Apresentação em tema: ""— Transcrição da apresentação:

140 Grafos Árvores Geradoras

141 Subgrafo gerador O subgrafo gerador (ou de espalhamento) de um grafo G1(V1,E1) é um subgrafo G2(V2,E2) de G1 tal que V1=V2. Ou seja, G2 contém todos os vértices de G1 Quando o subgrafo gerador é uma árvore, ele recebe o nome de árvore geradora (ou de espalhamento – spanning tree). Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

142 Árvore geradora Uma árvore T é denominada árvore geradora de um grafo conexo G se T é um sub-grafo de G e contém todos os vértices de G Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

143 Subgrafo e Árvore geradora
(b) e (c) são subgrafos geradores de (a) (c) é árvore geradora de (a) e (b) Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

144 Árvore geradora (outro exemplo)
Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

145 Floresta geradora Se um grafo é desconexo, não podemos identificar nenhuma árvore geradora. Mas podemos identificar no mínimo uma floresta de árvores geradoras, uma para cada componente do grafo. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

146 Exemplo de aplicação de árvore geradora
A figura abaixo ilustra um conjunto de terras separadas por muros. Supondo que todas são cheias de água, como podemos esvaziar todas, furando um número mínimo de buracos nos muros? Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

147 Uma árvore geradora, é a solução
Se cada terra e a área exterior formam o conjunto de vértices, e se cada muro separando duas áreas é representado por uma aresta, temos: Uma árvore geradora, é a solução Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

148 Um grafo simples é conexo se e somente se possui uma árvore geradora
Teorema Um grafo simples é conexo se e somente se possui uma árvore geradora Prova: Se G (simples) possui uma árvore geradora então G é conexo Seja T a árvore geradora de G. T contem todos os nós de G. Existe um caminho em qualquer dois nós de T. Como T é subgrafo de G e contem todos os nós de G, existe um caminho entre quaisquer dois nós de G. Logo G é conexo Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

149 Prova: 2) Se G (simples) é conexo então ele possui uma árvore geradora. Se G é conexo e não é uma árvore, ele deve conter um circuito simples. Remova uma aresta de um desses circuitos simples. O subgrafo resultante dessa operação possui uma aresta a menos, mas contem todos os nós de G e ainda é conexo. Se esse subgrafo não é uma árvore, ele possui um circuito simples. Do mesmo modo, remova uma aresta desse circuito. Repita esse processo até que não haja mais circuitos. O resultado é uma árvore geradora de G. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

150 Algoritmo baseado na prova do teorema visto
Algoritmo para achar a árvore geradora Se G não contém nenhum ciclo ele já é a sua própria árvore geradora. Suponhamos agora que ele contém um ciclo. Tirando uma aresta desse ciclo resulta em um grafo ainda conexo. Continuando assim até que não tenha nenhum ciclo, o grafo obtido é um grafo conexo que é uma árvore. Algoritmo baseado na prova do teorema visto Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

151 Solução 1: {B,G}, {A,F}, {G,F}, {G,D}, {G,C},{B,C}
Solução 2: {B,G}, {A,F}, {G,F}, {E,D}, {G,D}, {B,C} Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

152 Algoritmo para achar a árvore geradora
O algoritmo baseado na prova do teorema não é eficiente, pois ele requer que circuitos simples sejam identificados. No lugar de construir árvores geradoras retirando arestas do grafo, vamos construí-las adicionando arestas sucessivamente. Podemos fazer isso de duas maneiras Fazendo busca em profundidade Busca em largura Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

153 Busca em profundidade para achar a árvore geradora (depth-first search)
Arbitrariamente escolha um nó do grafo para a raiz. Construa um caminho começando por esse nó, adicionando arestas sucessivamente, onde cada nova aresta é incidente com o último nó do caminho e com um nó ainda não pertencente ao caminho Continue adicionando arestas a esse caminho para ir o mais longe possível. Se o caminho possui todos os nós do grafo, então o caminho é a árvore geradora do grafo. Caso contrário, retorne ao nó mais próximo de maneira que um novo caminho possa ser construído a partir desse nó e que contenha nós ainda não visitados. Esse processo continua até que todos os nós sejam incluídos na árvore geradora Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

