Algoritmos de Busca em Prolog Introdução a Prolog

Histórico de Prolog Desenvolvida de 1970 em Marselha/França Objetivo inicial: integrar uma técnica de prova automática de teoremas (Princípio de Resolução de Robinson) numa linguagem de programação para processamento de linguagem natural Recebeu melhoramentos teóricos e uma implementação eficiente ainda na década de 70 na Universidade de Edimburgo/Escócia.

Características de Prolog Programação Declarativa ao invés de Procedimental Deve-se buscar objetos e relações entre estes objetos que ocorrem dentro da definição de um problema. Ex. ‘Maria gosta de João’ Relações também podem ser expressas através de regras. Ex. Duas pessoas A e B se gostam mutuamente se A gosta de B e B gosta de A. Duas pessoas são irmãs se são ambas do sexo feminino e têm os mesmos pais.

Características de Prolog Programação Prolog consiste em: Declarar alguns fatos sobre objetos e suas relações Definir algumas regras sobre objetos e suas relações Fazer consultas sobre objetos e suas relações

Declarando Fatos gosta(maria,joao). Os nomes de todas as relações e objetos devem começar com minúsculas A relação (gosta) vem em primeiro lugar, seguida pelos objetos entre parêntesesis e separados por vírgula Deve-se colocar um ponto “.” ao final do fato A ordem de apresentação dos objetos é arbitrária, mas uma vez escolhida deve ser respeitada para evitar inconsistências. O exemplo acima significa “Maria gosta de João”

Declarando Fatos O nome de uma relação é chamado de predicado Os nomes dos objetos dentro dos parêntesis são chamados de argumentos A aridade de um predicado é o número de argumentos que possui Fatos em Prolog permitem expressar relações arbitrárias entre objetos Uma coleção de fatos em Prolog é denominada de base de dados

Fazendo Consultas Uma consulta é semelhante a um fato, exceto que se coloca um símbolo especial “-?” antes dela. Ex. ?- pai(jose,joao). Uma consulta desencadeia uma busca na base de dados tentando-se casar o fato contido na questão (objetivo) com um daqueles contidos na base de dados. Se um fato é encontrado, a resposta é sim “yes”, caso contrário não “no”. Dois fatos casam se seus predicados são os mesmos e se cada um de seus argumentos correspondentes são os mesmos.

Exemplos de Consultas gosta(maria, joao). gosta(jose, cristina). gosta(teresa,jose). Consultas: ?- gosta(joao,maria). no ?-gosta(teresa,jose). yes

Mais Exemplos de Consultas nasceu(jose,paraiba). nasceu(joao,pernambuco). brasileiro(paulo). brasileiro(joao). ?-nasceu(jose,paraiba). yes ?-brasileiro(joao). ?-brasileiro(jose). no Em Prolog, a resposta negativa é utilizada com o significado de “nada casa com a questão” e não com o significado que a questão é falsa!

Variáveis “X é filho de Pedro?”: neste caso Prolog deve apresentar todas as possibilidades para o significado de X Nomes de variáveis representam objetos a serem determinados por Prolog Instanciadas: quando assumiram o valor de um objeto Não Instanciadas: caso contrário

Variáveis: um Exemplo gosta(paulo,teresa). gosta(joao,natureza). gosta(maria,chocolate). gosta(maria,natureza). gosta(pedro,ana). gosta(joao,maria). ?- gosta(joao,X). X=natureza Para concluir a consulta, basta pressionar RETURN Para tentar re-satizfazer a questão, pressiona-se “;” (ponto-e-vírgula) seguido por RETURN. X=natureza; X=maria; no

Conjunções A consulta “Maria gosta de João e João gosta de Maria?” pode ser expressa por: ?-gosta(joao,maria), gosta(maria,joao). no A vírgula “,” é lida como “e”, servindo para separar qualquer número de objetivos diferentes. Todos os objetivos precisam ser satisfeitos para que a conjunção de objetivos também seja.

