Trabalho realizado por: GEOMETRIA FRACTAL Trabalho realizado por: Ana Catarina Cascão Ricardo Cardoso Sónia Damas

Euclides 330-260 a.C. Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis. Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples.

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Para Euclides, os objectos da Natureza podiam ser representados como formas geométricas simples, como quadrados, circunferências, etc... No entanto, a geometria euclidiana era insuficiente e até grosseira para explicar e descrever estes fenómenos naturais.

Como surgiram os fractais? Segunda metade do séc. XIX e a primeira do séc. XX: “Monstros Matemáticos” Objectos que desafiavam as noções comuns de infinito e para os quais não havia uma explicação objectiva Curva de Peano Triângulo de Sierpinski

Como surgiram os fractais? Floco de Neve de Koch Conjunto de Julia Conjunto de Cantor

Como surgiram os fractais? Benoit Mandelbrot Nasceu a 20 de Novembro de 1924 na Polónia; Formação Académica realizada em França; Grande gosto pela geometria, procurando resolver muitos problemas matemáticos com base na mesma; fftfufuyfyifififiy No ínicio dos anos 80, nomeou (ao invés de descobrir ou inventar) os fractais, para classificar certos objectos que não possuiam necessariamente dimensão inteira, podendo ter dimensão fraccinária.

Curiosidade: Como surgiu a palavra fractal? Embora os “monstros matemáticos” existissem há muito tempo, ainda ninguém lhes tinha atribuído nenhum nome. Foi então que Benoit Mandelbrot, ao preparar a sua primeira obra sobre os ditos “monstros”, sentiu necessidade de lhes atribuir um nome. verbo frangere (que significa quebrar, fracturar, irregular) FRACTAL adjectivo fractus

FRACTAIS Objectos que não possuem necessariamente dimensão inteira Formas igualmente complexas no detalhe e na forma global FRACTAIS Formas geométricas irregulares e fragmentadas que podem ser subdivididas em partes, e cada parte será uma cópia reduzida da forma toda Objectos que não perdem a sua definição formal à medida que são ampliados, mantendo a sua estrutura idêntica à original

Características de um Fractal Auto-semelhança; Dimensão; Complexidade Infinita.

Auto-Semelhança O conjunto total é constituído por pequenas réplicas desse mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a ampliação considerada, obteremos sucessivas cópias do objecto inicial. Auto-semelhança Exacta Aproximada

Auto-Semelhança Qualquer que seja o número de ampliações de um determinado objecto fractal, nunca obteremos a “imagem final”, uma vez que ela poderá continuar a ser infinitamente ampliada. Fernando Pessoa, através de um dos seus heterónimos, tinha esta visão dos objectos da Natureza, embora não tivesse conhecimento da Geometria Fractal: “...E também o mundo, Com tudo aquilo que contém, Com tudo aquilo que nele se desdobra E afinal é a mesma coisa variada em cópias iguais.”  Fernando Pessoa – Poesias de Álvaro de Campos

Dimensão Da Geometria Euclidiana sabemos que:  Um ponto é o que não tem parte, isto é, tem dimensão zero;  Uma linha é um comprimento sem largura, ou seja, tem dimensão um;  Uma superfície é o que só tem comprimento e largura (dimensão dois);  Um sólido é o que tem comprimento, largura e profundidade (dim. 3). Vejamos uma “simples” linha que se espalha por uma superfície plana sem nunca se cruzar. No limite, ela preenche todo o plano. Na Geometria Euclidiana esta linha tem dimensão 1, no entanto intuitivamente ela parece ser quase bidimensional.

Dimensão ? E se formos confrontados com uma dimensão não inteira Para introduzir a noção de dimensão não inteira, Mandelbrot deu o seguinte exemplo: A dimensão de um novelo de fio depende do ponto de vista da pessoa: Visto de longe, o novelo não é mais do que um ponto, ou seja, tem dimensão zero; Visto de mais perto, o novelo parece-nos uma “bola”, assumindo assim três dimensões; Visto ainda mais de perto e se utilizarmos um microscópio de alta definição, o novelo não passa de um conjunto de pontos – átomos – isolados o que significa que o novelo tem dimensão zero.

Dimensão A dimensão de um objecto, ao contrário do que sucede na Geometria Euclidiana, não é necessariamente um número inteiro. Com efeito, ela pode ser um número fraccionário. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço, estando relacionada com o seu grau de irregularidade. Definimos então dimensão de uma curva fractal como sendo um número que caracteriza a maneira na qual a medida do comprimento entre dois pontos aumenta à medida que a escala diminui. Fica então mais fácil explicar a Natureza e assim os nossos modelos aproximam-se mais do real.

Dimensão Dimensão 1: Considere-se um segmento de recta; após a redução fica-se com 4 (=41) partes iguais. Dimensão 2: Efectuando o mesmo processo para o quadrado, dividir cada um dos lados em 4 partes iguais, fica-se com 16 (= 42) partes iguais. Dimensão 3: Procedendo-se de igual modo para o cubo, obtém-se 64 (= 43) partes iguais.