154 Busca em profundidade para achar a árvore geradora (depth-first search) - Exemplo
Backtracking Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

155 Busca em árvores Na busca em profundidade, nós penetramos o mais profundamente possível na árvore, antes de partir para outro vértice 11 2 8 3 7 9 12 4 5 6 1 10 Por exemplo, temos a árvore rotulada onde os rótulos correspondem à ordem em que os vértices foram visitados pela busca em profundidade. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

156 Busca em largura para achar a árvore geradora (breadth-first search)
Arbitrariamente escolha um nó do grafo para a raiz. Adicione todas as arestas incidentes a esse nó Os novos nós adicionados se tornam os nós do nível 1 da árvore geradora Arbitrariamente, ordene os nós do nível 1 Seguindo essa ordem, acrescente cada aresta incidente com os nós do nível, desde que ela não forme um circuito simples. Arbitrariamente, ordene os filhos de cada nó do nível 1. Isso produz os nós do nível 2 Esse processo continua até que todos os nós sejam incluídos na árvore geradora Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

157 Busca em largura para achar a árvore geradora (bread-first search) - Exemplo
3 2 1 Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

158 Busca em árvores Na busca em amplitude, nós percorremos o máximo de vértices possíveis antes de penetrar mais profundamente na árvore. Isso significa que visitamos todos os vértices adjacentes ao vértice atual antes de prosseguir para outro vértice. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

159 Busca em árvores Considerando a árvore ao lado, começamos pelo vértice a e percorremos os vértices b e c que são adjacentes a a . Depois, percorremos os vértices d e e, adjacentes a b, e os vértices f, g e h, adjacentes a c; e assim por diante. g b c d e f h i j k a l Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

160 Busca em árvores A figura abaixo nos mostra uma árvore rotulada onde os rótulos correspondem à ordem em que os vértices foram visitados pela busca em amplitude, no exemplo anterior 7 2 3 4 5 6 8 9 10 11 1 12 Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

161 Backtracking para decidir se um grafo pode ser colorido com n cores
Arbitrariamente escolha um nó a e associe a cor 1 a ele Escolha um nó b e se ele não for adjacente a a, associe a cor 1 a ele, caso contrário associe a cor 2. Agora vá para o terceiro nó c, e associe a cor 1 se possível, caso contrário a cor 2, se não for possível também, associe a cor 3. Continue esse processo usando uma das n cores. Caso você encontre um nó que não pode ser colorido com uma das n cores, retroceda até o último nó colorido e tente trocar a sua cor para a próxima da lista, caso não seja possível, retroceda novamente a partir desse nó e assim sucessivamente até que você encontre um nó que seja possível mudar a sua cor e aí o processo de colorir continua. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

162 Backtracking para decidir se o grafo a seguir colorido com 3 cores
Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

163 Backtracking para encontrar um subconjunto de um conjunto de inteiros cuja a soma de seus elementos é M Arrumamos o conjunto numa ordem Começamos com a soma de nenhum termo Um inteiro na sequencia é incluído se a soma permanece menor que M quando esse inteiro é incluído Se ao encontrar um termo cuja a inclusão dê uma soma maior que M, retroceda apagando o último termo da soma Ex: encontre um subconjunto de {31,27,15,11,7,5}, cuja soma é igual a 39. Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta

164 Ex: encontre um subconjunto de {31,27,15,11,7,5}, cuja soma é igual a 39.
Ø Soma = 0 {27} Soma = 27 {31} Soma = 31 {31,7} Soma = 38 {31,5} Soma = 36 {27,11} Soma = 38 {27,7} Soma = 34 {27,7,5} Soma = 39 Centro de Informática - UFPE Matemática Discreta