Gráfico de controle EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) – Suavização exponencial simples Troca Rápida de Ferramentas Apresentação mensal à Diretoria Resultados de out/2010 Controle Estatístico do Processo 1 – PPGEP – 3º Trimestre 2011 Prof. Robert Wayne Samohyl, Ph.D Thiago Lopes Almeida 04.nov.2011

Definições Correlação - é a relação ou dependência entre as duas variáveis de uma distribuição bidimensional. Distribuição Bidimensional - é a representação de uma  variável bidimensional (xi , xj), com 1 i  n e xi e xj duas variáveis unidimensionais. Sub-grupo racional – é uma amostra nos quais todos os itens foram produzidos sob condições onde somente causas comuns são responsáveis pela variação de um dado processo. Causas especiais de variações não devem ocorrer dentro de um subgrupo racional, somente entre subgrupos. Modelo Autoregressivo – A especificação de um modelo Autoregressivo (AR) é dada pela equação (1) [WHEELWRIGTH1985]. (1) Onde: xt - corresponde à observação da série temporal no tempo t; Фt - corresponde ao parâmetro do modelo AR de ordem p ; et - representa o erro de eventos aleatórios que não podem ser explicados pelo modelo. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. Caso as observações da série temporal possam ser representadas pela equação (1), a ordem do modelo puder ser determinada e os parâmetros estimados, é possível prever o valor futuro da série em análise [WHEELWRIGTH1985].

Introdução O gráfico de controle de Shewhart é uma regra de decisão estatística, tomada com base nas observações de um processo para determinar se a característica de qualidade sendo monitorada desviou-se de seu valor-alvo. Esta forma de monitoramento é comum na indústria, pois serve para distinguir causas comuns de causas especiais de variação, identificar o instante em que o processo foi alterado, entender a causa-raiz do desajuste e melhorar o processo prevenindo reincidências. Cartas de controle são habitualmente planejadas e avaliadas assumindo que observações consecutivas do processo são independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.), entretanto esta hipótese é freqüentemente violada na prática, pois a maioria dos processos apresenta autocorrelação. Os processos de manufatura, em geral, são regidos por elementos inerciais, e quando o intervalo entre observações torna-se pequeno em relação a estas forças, elas se tornam correlacionadas ao longo do tempo (MONTGOMERY, 2001). Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Se a autocorrelação na variável sob monitoramento é uma causa especial, deve-se tentar eliminá-la. Por outro lado, se ela é parte inerente da variabilidade resultante de causas comuns e não pode ser removida, deve-se levá-la em consideração no planejamento das cartas de controle, evitando-se estimativas incorretas de seus parâmetros, que refletem em aumento na taxa de alarmes falsos ou no número de amostras necessárias para detecção de deslocamentos na média do processo (VANDER WIEL, 1996; REYNOLDS; LU, 1997; VAN BRACKLE, III; REYNOLDS, 1997; LU; REYNOLDS, 1999). Na presença de correlação, os métodos clássicos utilizados na obtenção dos limites naturais de tolerância e índice de capacidade de processo devem ser revistos (ZHANG, 1998; KNOTH; AMIN, 2003; RAMOS; HO, 2003). Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. Uma alternativa, é o uso dos gráficos EWMA (Exponentially Weighted Moving Average) com limites de controle adaptados à existência da correlação no modelo do processo.

A carta de controle de Médias é a mais conhecida das ferramentas de monitoramento de processos, contudo, ela serve apenas para detectar grandes perturbações na média. O gráfico de EWMA, por outro lado, é comumente utilizado quando o processo está sujeito a pequenas perturbações. Sendo as cartas de CUSUM e EWMA preferencialmente utilizadas quando há só uma medida em cada sub-grupo racional. Os dois em maneiras diferentes utilizam toda a série de dados para calcular os limites de controle e os pontos no gráfico. No entanto, entre os dois não há consenso sobre os méritos relativos. Quando o processo está em controle qualquer sinal dado pelo gráfico é um alarme falso, portanto, neste caso, o NMA deve ser suficientemente grande para que a taxa de alarmes falsos seja pequena. Com o processo em controle, o Número Médio de Amostras até o sinal é dado pelo NMAzero. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. Nas tabelas em que se compara os NMAs dos gráficos de Shewhart e de EWMA estabeleceu-se NMAzero=500..

Zi = Xi + (1-)Zi-1 Média EWMA A média calculada por suavização exponencial simples é definida como uma combinação entre a média do período passado Zi-1 e o valor observado mais recentemente Xi; o parâmetro  que pondera a combinação será discutido em seguida: Zi = Xi + (1-)Zi-1 Nota-se que no período anterior, Zi-1 foi calculado usando Xi-1 e Zi-2. Nesse sentido, se for feita uma série de substituições seqüenciais para todos os Z no passado: Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. A média EWMA usa todos os dados da série e que a ponderação da média declina geometricamente no passado até um valor teórico de 0,00.