Conjunções e Variáveis Existe um objeto tal que João e Maria gostam? ?- gosta(maria,X), gosta(joao,X). A base de dados é pesquisada para o 1o objetivo. X é instanciada com chocolate. Agora a base de dados é pesquisada para gosta(joao,chocolate). Como não existe tal fato, o último objetivo falha e tenta-se re-satisfazer o anterior. Parte-se do ponto em que X foi instanciada pela última vez. X é instanciada desta vez com natureza. Prolog tenta satisfazer o 2o objetivo na forma gosta(joao,natureza), o que é possivel. Neste ponto como ambos os objetivos puderam ser satisfeitos, Prolog responde então com X=natureza.

Regras São utilizadas quando se deseja afirmar que um fato depende de um grupo de outros fatos. As regras também são utilizadas para expressar definições. Ex.: “Um indivíduo X é avô de outro indivíduo Y se existe um indivíduo Z que é filho de X e pai de Y” Outro exemplo: “X é um um cachorro de X é um animal e X late”

Regras Em Prolog uma regra consiste de uma cabeça e um corpo. A cabeça e o corpo são separados pelo símbolo “:-” (dois pontos e hífen), que se pronuncia “se”. Os dois exemplos de regras anteriores podem ser expressos em Prolog como: avo(X,Y) :- filho(Z,X0, pai(Z,Y). cachorro(X) :- animal(X), late(X).

Regras O escopo de uma variável é definido como sendo toda a regra (da cabeça até o ponto) na qual a variável se encontra. Sempre que uma variável X está instanciada, todos os outros Xs dentro do escopo da variável também devem estar instanciados com este mesmo objeto. A variável X que aparece na regra “avo” não tem qualquer relação com o X que aparece na regra do “cachorro”.

Exemplo de Regra homem(joao). homem(jose). homem(pedro). mulher(maria). mulher(ana). mulher(paula). mulher(joana). mulher(alice). pais(joao,maria,jose). pais(paula,alice,pedro). pais(ana,maria,jose). pais(joana,alice,pedro). irma_de(X,Y) :- mulher(X), pais(X,M,P), pais(Y,M,P).

Exemplo de Regra Como Prolog responde a consulta: ?- irma_de(joana,paula).

Processamento de Listas em Prolog Construção de Listas cons(X,Y,[X|Y]). ?-cons(a,b,Z). Z=[a,b] ou Z=[a|b] ?-cons(a,[],Z). Z=[a]. ?-cons(a,X,[a,b,c]). X=[b,c]. ?-cons([a,b,c],[d,e],Z).

Elementos de uma Lista membro(X,L). membro(b,[a,b,c]). membro([b,c],[a,[b,c],d]). membro(b,[a,[b,c]]). X é membro de L se X é a cabeça de L, ou X é membro do corpo de L Falso!

Elementos de uma Lista membro(X,[X|C]). membro(X,[_|C] :- membro(X,C). ?-membro(a,[a,b,c]). yes ?-membro(´Natal´, [´Recife´, ´Natal´, ´Campina´]. ?-membro(1,[[1,2],3,4]). no

Concatenação de Listas conc(L1,L2,L3), onde L1 e L2 são duas listas e L3 é a concatenação resultante. conc([a,b],[c,d],[a,b,c,d]). Dois casos devem ser considerados para a definição de conc/3: Se o primeiro argumento é uma lista vazia, então o segundo e oterceiro devem ser a mesma lista. Se o primeiro argumento não for uma lista vazia então pode ser denotado por [X|L1]. A concatenação de [X|L1] com L2 é uma terceira lista com a mesma cabeça X da primeira e um corpo L3 que é a concatenação do corpo de L1 com L2.

Concatenação de Listas X L1 L2 X L3 conc([],L,,L). conc([X|L1],L2,[X|L3]) :- conc(L1,L2,L3). ?-conc([a,b,c],[1,2,3],L). L=[a,b,c,1,2,3] ?-conc([a,[b,c],d],[a,[],b],L). L=[a,[b,c],d,a,[],b]

Concatenação de Listas Apesar de muito simples o programa conc/3 pode ser usado em inúmeras aplicações: Decomposição: ?-conc(L1,L2,[a,b,c]). L1=[a,b,c] L2=[]; L1=[a,b] L2=[c]; L1=[a] L2=[b,c]; L1=[] L2=[a,b,c]; no

Concatenação de Listas Apagando de uma lista todos os elementos que se seguem a um determinado padrão: ?-conc(T,[sex|_],[seq,ter,qua,qui,sex,sab,dom]). T=[seg,ter,qua,qui,sex] Definindo a relação membro/2 em função de conc: membro1(X,L):-conc(_,[X|_],L).