Dimensão Sejam: N = número de partes em que se divide o objecto; r = coeficiente de redução. Dimensão 1 Dimensão 2 Dimensão 3

(d é a dimensão do objecto em estudo) Generalizando: (d é a dimensão do objecto em estudo) Este raciocínio é válido para qualquer redução efectuada em objectos com auto-semelhança exacta.

Complexidade Infinita Prende-se com o facto do processo gerador dos fractais ser recursivo, tendo um número infinito de iterações; O objecto fractal pode, por isso, ser ampliado tantas vezes quantas se queira, nunca se obtendo a imagem final; O fractal será por isso a figura limite do seu processo gerador e não qualquer um dos passos finitos presentes nesse mesmo processo;

Geometria Euclidiana e Geometria Fractal "Porquê usar palavras? A geometria existia antes de nós. É eterna como o espírito de Deus, é o próprio Deus. A geometria com suas esferas, cones, hexágonos e espirais deu a Deus um modelo para a criação e foi implantada no Homem como imagem e semelhança de Deus.“ Kepler,1610 "Há alguma razão para a geometria não descrever o formato das nuvens, das montanhas, das árvores ou a sinuosidade dos rios? Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos, um latido não é contínuo, e nem o raio viaja em linha recta...” Mandelbrot,1983

Geometria Euclidiana e Geometria Fractal Tradicional (mais de 2000 anos) Moderna (25 anos) Baseada em tamanho ou escala definida Sem tamanho ou escala específica Apropriada a objectos feitos pelo Homem Apropriada a formas naturais Dimensão no conjunto {0,1,2,3} Dimensão no conjunto [0,3] Descrita por fórmulas e equações Uso de algoritmos recursivos

Floco de Neve de Koch Triângulo Inicial Estrela de David REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com um triângulo equilátero sólido Quando vir um segmento fronteiro substitua-o por

Floco de Neve de Koch

O número de lados do Floco de Neve de Koch tende para o infinito. Como varia o número de lados com as transformações? Passos Número de lados Figura de partida 3 = 3 x 40 1 3x4 12 3 x 41 2 12x4 48 3 x 42 48x4 192 3 x 43 4 192x4 768 3 x 44 5 768x4 3072 3 x 45 O número de lados do Floco de Neve de Koch tende para o infinito.

O comprimento de cada lado do Floco de Neve de Koch tende para zero. Como varia o comprimento de cada lado com as transformações? Passos Medida de cada lado Figura de partida 1 = 3-1 2 3-2 3 3-3 4 3-4 5 3-5 O comprimento de cada lado do Floco de Neve de Koch tende para zero.

Floco de Neve de Koch Como varia o perímetro da curva com as transformações? Podemos definir a sucessão dos perímetros Pn à custa das duas sucessões anteriores. Assim: Quando n tende para infinito, a sucessão Pn tende para infinito, logo podemos concluir que o perímetro da curva de Koch tende para infinito.

A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2. Será que a área do floco de neve de Koch também cresce para infinito? Consideremos que a área do triângulo inicial tem uma unidade. A área da Floco de Neve de Koch está compreendida entre 1 e 2.

Floco de Neve de Koch A área do polígono, em cada passo, obtém-se adicionando à área do polígono do passo anterior a área de um triângulo equilátero, cujo lado é do anterior, multiplicada tantas vezes quantas o número de lados do polígono anterior. Pela semelhança de figuras planas, sabe-se que, se o lado de um polígono sofre uma redução de razão , a área sofre uma redução de

Floco de Neve de Koch ....

Floco de Neve de Koch A área do Floco de Neve de Koch é: Então An+1 = 1 + Sn com Calculando o limite de Sn quando n tende para infinito tem-se: A área do Floco de Neve de Koch é:

O Floco de Neve de Koch tem perímetro infinito e área finita. O facto de termos um perímetro infinito a “fechar” uma área finita pode parecer contrário à nossa intuição geométrica, mas é característico de muitas formas importantes na Natureza. O sistema vascular das veias e artérias no corpo humano, por exemplo, ocupa uma pequena fracção do corpo e tem um volume relativamente pequeno, mas tem um enorme comprimento: de ponta a ponta, as veias, artérias e capilares de um único corpo humano atingem cerca de 65 mil quilómetros. Modelo do Sistema Circulatório Humano

} Floco de Neve de Koch Dimensão? O floco de neve de Koch possui auto-semelhança exacta.

Triângulo de Sierpinski REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com um triângulo equilátero sólido Quando vir um triângulo sólido substitua-o por

Triângulo de Sierpinski .... Como varia a área da figura com as transformações? Passo 0 Passo 1 Passo 2 Passo 3 .... Passo n A área do Triângulo de Sierpinski tende para zero.

Triângulo de Sierpinski Como varia o perímetro da figura com as transformações? O número de triângulos sólidos em cada passo da construção é dado por: Passo 0 Passo 1 Passo 2 Passo 3 O perímetro do Triângulo de Sierpinski tende para infinito.

