Cortes (cut-sets)‏ 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)‏ 1.

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1 Cortes (cut-sets)‏ 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037/INF2781)‏ 1

2 Corte por arestas Em um grafo conexo G, um corte de arestas é um conjunto de arestas cuja remoção de G torna G desconexo, desde que nenhum subconjunto próprio desse conjunto também desconecte G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 2

3 Corte por arestas rank de um grafo: r = n - (G)‏
Subconjunto minimal de arestas de maneira a garantir a conexidade de cada componente do grafo corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção reduz o rank de um grafo de uma unidade. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 3

4 Corte por arestas corte de arestas: subconjunto minimal de arestas cuja remoção acarreta uma partição no grafo. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 4

5 Propriedades Todo corte de arestas de um grafo conexo G deve conter pelo menos uma aresta de toda árvore geradora de G; Em um grafo conexo G, qualquer conjunto minimal de arestas contendo pelo menos uma aresta de qualquer árvore geradora de G é um corte de arestas; Todo ciclo possui um número par de arestas em comum com qualquer corte de arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 5

6 Corte por Aresta (Bondy & Murty)‏
Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 6

7 Corte por Aresta (Bondy & Murty)‏
Para subconjuntos S e S’ de V, denotamos por [S, S´] o conjunto de arestas com um extremo em S e outro em S´ Seja C um subconjunto de E da forma [S, S´], onde S é um subconjunto não vazio e próprio de V e S´=V-S 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 7

8 Bond Se C é minimal, então C é um corte de arestas de G.
Em alguns livros o corte de arestas é denominado bond. Se G é conexo, então um bond B de G é um subconjunto minimal de E tal que G-B é desconexo. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 8

9 Exemplo: G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 9

10 Exemplo: G a b 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 10

11 Exemplo: G a Conjunto de arestas que desconecta o grafo! b 2010/2
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12 Exemplo: G a Mas não é minimal!!! b 2010/2 Teoria dos Grafos
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13 Exemplo: G a É um corte de arestas (bond)!! b 2010/2 Teoria dos Grafos
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14 Cotree Se H é um subgrafo de G, o complemento de H em G, denotado por H é o subgrafo G-E(H). Se G é conexo, e T é uma árvore geradora de G, então T é dita cotree de G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 14

15 Teorema: Seja T uma árvore geradora de um grafo conexo G e seja a uma aresta de T. Então: a cotree T não contém corte de aresta de G; T + a contem um único corte de arestas de G. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 15

16 Prova Exercício!!!!!!!!!! 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 16

17 Conectividade e Separabilidade
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18 Conectividade de arestas
Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G))‏ K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. K´(T) = ????, onde T é uma árvore. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 18

19 Corte de vértices Subconjunto minimal de vértices V´  V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo. G – V´: desconexo ou nulo e  subconjunto próprio V´´ V´, G – V´´ é conexo e não nulo. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 19

20 Conectividade de vértices
O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G))‏ K(T) = ????, onde T é uma árvore. Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 20

21 Conectividade de vértices
K´(G) = K(G) = 0, G desconexo K(G)  n – 2,  G  Kn 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 21

22 Grafo separável Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1.
Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 22

23 Articulação Vértice cuja remoção desconecta o grafo. 2010/2
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24 Teorema Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:
Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y  v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 24

25 Maior conectividade de vértices e arestas
Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 25

26 Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 26

27 Prova Seja w o vértice de grau mínimo de G ()‏
É possível desconectar G, removendo-se as  arestas incidentes a w.  ≥ K´(G) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 27

28 Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 28

29 Questão Sejam G = (V,E) um grafo e E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´|  |E´|? 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 29

30 G, K(G)  K´(G)‏ 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 30

31 Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037)‏ 31