Remoção de Elementos de uma Lista remover(X,L,L1), onde L1 é a mesma lista L com o elemento X removido. Existem novamente 2 casos a estudar: Se X é a cabeça de L, então L1 será seu corpo. Se X está no corpo de L, então L1 é obtida removendo X desse corpo. remover(X,[X|C],C). remover(X,[Y|C],[Y|D]):-remover(X,C,D).

Exemplos de remoção ?-remover(a,[a,b,a,a],L). ?-remover(a,L,[b,c,d]). L=[b,a,a]; L=[a,b,a]; no ?-remover(a,L,[b,c,d]). L=[a,b,c,d]; L=[b,a,c,d]; L=[b,c,a,d]; L=[b,c,d,a];

Outros usos de remover/3 inserir(X,L,L1):- remover(X,L1,L). membro2(X,L) :- remover(X,L,_). ?-inserir(a,[b,c],L). L=[a,b,c]; no ?-membro2(a,[c,b,a]). yes

Inversão de Listas Inversão ingênua (O(N2)) inverter([a,b,c],[c,b,a]). inverter([a,[b,c],d],[d,[b,c],a]). Inversão ingênua (O(N2)) Tomar o primeiro elemento da lista Inverter o restante Concatenar o inverso do restante à lista formada pelo primeiro elemento inverter([X|Y],Z) :- inverter(Y,Y1), conc(Y1,[X],Z).

Inversão de Listas Inversão eficiente (O(N)) inverter(X,Y):-aux([],X,Y). aux(L,[],L). aux(L,[X|Y],Z) :- aux([X|L],Y,Z).

Sublistas S é uma sublista de L se: (1) L pode ser decomposta em duas listas L1 e L2 (2) L2 pode ser decomposta em S e L3 sublista(S,L) :- conc(L1,L2,L), conc(S,L3,L2). ?-sublista(S,[a,b,c]).

Somatório e Produtório soma([X|Y],S):- S is R+X, soma(Y,R). produto([],0). produto([X],X). produto(L,P):- prod(L,P). prod([],1). prod([X|Y],P) :-prod(Y,Q)., P is Q*X.

Resolução de Problemas Primeiros problemas por computador: prova automática de teoremas e jogos Capacidade de cálculo e memória dos computadores: insuficientes perante o enorme número de caminhos de solução Exemplo: jogo de xadrez Um dos objetivos de IA: resolver problemas que o homem não sabe resolver facilmente ou num tempo razoável, desde que sejam completamente formalizados

Exemplos de Problemas O fazendeiro, o lobo, a cabra e o couve: como fazer para atravessar um rio num barco? Os baldes: balde de 5 litros com água e um vazio de 2 litros. Pode-se despejar água fora ou de um balde para o outro. Como obter 1 litro de água? O quebra-cabeças 3x3 A moeda falsa. Dispõe-se de 12 moedas idênticas em aparência, sendo uma falsa de peso diferente. Aual o número mínimo de pesagens para isolar a moeda falsa?

Mais Exemplos de Problemas O caixeiro viajante Cálculo integral formal Empilhamento de blocos: a partir de uma configuração de blocos iniciais, qual a seqüência de movimentos para se chegar a uma configuração final? As oito rainhas As torres de hanoi

Espaço de Estados do Problema Um problema pode ser visto como uma tripla: {I,O,B} I=estados iniciais O=conjunto de operações B=estados objetivo Uma solução para o problema é uma seqüência finita de operações que permite sair de um elemento em I e chegar a um elemento em B.