Triângulo de Sierpinski Dimensão? } O Triângulo de Sierpinski possui auto-semelhança exacta.

Triângulo de Sierpinski e o Triângulo de Pascal

O Jogo do Caos Para jogar este jogo necessitamos de: Um triângulo arbitrário de vértices A, B e C; Um dado não viciado; A cada um dos vértices do triângulo atribuímos duas das seis possibilidades resultantes de atirar o dado; A é “vencedor” se sair 1 ou 2; B é “vencedor” se sair 3 ou 4; C é “vencedor” se sair 5 ou 6; Vamos então jogar este jogo:

O Jogo do Caos Passo 0 – Atira-se o dado. Começa-se pelo vértice “vencedor”. Suponhamos que calhou cinco. Então começamos pelo vértice C; Passo 1 – Atira-se novamente o dado. Suponhamos que calha dois. Então o “vencedor” é o vértice A. Agora mudamos directamente da posição anterior para o vértice “vencedor”, mas paramos a meio. Marca-se a nova posição M1; Passo 2 – Atira-se novamente o dado e move-se directamente da última posição para o vértice “vencedor”, e paramos a meio. (Por exemplo se sair o três paramos em M2 que é o ponto médio do segmento que une M1 a B). Marcamos nova posição; Passo 3, 4,... – Continua-se a atirar o dado, movendo-se para o ponto médio do segmento que une a última posição e o vértice vencedor.

Triângulo de Sierpinski O Jogo do Caos Atirando o dado 100 vezes; Atirando o dado 1000 vezes; Atirando o dado 5000 vezes; Atirando o dado 10000 vezes; O padrão obtido é inconfundível: Triângulo de Sierpinski

A Curva de Peano Exemplo de uma curva (dimensão 1 na Geometria Euclidiana) que preenche o plano (dimensão 2); Qual é a dimensão fractal da Curva de Peano? }

O Conjunto de Mandelbrot A nossa construção irá começar com um número complexo (um ponto do plano) que designaremos por SEMENTE e a partir dele criamos uma sequência infinita de números (pontos) que dependem do número inicial; Esta sequência de números chamar-se-á SEQUÊNCIA DE MANDELBROT. REGRA DE SUBTITUIÇÃO RECURSIVA Comece com a semente s. Se c é um termo da sequência então o termo seguinte é c2+s.

O Conjunto de Mandelbrot Ponto de Periodicidade Semente S = 1 S = -1 S = - 0,75 Passo 1 S1=12+1=2 S1= 0 S1= - 0,1875 Passo 2 S2=22+1=5 S2= -1 S2= - 0,714844 Passo 3 S3=52+1=26 S3= 0 S3= - 0,238998 Passo 4 S4=262+1=677 S4= -1 S4= - 0,69288 Ponto de Divergência Ponto de Periodicidade Ponto de Convergência

O Conjunto de Mandelbrot Cada ponto do plano cartesiano é um número complexo e pode ser usado como semente na sequência de Mandelbrot. Cores quentes se divergir lentamente Pontos de Divergência Cores frias se divergir rapidamente Pontos de Periodicidade Ponto negro Pontos de Convergência Para construir o conjunto de Mandelbrot, basta marcar a negro os pontos que correspondem às “sementes” de convergência ou que originam sequências periódicas, deixando os restantes a branco ou numa graduação de cores de acordo com a rapidez com que aumentam de valor.

O Conjunto de Mandelbrot

Objectos Fractais com dimensão entre 2 e 3 Fractal do Cubo Fractal do Tetraedro

Aplicações da Geometria Fractal Indústria Cinematográfica Economia Biologia Análise de imagens por satélite Geologia

Aplicações da Geometria Fractal Medicina Arte Linguística Informática Meteorologia

Fractais no Ensino Secundário Actividade: Construção de um Fractal numa Folha de Papel   Material: Folha de papel A4; Tesoura; Instruções: 1. Meça o comprimento da folha (= a); 2. Meça a largura da folha (= b); 3. Dobre a folha de papel ao meio; 4. Faça 2 cortes de comprimento a/4 afastados de cada lado do papel b/4: 5. Dobre segundo o segmento criado pelos dois cortes; 6. Repita os passos 1 a 5, mas agora para a parte da folha que acabou de dobrar; 7. Continue este processo o máximo de vezes possíveis; 8. Dobre a folha A4 formando um ângulo recto; 9. Dobre a parte da folha obtida no passo 5, de modo a formar um ângulo recto com a dobra do passo 8; 10. Repita o passo 9 para as outras partes da folha.

Fractais no Ensino Secundário Questões: 1. Conte os elementos em cada iteração e faça uma tabela. 2. Identifique o padrão de crescimento e indique a sucessão que permite calcular o número de elementos para a n-ésima geração. 3. Qual a área total (isto é, depois de uma infinidade de dobras) da superfície dos elementos? (Sugestão: Escolha um valor conveniente para a área do primeiro elemento). 4. Investigue o que acontece, se fizer um corte diferente, alterar o tamanho do corte ou aumentar o número de cortes.

FIM