Support Vector Machines (SVM) Eduardo Borges Gabriel Simões

Roteiro Introdução SVM Exemplo O que é SVM? Motivação Exemplo simples Dados linearmente separáveis Dados linearmente inseparáveis Exemplo

Introdução Método supervisionado de aprendizado de máquina Classificação em dois grupos Classificação de múltiplas classes não é uma limitação, pois pode-se construir uma SVM para cada classe Apresenta resultados melhores que muitos métodos populares de classificação

Introdução 1968: base matemática [Vapnik et al, 1992] Primeiro artigo Teoria de Lagrange [Vapnik et al, 1992] Primeiro artigo [Vapnik et al, 1998] Definição detalhada Última década Série de artigos com aplicações de SVM Série de artigos com otimizações de SVM SMO, por exemplo

Introdução SVM são utilizadas em diversas áreas: Bioinformática Reconhecimento de assinaturas Classificação de texto e imagens Identificação de spams Reconhecimento de padrões diversos Identificação de dados replicados

Como separar as duas classes? Como separar as duas classes? Motivação da SVM Como separar as duas classes? Como separar as duas classes?

Reta / Plano / Hiperplano Motivação da SVM Reta / Plano / Hiperplano ? Qual o hiperplano ótimo? Menor erro de classificação

Conceitos de SVM Qual o hiperplano ótimo? Menor erro de classificação Maior margem Distância entre vetores de suporte e o hiperplano

Conceitos de SVM Qual o hiperplano ótimo? Menor erro de classificação Maior margem Distância entre vetores de suporte e o hiperplano

Como funciona para dados linearmente separáveis? Dados de treinamento Tuplas no formato (X1, X2, ..., Xn, Y) Atributos Xi Classe Y (+1, -1) Conjunto dito linearmente separável, se existir um hiperplano H (no espaço de entrada) que separe as tuplas de classes diferentes Determinar os vetores de suporte Encontrar o hiperplano ótimo Com maior margem

O Hiperplano (H) Pontos que pertencem a H satisfazem a equação w ⋅ x + b = 0 w: vetor normal a H w = w1, w2, ..., wn ||w|| é a norma euclidiana de w √ (w ⋅ w ) = √ (w12 + ... + wn2 ) |b|/||w|| é a distância perpendicular de H até a origem A distância r entre um ponto x e o hiperplano H é r = g(x) / ||w|| r = ( w ⋅ x + b ) / ||w|| Orientação de w Define o lado do plano em que os pontos pertencem a classe +1 b > 0 (origem no lado positivo) b < 0 (origem no lado negativo) b = 0 (origem pertence ao plano) X2 H x w |b|/||w|| r X1

O Hiperplano (H) – Exemplo H: w ⋅ x + b = 0 H: w1x1 + w2x2 + b = 0 Aplicando os pontos (5,0) e (0,5) 5w1 + b = 0 5w2 + b = 0 Isolando b 5w1 = 5w2 (w1 = w2) Escolhendo arbitrariamente w1 = 1 b = -5 Norma de w ||w|| =  (w12+w22) = 2 Distância da origem |b| / ||w|| = 5/2 Distância de um ponto x = (5,2) até H r = ( w ⋅ x + b ) / ||w|| r = (5w1 + 2w2 -5 ) / 2 r = (5+2-5) / 2 r = 2 X2 H 5 w x = (5,2) 5/ 2 2 5 X1

Hiperplano ótimo r+: distância entre H e o ponto positivo mais próximo r-: distância entre H e o ponto negativo mais próximo margem: r+ + r- Objetivo da SVM é encontrar w0 e b0 para a maior margem H0: w0 ⋅ x + b0 = 0 H1: w0 ⋅ xi + b0 = 1 H2: w0 ⋅ xi + b0 = -1 r+ = ( w ⋅ x + b ) / ||w|| r+ = 1 / ||w|| Para o hiperplano ótimo, r+ = r- r- = 1 / ||w|| Margem = 2 / ||w|| X2 H1 H0 H2 r+ r- w0 X1

Hiperplano ótimo É aquele que possui maior margem margem = 2 / ||w|| É aquele que possui maior margem É aquele que possui menor ||w|| Determinação do hiperplano Problema de otimização restrita Minimizar uma função de custo (produto interno) sujeito a restrições Multiplicadores de Lagrange Fora do escopo Exemplo Prático

Exemplo -1, 0, -1 0, -1, -1 0, 1, -1 1, 0, -1 3, -1, +1 3, 1, +1 6, -1, +1 6, 1, +1

Exemplo -1, 0, -1 0, -1, -1 0, 1, -1 1, 0, -1 3, -1, +1 3, 1, +1 6, -1, +1 6, 1, +1