Espaço de Estados do Problema Assim um sistema de resolução de problemas comporta: Um conjunto de estruturas de dados organizada em um grafo Um conjunto de operadores caracterizados por suas condições de aplicação e sua ação Uma estrutura de controle implementando a estratégia de resolução

Exemplo Mundo dos blocos

Métodos de Busca Existem basicamente 2 abordagens de busca num espaço de estados Busca cega: coleção de procedimentos utilizados para pesquisar um espaço de estados, o princípio é examinar a árvore inteira de uma forma organizada Profundidade Largura Busca heurística: é uma busca cega com alguma guia ou orientação

Busca Cega Busca em Profundidade Começa na raiz e avança paar baixo em níveis cada vez mais profundos Um operador é aplicado a um nó para gerar o próximo nó mais profundo na seqüência O processo continua até que uma solução é encontrada ou um retrocesso é forçado ao atingir-se um nó terminal que não é solução

Busca em Profundidade Exemplo 1 11 2 8 14 5 9 12 3 6 7 10 13 15 16 4

Busca em Profundidade Problema Garante uma solução, mas a busca pode ser muito demorada Motivo: muitas ramificações diferentes podem ter que ser consideradas até o nível mais profundo antes de uma solução ser atingida

Busca em Profundidade Para encontrar um caminho de solução Sol, de um dado nó para algum nó objetivo Se N é um nó objetivo, então Sol=[N] Se há um nó N1 sucessor de N, tal que há um caminho Sol1 de N1 para algum nó-objetivo, então Sol=[N|Sol1] Em Prolog, a idéia acima pode ser traduzida para: busca_profundidade(N,[N]) :- objetivo(N). busca_profundidade(N,[N|Sol1]) :- s(N,N1), busca_profundidade(N1,Sol1).

Busca em Profundidade a b c d e g f i j k h s(a,b). s(a,c). s(b,d). s(b,e). s(c,f). s(c,g). s(d,h). s(e,i). s(e,j). s(f,k). objetivo(j). objetivo(f). a b c d e g f i j k h ?-busca_profundidade(a,S). S=[a,b,e,j]; S=[a,c,f]; No

Busca em Profundidade com Limite Um dos maiores problemas com a busca em profundidade é que ela pode conduzir a sub-árvores cada vez mais profundas. Exemplo: jogo de xadrez. Pode-se minimizar este problema restringindo a busca até uma profundidade limite: busca_profundidade2(No,[No],_) :- objetivo(No). busca_profundidade2(No,[No|Sol],Prof_max):- Prof_max > 0, s(No,No1), Max1 is Prof_max – 1, busca_profundidade2(No1,Sol,Max1).

Busca em Largura Os nós em cada nível da árvore são completamente examinados antes de se mover para o próximo nível Uma busca em largura sempre encontrará sempre o menor caminho entre o estado inicial e o estado-objetivo O menor caminho é o caminho com o menor número de passos (não confundir com o caminho de menor custo)

Busca em Largura Não é tão fácil de programar em Prolog quanto a busca em profundidade Motivo: é necessário manter um conjunto de nós candidatos alternativos e não apenas um nó candidato como na busca em profundidade O conjunto de nós candidatos é constituído por todos os nós de um dado nível da árvore de busca Entretanto, mesmo este conjunto de caminhos candidatos não é suficiente se deseja-se extrair um caminho de solução do processo de busca Portanto, ao invés de manter-se um conjunto de nós candidatos, deve-se manter um conjunto de caminhos-candidatos

Busca em Largura O predicado: busca_largura(Caminhos,Solucao). é satisfeito se algum caminho de um conjunto de Caminhos candidatos pode ser estendido até um nó objetivo. Solução é um destes caminhos estendido. Na implementação que daremos a seguir, Caminhos será representado por uma lista e cada caminho candidato será uma lista de nós na ordem inversa Em outras palavras, a cabeça de um caminho será o nó mais recentemente gerado e o último elemento será o nó inicial da busca A busca é iniciada com um conjunto de candidatos com um único elemento: [ [NoInicial] ]

Busca em Largura Dado um conjunto de caminhos candidatos: Se o primeiro caminho contém um nó-objetivo como cabeça, estão este caminho é uma solução para o problema Caso contrário, remove-se o primeiro caminho do conjunto de candidatos e gera-se o conjunto de todas as possíveis extensões de um passo deste caminho, acrescentando-se estas extensões ao final do conjunto de candidatos e executa-se a busca em largura neste conjunto de caminhos candidatos atualizado