Parâmetro  A média móvel exponencialmente ponderada (EWMA) introduz lambda (λ), que é chamado de parâmetro de suavização. Sob essa condição, em vez de pesos iguais, cada retorno ao quadrado é ponderado por um multiplicador da seguinte forma: Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.   p/ λ = 0,20 80,00% 1 16,00% 2 3,20% 3 0,64% O gráfico EWMA possui uma base conceitual muito intuitiva, dados mais velhos pesam menos no cálculo da média, enquanto dados mais recentes valem mais.

Escolha do Parâmetro  A inovação introduzida pelo EWMA advém do fato de este método atribuir pesos diferentes a cada observação da série. Enquanto que na Média Móvel as observações usadas para encontrar a previsão do valor futuro contribuem em igual proporção para o cálculo dessa previsão, na Suavização Exponencial Simples as informações mais recentes são evidenciadas pela aplicação de um fator que determina essa importância [WHEELWRIGTH1985]. O parâmetro  determina a que taxa os dados "mais velhos" entram no cálculo da estatística EWMA. Um valor de  =1 implica que apenas uma medida, a mais recente, influencia o EWMA. Assim, um valor alto dá mais peso aos dados recentes e menos peso aos dados mais antigos, um pequeno valor dá mais peso aos dados mais antigos. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. O valor geralmente é ajustado entre 0,2 e 0,3 (Hunter) , embora esta escolha é um pouco arbitrária. Lucas e Saccucci (1990) dão tabelas que ajudam o usuário selecione .

Desvio padrão - EWMA O desvio padrão de Zi de EWMA é o seguinte: A determinação dos limites de controle depende exclusivamente de uma criteriosa avaliação dos conceitos de alarme falso e alarme não dado na formulação de NMA0 e NMA1, muito semelhante ao diagnostico feito para gráficos de controle CUSUM. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Limites de controle - EWMA O distanciamento (L) dos limites de controle da linha do meio (alvo ou média, 0 ) depende diretamente dos valores de . Os limites de controle são, LSC = + LZi LC = 0 LSC = 0 - LZi Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. Exemplos: Os conceitos atrás da escolha entre pares de valores (, L) possuem complexidade matemática apresentados em, Hunter(1989) e Lucas e Saccucci (1990).

Bibliografia Obrigado! SAMOHYL, R. W. – Controle Estatístico da Qualidade – Cap 10. MAGALHÃES, Rodrigo R; CYMROT, Raquel – Técnicas alternativas de monitoramento e controle estatístico de processos aos gráficos de controle de Shewhart – III Jornada de Iniciação Científica – Universidade Mackenzie, 2007. Claro, Fernando Antonio E. - Gráficos de controle de EWMA e de X-barra para monitoramento de processos autocorrelacionados - UNESP – Guaratinguetá, 2007 Bibliografia Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok. Obrigado!

Suavização Exponencial Linear Quando o método Suavização Exponencial Simples é aplicado na previsão de séries temporais que apresentam tendência entre as observações passadas, os valores prognosticados superestimam (ou subestimam) os valores reais [MORETTIN1981]. Desta forma, a acuidade das previsões fica prejudicada. Para evitar esse erro sistemático, o método Suavização Exponencial Linear foi desenvolvido procurando reconhecer a presença de tendência na série de dados [WHEELWRIGTH1985]. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Suavização Exponencial Linear O valor da previsão obtido através deste método é alcançado pela aplicação da equação (2) [WHEELWRIGTH1985]. (2) Onde corresponde à previsão no tempo t, conforme equação (3); representa a componente de tendência, obtida pela equação (4) e m é o horizonte de previsão. (3) onde é o peso atribuído à observação , 0 < < 1. (4) onde é o coeficiente de alisamento, análogo a . Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Suavização Exponencial Sazonal e Linear de Winter Este método produz resultados similares ao Suavização Exponencial Linear, sendo, no entanto, capaz de manipular séries temporais que além de apresentarem tendência nos dados, apresentam também sazonalidade [WHEELWRIGTH1985]. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.

Suavização Exponencial Sazonal e Linear de Winter As equações (5), (6), (7) e (8) definem o referido método de previsão. (5) (6) (7) (8) Onde corresponde ao alisamento do fator de sazonalidade ; l é o intervalo da sazonalidade e corresponde ao peso atribuído ao fator de sazonalidade. Thiago, não alterei, fiz a leitura e esta ok.