Teoria dos Grafos – Aula 2

Apresentação em tema: "Teoria dos Grafos – Aula 2"— Transcrição da apresentação:

1 Teoria dos Grafos – Aula 2
Profª.: Loana T. Nogueira

2 Matriz de Incidência (v x e)

3 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes

4 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4

5 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e2 v1 v2 v1 v2 v3 v4 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6

6 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4

7 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4

8 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4

9 Matriz de Incidência (v x e)
MG=[mij] mij é o número de vezes que vi e ej são incidentes e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4

10 Matriz de Adjacência (v x v)

11 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj

12 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

13 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

14 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

15 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4 v1 v2 v3 v4

16 Matriz de Adjacência (v x v)
AG=[aij] aij é o número de arestas ligando vi e vj e1 v1 v2 v3 v4 e2 v1 v2 v1 v2 v3 v4 e5 e7 e3 v4 v3 e4 e6

17 Subgrafos

18 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G)

19 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G

20 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H

21 Subgrafos Um grafo H é um subgrafo de G (H  G) se V(H)  V(G) e E(H) E(G) Quando H  G e H  G, denotamos H  G e dizemos que H é subgrafo próprio de G Se H é um subgrafo de G então G é um supergrafo de H Um subgrafo gerador de G é um subgrafo H com V(H) = V(G)

22 Subgrafo Induzido

23 Subgrafo Induzido Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’.

24 Subgrafo Induzido Seja V´ um subconjunto não vazio de V. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é V´ e o conjunto de arestas é o conjunto de todas as arestas de G com ambos extremos em V´ é chamado de subgrafo de G induzido por V’. G[V’]: é um subgrafo induzido de G.

25 G[v\v´], denotado por G-V’
É o subgrafo obtido a partir de G pela remoção dos vértices em V´ e suas arestas incidentes Se V´={v}, escrevemos G-v ao invés de G-{v}

26 Subgrafo induzido (por aresta)
Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

27 Subgrafo induzido (por aresta)
Seja E´um subconjunto não vazio de arestas de E. O subgrafo de G cujo conjunto de vértices é o conjunto dos extremos das arestas em E, cujo conjunto de arestas é E´ é chamado de subgrafo de induzido por arestas

28 Subgrafo induzido (por aresta)
G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´

29 Subgrafo induzido (por aresta)
G- E´: subgrafo gerador de G com conjunto de arestas E\E´ G+E´: grafo obtido a partir de G adicionando um conjunto de arestas E

30 Exemplo u e a f y g v d h b x w c

31 Exemplo Um subgrafo gerador de G u e a f y g v d h b x w c

32 Exemplo Um subgrafo gerador de G u u y y v v x w x w e a e f g g d h b
c c

33 Exemplo G – {u,w} u e a f y g v d h b x w c

34 Exemplo G – {u,w} u e a f f y g v y g v d h b d h b x w x w c c

35 Exemplo G – {u,w} u e a f f y y g v g v d h b d h x w x c

36 Exemplo G-{a, b, f} u e a f y g v d h x w c

37 Exemplo G-{a, b, f} u e f y g v d h x w c

38 Exemplo G-{a, b, f} u e f y g v d h x w c

39 Exemplo G-{a, b, f} u e y g v d h x w c

40 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u e a f y g v d h b x w c

41 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u u e a f y g v v d h b x w x c

42 Exemplo O subgrafo induzido G[u, v, x] u u e a f y g v v d h b x w x c

43 Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u y v x w e a f g
h b x w c

44 Exemplo O subgrafo induzido G[a, d, e, g] por aresta u u y y v v x w x
h b d x w x c

45 Subgrafos Disjuntos Sejam G1, G2  G

46 Subgrafos Disjuntos Sejam G1, G2  G
G1e G2 são disjutos se V(G1)V(G2) = 

47 Subgrafos Disjuntos em aresta

48 Subgrafos Disjuntos em aresta
Sejam G1, G2  G

49 Subgrafos Disjuntos em aresta
Sejam G1, G2  G G1e G2 são disjutos em aresta se E(G1)E(G2) = 

50 União de Grafos

51 União de Grafos G1 G2: é o subgrafo com conjunto de vértice V(G1)  V(G2) e conjunto de aresta E(G1)  E(G2)

52 União de Grafos G1 G2: é o subgrafo com conjunto de vértice V(G1)  V(G2) e conjunto de aresta E(G1)  E(G2) G1+ G2 se G1e G2 são disjuntos

53 Interseção Similar, mas neste casa G1e G2 devem ter ao menos um vértice em comum

54 Grau dos vértices

55 Grau dos vértices O grau dG(v) de um vértice v em G é o número de arestas de G incidentes a v Cada loop conta como duas arestas

56 Grau dos vértices O grau dG(v) de um vértice v em G é o número de arestas de G incidentes a v Cada loop conta como duas arestas (G): grau mínimo de G (G): grau máximo de G

57 Teorema:  d(v) =2m v  V

58 Teorema:  d(v) =2m v  V Prova por indução em n!!!

59 Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par.

