Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim)

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1 Sobre Geoestatística e Mapas. (Paulo M. Barbosa Landim)
Everson Mattos Santa Maria-RS, Julho/2013

2 Resumo 1 – O que é Geoestatística; 2 – Variáveis Regionalizadas;
3 – O Semivariograma; 4 – Krigagem Ordinária; 5 – Interpolação. 2 2 2 2

3 O que é Geoestatística? Geoestatística é uma área da estatística aplicada que trata dos fenômenos, que podem ser estudados usando a teoria das variáveis regionalizadas. 3 3 3

4 Variáveis Regionalizadas
As variáveis regionalizadas são aquelas que apresentam duplo aspecto contraditório. Aleatório: apresenta irregularidade e variação imprevisível de um ponto para outro. Estrutural: apresenta relação existentes entre os pontos no espaço. (determinístico no espaço) 4 4 4

5 Semivariograma O grau de relação entre pontos numa certa direção pode ser expresso pela covariância. Covariância é uma medida de associação (relação) Embora existam correlação em todas as direções, pode-se estimar apenas em passos regularmente espaçados Se o fenômeno for isotrópico não dependerá da direção, dependerá apenas de 5 5 5

6 Semivariograma Espaçamento entre amostras 100 pés.

7 Para a direção Oeste-Leste (WE)
Semivariograma Para a direção Oeste-Leste (WE) 7 7

8 Semivariograma 8 8 8

9 Semivariograma Para a direção Norte-Sul (NS) 9 9

10 Semivariograma 10 10

11 Semivariograma Regra prática – número mínimos de pares entre 30 e 40;
Maior distância entre pontos: (Leste – Oeste); e (Norte – Sul); 11 11

12 Semivariograma Anisotropia:
Geométrica – Quando o “a” varia e o “Sill” fica constante; Zonal – Quando “Sill” varia e o “a” permanece constante; Efeito pepita – Erro de medida, ruído, ou amostras muito espaçadas; 12

13 Semivariograma Quando não se sabe se o fenômeno é isotrópico ou anisotrópico, usa-se as direções dos pontos cardeais e colaterais com ângulo de abertura de 45º. Quando descoberta uma direção de forte anisotropia deve-se investigar essa direção ângulo de abertura pequeno. Melhores estimativas são obtidas quando os modelos são baseados em Semivariogramas experimentais que apresentam a menor razão e maior alcance. 13

14 Semivariograma Validação cruzada, forma de verificar as estimativas;
A melhor forma é a comparação com dados de campo; A média do erro = zero, indica apenas que o modelo escolhido é menos incorreto que outros; Cuidado na determinação do semivariograma, determina toda a análise geoestatística. 14 14

15 Semivariograma 15 15

16 Krigagem Ordinária Krigagem é um processo de estimativa de valores de variáveis distribuídas no espaço e/ou tempo ... Estimativa por média móvel. “ ... O uso de semivariograma para a estimativa por kigragem não exige que os dados tenham distribuição normal, mas a presença de distribuição assimétrica, com muitos valores anômalos, deve ser considerada, pois a krigagem é um interpolador linear.”(p. 27) 16 16

17 Krigagem Ordinária Problema: como estimar um ponto não amostrado A, conhecendo–se apenas os valores de algumas amostras (x1,...xn)? Uma forma, muito comum é usar uma combinação linear dos dados existentes, ou seja: Toda estimação possui um erro associada a ela, nesse caso o erro é descrito como: 17

18 Krigagem Ordinária O estimador é dito de confiança se a média do erro de estimação for zero. Uma forma usual de medir a confiança de um estimador é utilizar o desvio padrão ou sua variância. Entretanto, nesse caso não se sabe o valor real, apenas a estimativa, logo não se sabe o erro e tampouco a variância. Então com o se faz? 18

19 Krigagem Ordinária A solução é utilizar o semivariograma para estimar a variância, logo: Sendo que a estimativa é: Assumindo que: Restrição necessária para encontrar a solução do sistema de equações lineares. 19

20 Krigagem Ordinária Considerando também que não haja tendência local dos valores, isto é: Caso isso ocorra o estimador é ótimo e não tendencioso, pois, dado um conjunto de pesos para cada valor a ser estimado ocorre a minimização das variâncias dos erros:

21 Krigagem Ordinária Assim para estimar o valor ‘A’, é necessário resolver um sistema de equações linear para ser resolvido com n equações. Como há uma restrição, , tem-se o aumento uma variável independente. Para resolver esse problema (Otimização com restrição), utiliza-se o multiplicador de Lagrange para que o sistema linear possa ter solução.

22 Krigagem Ordinária O sistema pode ser escrito como:
Desejam-se os ponderadores:

23 Krigagem Ordinária O ponto a ser estimado pela krigagem é:

24 Interpolação Interpolação com o Inverse Distance Weighting (IDW) Ponto
X Y U3O4 Distâncias 1/Distância Pesos A 4150 2340 0.000 - 1 4170 2332 400 21.541 0.0464 2 4200 380 50.000 0.0200 3 4160 2370 450 31.623 0.0316 4 2310 280 30.000 0.0333 5 4080 320 70.000 0.0143

25 Interpolação O mesmo problema agora usando krigagem ordinária

26 Interpolação

27 Interpolação

28 Interpolação

29 Interpolação 29

30 Interpolação O valor estimado com o interpolador do tipo IDW e a Krigagem são muito semelhantes! Pode-se com a krigagem avaliar o erro de estimação ou a faixa de valores, as quais o valor verdadeiro é mais provável.

31 Interpolação O valor verdadeiro do ponto A deve estar, com 95% de certeza, entre: 31

32 Mapa Modelo de variograma ajustado ao variograma experimental
Mapa de localização de pontos de amostragem

33 Mapa Mapa estimado pelo método da krigagem ordinária
Mapa de desvios-padrão da krigagem associados aos valores estimados

34 Mapa

35 Concluindo Pode-se estimar um valor não amostrado e vavaliar o erro dessa estimativa, conforme os mapas anteriores. Entretanto, segundo Landim, não há garantia que os dados interpolados mantenham o mesmo histograma e a mesma variância e o mesmo semivariograma dos dados originais. Alguns aplicativos que podem auxiliar no tratamento estatístico de dados: Surfer®, SPSS®, Estatística®

36 Obrigado! Centro Reginal Sul de Pesquisas Espaciais – CRS/INPE
Universidade Federal de Santa Maria – UFSM Pós-Gradução em Geografia e Geociências Santa Maria-RS, Out/2013