Pontes Seja (G) o número de componentes conexas de G. Uma ponte é uma aresta a tal que (G - a) > (G)

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1 Pontes Seja (G) o número de componentes conexas de G. Uma ponte é uma aresta a tal que (G - a) > (G)

2 Teorema Uma aresta a é uma ponte de G sss não existir ciclo em G contendo a

3 Distância Conceito útil para se medir a localização relativa entre diferentes vértices de um grafo Distância d(v,w): – em um grafo conexo: número de arestas do menor caminho que liga v a w.

4 Excentricidade de um vértice em um grafo Excentricidade de um vértice E(v) o valor da maior distância entre v e qualquer outro vértice de G. E(v) = max d(v,vi), v V vi V

5 Centro O conjunto de vértices com excentricidade mínima em um grafo é denotado centro do grafo

6 Diâmetro e vértice periférico Diâmetro de um grafo G é a maior das excentricidades existentes em G. Vértice periférico de um grafo G é um vértice cuja excentricidade é igual ao diâmetro

7 Qual o centro, o diâmetro e os vértices periféricos? e G a b c d

8 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exercício 1. Calcule o centro, o diâmetro e os vértices periféricos de cada um dos grafos abaixo: a b c de f gh ij a bc de f

9 Grafos eulerianos

10 Linha de Euler Em que tipo de grafo é possível achar um ciclo que passe por cada aresta exatamente uma vez? Esse ciclo linha de Euler O grafo que consiste nesta linha: grafo euleriano Um grafo euleriano é sempre conexo, a menos de vértices isolados.

11 Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss todos os vértices de G são de grau par

12 Teorema Um grafo conexo G é um grafo euleriano sss ele pode ser decomposto em ciclos

13 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Ciclos Eulerianos entrada: grafo euleriano G = (V,E) 1. EC [w]; 2. CV w; 3. E´ ; 4. enquanto | (w)| > 0 faça 5. se | (CV)| > 1 então 6. encontrar v (CV), {CV,v} não é ponte de G-E´ 7. senão 8. v = o vértice em (CV) 9. fim-se 10. retirar v de (CV) e CV de (v) 11. E´ E´ U {{CV,v}} 12. CV v; 13. adicionar CV no final de EC 14. fim-enquanto saída: EC CV: vértice que está sendo visitado E´: conjunto de arestas já traçadas EC: lista de vértices ordenada pela seqüência de visitas (v):conjunto de vizinhos de v em G- E´

14 CC/EC/MestradoTeoria dos Grafos Exemplo a b c d e g f a b g c d f e e Exercício: Executar o algoritmo para o grafo descrevendo os principais passos e a idéia do seu funcionamento.