Busca em Largura a b d e c f g k j h i Conjunto de Candidatos inicial: Gera extensões de [a]: [ [b,a], [c,a] ] Remove o 1o caminho candidato, [b,a], e gera extensões deste caminho, colocando-as no final do conjunto: [ [c,a], [d,b,a], [e,b,a] ] Remove [c,a] e acrescenta sua extensão ao final do conjunto de candidatos, produzindo: [ [d,b,a], [e,b,a], [f,c,a], [g,c,a] ] Em passos posteriores, [d,b,a] e [e,b,a] são estendidos e o conjunto de candidatos torna-se: [ [f,c,a], [g,c,a], [h,d,b,a], [i,e,b,a], [j,e,b,a] ] Agora o processo de busca encontra [f,c,a] que contém o nó-objetivo f. Portanto, este caminho é apresentado como uma solução.

Busca em Largura Implementação Prolog resolve_largura(Inicio, Solucao) :- busca_largura( [ [Inicio] ], Solucao). busca_largura( [ [N|Caminho] | _], [N|Caminho]):- objetivo(N). busca_largura([ [N|Caminho]| Caminhos ], Solucao) :- bagof([M,N| Caminho], (s(N,M),not(membro(M,[N|Caminho]))), NovosCaminhos), conc(Caminhos, NovosCaminhos, Caminhos1), !, busca_largura(Caminhos1, Solucao); busca_largura(Caminhos, Solucao).

Busca em Largura O programa anterior gera caminhos de solução, um após o outro, ordenados de acordo com seus comprimentos, de forma que as menores soluções aparecem primeiro Porém não são levados em consideração quaisquer custos associados com os arcos no espaço de estados. Se o custo mínimo do caminho de solução é o critério de otimização (e não seu comprimento), então a busca em largura não é suficiente.

Busca em Largura Explosão combinatorial: quando o número de alternativas a serem exploradas é tão grande que o problema de complexidade torna-se crítico. Por exemplo, se cada nó no espaço de estados tem N sucessores, então o número de caminhos de comprimento C a partir do nó inicial é NC (assumindo que não há ciclos). Assim, o número de caminhos candidatos a solução é exponencial com relação ao seu comprimento. As estratégias de busca em profundidade em em largura não fazem nada para combater esta complexidade: todos os caminhos candidatos são tratados como igualmente relevantes.

Busca Heurística Conforme visto anteriormente, a busca cega sofre do problema denominado explosão combinatória Informação específica do domínio que pode ser usada para guiar o processo de busca é chamada de heurística Em muitos casos uma heurística envolve a aplicação de uma função que avalia um nó particular e prediz a qualidade dos seus nós sucessores Uma função heurística de avaliação no jogo-da-velha poderia ser o número de linhas, colunas e diagonais ainda disponíveis, quanto maior este número maior a chance de vitória

Busca Heurística Um meio de utilizar informação heurística sobre um problema é computar estimativas numéricas para os nós no espaço de estados Uma estimativa indica o quanto um nó é promissor com relação ao alcance de um nó-objetivo A idéia é continuar a busca sempre a partir do nó mais promissor no conjunto de candidatos O programa de busca do melhor caminho é baseado neste princípio

Busca Heurística Um programa de busca do melhor caminho pode ser derivado de um refinamento do programa de busca em largura A busca em largura sempre escolhe para expansão os menores caminhos-candidatos (isto é, os nós extremos menos profundos da busca) A busca do melhor caminho refina este princípio calculando uma estimativa heurística para cada candidato e escolhe para expansão o melhor candidato de acordo com esta estimativa

Busca Heurística Assuma que existe uma função custo associada a cada arco do espaço de estados Assim, c(n,ns) é o custo associado com o movimento do nó n para o seu nó sucessor ns Seja f uma função heurística de estimativa, tal que para cada nó n do espaço de estados, f(n) estima o grau de dificuldade de n O nó candidato corrente mais promissor é aquele que minimiza f

