Grafos - Caminhos Caminhos Máximo / Mínimo:

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1 Grafos - Caminhos Caminhos Máximo / Mínimo:
Utilizando um grafo para representar estradas que unem cidades, sendo os nós as cidades e os arcos as distâncias entre as cidades, pergunta-se: - Quais os caminhos (se existir algum) que ligam Spa à Rec? - Existindo mais de um caminho, qual o mais curto? Rio Vit Spa Sal Rec Nat 40 7 5 10 30 15 <(Spa,Sal),(Sal,Nat),(Nat,Rec)> = 30 <(Spa,Rio),(Rio,Vit),(Vit,Rec)> = 45 <(Spa,Rio),(Rio,Nat),(Nat,Rec)> = 52 <(Spa,Rec)> = 40

2 Caminho Mínimo Simulação para o grafo:
Algoritmo de Dijkstra para Caminho Mínimo: Inserir o nó origem na árvore Enquanto o nó destino não está na árvore faça: Calcule a distância para todos os nós vizinhos dos nós que estão na árvore Selecione o nó com a menor distância total e insira-o na árvore Simulação para o grafo:

3 Aplicações 1: Caminhos a partir de x 2: Escolhido menor: xa
4: Escolhido menor: xab 3: Caminhos a partir de x,a

4 Aplicações 5: Caminhos a partir de x,a,b 6: Escolhido menor: xad

5 Aplicações 7: Caminhos a partir de x,a,b,d 8: Escolhido menor: xac

6 Aplicações 9: Caminhos a partir de x,a,b,c,d
10: Escolhido menor: xady

7 Caminho Euleriano O matemático suíço Leonhard Euler (pronuncia-se “óiler”) ( ) ficou curioso devido a uma charada popular sobre o lugarejo de Königsberg (uma cidade da antiga Prússia, mais tarde chamada de Kaliningrado, na Rússia). A charada era determinar se uma pessoa poderia passear pela cidade passando apenas uma vez por cada ponte. a b c d

8 Caminho Euleriano Euler teve a brilhante idéia de apresentar esta charada como um grafo. As pontes são as arestas e os trechos de terra (chamados de a até d) são os vértices. Um caminho Euleriano em um grafo G é um caminho que une as arestas exatamente uma vez. d b a c

9 Caminho Euleriano Existe um caminho Euleriano em um grafo conexo se, e somente se, não houver nenhum ou existirem no máximo dois vértices ímpares. No caso de não haver vértices ímpares, o caminho pode começar em qualquer vértice e terminará neste mesmo vértice; para o caso de haver dois vértices ímpares, o caminho deve começar em um vértice ímpar e terminar no outro”.

10 Caminho Hamiltoniano Um caminho hamiltoniano é um caminho que permite passar por todos os vértices de um grafo G, não repetindo nenhum. Se com esse caminho é possível descrever um ciclo, este é denominado ciclo hamiltoniano (ou circuito hamiltoniano) em G. Um grafo que possua tal circuito é chamado de grafo hamiltoniano.

11 Caminho Hamiltoniano Suponha que um caixeiro viajante deseja visitar N cidades (vértices) de uma certa localização e que, entre alguns pares de cidades existem rotas (arcos ou arestas), através das quais ele pode viajar a partir de uma cidade para outra. Cada rota tem um número associado, que pode representar a distância ou o custo necessário para percorrê-la. Assim, o caixeiro viajante deseja encontrar um caminho que passe por cada uma das N cidades apenas uma vez, e além disso que tenha um custo menor que certo valor; onde o custo do caminho é a soma dos custos das rotas percorridas. Note que a existência de tal caminho nem sempre é possível.