escolhida? Seu nó ficará órfão?

Remoção de um Elemento Não pode produzir nós órfãos; Aplicação pode inserir nós com a mesma info (definição de árvore binária): Impossibilidade de existir em uma subarvore da esquerda elementos maiores ou iguais à raiz; Subarvore da direita não pode existir nenhum elemento menor que a raiz; Assim: Se identificarmos o maior elemento da subarvore da esquerda e o posicionarmos na raiz, a árvore obtida continua seguindo a definição de árvore binária; O maior elemento em uma árvore binária ordenada encontra-se no nó que ocupa a posição mais à direita; com certeza esse nó não possuirá um filho à direita; Mas poderá possuir um filho a esquerda ….

Remoção de um Elemento Detalhando uma solução: Elaborar uma função auxiliar; recebe um ponteiro para uma árvore não nula; Faz uma pesquisa para identificar o nó que armazena o seu maior elemento; Retorna o endereço deste nó; ARVPTR tMaior(TREEPTR *plist){ TREEPTR t; t=*plist; if (t->dir == NULL){ *plist = (*plist)->esq; return (t); }else return(tMaior(&((*plist)->dir))); }

Remoção de um Elemento Possíveis passos para remover um nó que tenha dois filhos: p=tMaior(&(t->esq)); /*desliga o nó com o maior valor */ t->info = p->info; /*armazena o valor na raiz da árvore */ free(p); /*libera o nó removido */