Busca Heurística f(n) é definida como a soma de 2 termos: f(n) = g(n) + h(n) Onde g(n) é uma estimativa do custo de um caminho ótimo do nó inicial i até n, e h(n) é uma estimativa do custo de um caminho ótimo de n até um nó objetivo t Quando n é encontrado pelo processo de busca, tem-se a seguinte situação: Um caminho de i para n já deve ter sido encontrado e seu custo pode ser calculado como a soma dos custos dos arcos no caminho, e pode servir como uma estimativa g(n) do custo mínimo de i para n h(n) é mais problemático porque o espaço entre n e t ainda não foi explorado, e portanto h(n) é meramente um palpite baseado no conhecimento geral do algoritmo sobre o problema particular Não existe um método universal de se construir h, pois depende do domínio do problema

Busca Heurística Considere o problema de encontrar a menor rota entre a cidade inicial i e a cidade objetivo t (7) 2 e i 5 2 (5) a 2 (4) (4) (4) f c b 2 2 3 g (2) (3) d 2 3 t

Busca Heurística Pode-se imaginar a busca do melhor caminho como consistindo de 2 processos, cada um dos quais explorando um dos caminhos alternativos: O processo 1, explora o caminho via a e O processo 2 explora o caminho via e processo 1 processo 2 i f(a)=2+5=7 f(e)=2+7=9 a e f(b)=4+4=8 f(f)=7+4=11 b f f(c)=6+4=10 f(g)=9+2=11 c g f(d)=9+3=12 f(t)=11+0=11 d t

Busca Heurística Implementação Prolog % Determina se elemento X é membro de uma lista membro(X,[X|_]). membro(X,[_|Y]) :- membro(X,Y). % Anexa duas listas produzindo uma terceira conc([],L,L). conc([C1|L1],L2,[C1|L3]) :- anexa(L1,L2,L3). % Espaço de estados para teste de busca heurística s(i,e,2). s(i,a,2). s(a,b,2). s(b,c,2). s(c,d,3). s(d,t,3). s(e,f,5). s(f,g,2). s(g,t,2). % Heuristicas h(e,7). h(f,4). h(g,2). h(d,3). h(c,4). h(a,5). h(b,4). h(t,0). % Nó objetivo objetivo(t).

Busca Heurística Implementação Prolog % Busca do Melhor Caminho usando heurísticas (uma modificação da busca em largura). resolve_heuristica(Inicio) :- melhor([[Inicio/0]],Solucao), apresenta_solucao(Solucao). melhor([[No/Custo_total|Caminho]|_],[No/Custo_total|Caminho]) :- objetivo(No). melhor([[N/G|Caminho]|Caminhos],Solucao) :- bagof([Ns/Gs,N/G|Caminho], (s(N,Ns,Custo),not membro(Ns/Gs,[N/G|Caminho]),Gs is G +Custo), Extensoes), anexa(Caminhos, Extensoes, Candidatos), ordena(Candidatos, Candidatos_ordenados),!, melhor(Candidatos_ordenados, Solucao) ; melhor(Caminhos, Solucao).

Busca Heurística Implementação Prolog %Predicados auxiliares ordena([],[]). ordena(L1,L2) :- estima(L1, Estimativas), ordena_estimativas(Estimativas, Estimativas_ordenadas), estima(L2, Estimativas_ordenadas). estima([],[]). estima([[N/G|R]|Cs],[f([N/G|R],F)|Estimativas]) :- h(N,H), F is G + H, estima(Cs, Estimativas). ordena_estimativas(E,O) :- anexa(L,[f(C1,H1), f(C2, H2)|R],E), H2 > H1, anexa(L, [f(C2, H2),f(C1,H1)|R],L1), ordena_estimativas(L1,0),!. ordena_estimativas(E,E).

Busca Heurística Implementação Prolog %Predicados auxiliares apresenta_solucao([N/Custo_total|R]) :- write('o caminho de solucao eh: '), caminho([N/Custo_total|R]), nl, write('o custo total foi '), write(Custo_total), nl. caminho([]) :-!. caminho([N/_|R]) :- write(N), write(' <-- '), caminho(R).