60 V1: conjunto do vértices de G com grau par
Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. V1: conjunto do vértices de G com grau par V2: conjunto dos vértices de G com grau ímpar

61 V1: conjunto do vértices de G com grau par
Corolário: Em qualquer grafo, o número de vértices de grau ímpar é par. V1: conjunto do vértices de G com grau par V2: conjunto dos vértices de G com grau ímpar  d(v) +  d(v) =  d(v) v  V v  V v  V

62 Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k,  v  V

63 Grafo k-regular G é k-regular se d(v) = k,  v  V
Um grafo G é regular se é k-regular para algum k.

64 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1  i  k, os extremos de ei são vi-1 e vi.

65 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1  i  k, os extremos de ei são vi-1 e vi. W é um passeio de v0 a vk.

66 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1  i  k, os extremos de ei são vi-1 e vi. W é um passeio de v0 a vk. v0 : início do passeio vk : término do passeio

67 Caminhos Um passeio em G é uma sequência não-nula W=v0e1v1e2v2...ekvk, cujos termos são alternadamente vértices e arestas, tais que, 1  i  k, os extremos de ei são vi-1 e vi. W é um passeio de v0 a vk. v0 : início do passeio vk : término do passeio K: comprimento do caminho

68 Trilha Não pode repetir arestas

69 Caminho Não pode repetir vértices (nem arestas)

70 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G. Notação: caminho-(u,v)

71 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G

72 Grafo Conexo u e v são ditos conectados se existir um caminho entre u e v em G Notação: caminho-(u,v) G é dito conexo se existir caminho entre quaisquer dois vértices de G Relação de Equivalência definida pela conexão entre os vértices

73 Equivalência Reflexiva

74 Equivalência Caminho-(u, u)

75 Equivalência Caminho-(u, u) Simétrica

76 Equivalência Caminho-(u, u)
Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u)

77 Equivalência Caminho-(u, u)
Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Transitiva

78 Equivalência Caminho-(u, u)
Se existe caminho-(u,v) então existe caminho-(v,u) Se existem os caminhos-(u,v) e –(v,w) então existe caminho-(u,w)

79 Componentes Conexas

80 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi

81 Componentes Conexas É possível particionar G em classes de equivalência: V1, V2, ..., Vp tal que dois vértices são conectados se e somente se pertence a um mesmo Vi Os subgrafos G[V1], ..., G[Vp] são chamados de componentes conexas de G.

82 Maximal (Minimal) G´  G é maximal em relação a uma propriedade  se não houver G’’  G´tal que G” tem a propriedade .

83 Maximal (Minimal) G´  G é maximal em relação a uma propriedade  se não houver G’’  G´tal que G” tem a propriedade . Componentes conexas: são todos os subgrafos conexos maximais de G.

84 Exemplo G

85 Exemplo G G é Conexo

86 Exemplo H G G é Conexo

87 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

88 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

89 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

90 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

91 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo

92 Exemplo H G G é Conexo H é desconexo
(G)= número de componentes conexas de G

93 Ciclo Uma sequência v1, v2, ..., vp, v1 é um ciclo em G se v1, v2, ..., vp é um caminho em G.

94 Ciclo Uma sequência v1, v2, ..., vp, v1 é um ciclo em G se v1, v2, ..., vp é um caminho em G. k-ciclo : um ciclo de tamanho k

95 Ciclo Uma sequência v1, v2, ..., vp, v1 é um ciclo em G se v1, v2, ..., vp é um caminho em G. k-ciclo : um ciclo de tamanho k 3-ciclo: triângulo

96 Teorema: Um grafo G é bipartido se e somente se não contém ciclo ímpar

97 () v u

98 () P v u

99 () P w v u

100 () P Q w v u

101 () P Q w v u u1

102 () P Q w P1 v u u1

103 () P Q w P1 v Q1 u u1

104 () P Q w v u u1

105 () P Q w v u u1