Exemplo H1: w ⋅ x + b = 1 H2: w ⋅ x + b = -1 w1x1 + w2x2 + b = -1 1w1 + 0w2 + b = -1  b = -1 - w1 w1x1 + w2x2 + b = 1 3w1 -1w2 + b = 1  w2 = 3w1 -1 -w1 -1  w2 = 2w1 -2 3w1 +1w2 + b = 1  3w1 + 2w1 -2 -1 -w1 = 1  w1 = 1  b = -2  w2 = 0 (1, 0) ⋅ x - 2 = 0 X1 = 2 (1, 0)  -1 (3, -1)  +1 (3, 1)  +1

H: (1, 0) ⋅ x - 2 = 0 H: x1 - 2 = 0 Dados de Teste (4, 2), (1. 5, 0 Exemplo

Como funciona para dados linearmente inseparáveis? Mapeamento do espaço de características de D dimensões para HD, onde HD > D Vetores de entrada são mapeados de forma não linear Após transformado, o novo espaço de características deve ser passível de separação linear

Como separar as duas classes com apenas um ponto? Exemplo Como separar as duas classes com apenas um ponto? X1 Class +1 1 -1 2 3 1 2 3 4 Class +1 Class -1

Exemplo SVM usa uma função não linear sobre os atributos do espaço de características inicial X1 Class +1 1 -1 2 3 1 2 3 4 Class +1 Class -1 Φ(X1) = (X1, X12) Esta função torna o problema bidimensional

Exemplo SVM usa uma função não linear sobre os atributos do espaço de características inicial 2 4 6 8 10 1 3 Class +1 Class -1 X1 X12 Class +1 1 -1 2 4 3 9 Φ(X1) = (X1, X12) Esta função torna o problema bidimensional e os dados linearmente separáveis

Exemplo w ⋅ x + b = +1 w ⋅ x + b = -1 w ⋅ x + b = 0 w2 =1 e w1 = -3 Class +1 1 -1 2 4 3 9 w ⋅ x + b = +1 w1x1 + w2x2 + b = +1 0w1 + 0w2 + b = +1  b = 1 3w1 + 9w2 + b = +1 w ⋅ x + b = -1 w1x1 + w2x2 + b = -1 substituindo b e após w1 1w1 + 1w2 + b = -1  w1 = -2 - w2 2w1 + 4w2 + b = -1  -4 -2w2 + 4w2 + 1 = -1 w ⋅ x + b = 0 w2 =1 e w1 = -3 w1x1 + w2x2 + b = 0  -3x1 + x2 + 1 = 0

Exemplo H: -3x1 + x2 + 1 = 0 Dados de Teste (1.5), (-1), (4) 1 2 3 4 Class +1 Class -1 -1 H: -3x1 + x2 + 1 = 0 Dados de Teste (1.5), (-1), (4) (1.5) mapear para (1.5, 2.25) -3 . 1.5 + 2.25 + 1 = - 1.15 [-1] (-1) mapear para (-1,1) -3 . -1 + 1 + 1 = 5 [+1] (4) mapear para (4,16) -3 . 4 + 16 + 1 = 5 [+1] 2 4 6 8 10 1 3 Class +1 Class -1

Como separar as duas classes com apenas uma reta? Outro Exemplo Como separar as duas classes com apenas uma reta? X1 X2 Class 1 -1 2 +1 -2

Outro Exemplo Esta função mantém o problema bidimensional (4-x2+|x1-x2|, 4-x1+|x1-x2|), (x12 + x22) > 2 Φ(x1, x2) = (x1, x2) Esta função mantém o problema bidimensional

Outro Exemplo Vetores de Suporte x1 x2 Class 1 -1 2 +1 6 10

Outro Exemplo Vetores de Suporte x1 x2 Class 1 -1 2 +1 H1: w ⋅ x + b = 1 H2: w ⋅ x + b = -1 w1x1 + w2x2 + b = -1 1w1 + 1w2 + b = -1  w1 = -1 -b -w2 w1x1 + w2x2 + b = 1 2(-1 -b -w2) + 2w2 + b = 1 -2 -2b -2w2 +2w2 + b = 1  b = -3 (2-1) x2 = (2-1) x1 Equação da reta 2x2 - x2 = 2x1 - x1 x2 = x1 w1 = w2 = 1 H0: (1,1) ⋅ x -3 = 0 x1 + x2 -3 = 0 Vetores de Suporte x1 x2 Class 1 -1 2 +1

Outro Exemplo (4-x2+|x1-x2|, 4-x1+|x1-x2|), (x12 + x22) > 2 Φ(x1, x2) = (x1, x2) Esta função realmente separa o espaço original de forma linear? Dados de teste (5,5) Φ(5,5) = (-1, -1) Dados de teste (4,4) Φ(4,4) = (0, 0) Erros de classificação! (5,5) (4,4)

Outro Exemplo Função de mapeamento não é ideal

Problema Como escolher a função Φ(x) tal que o espaço de características transformado seja eficiente para classificação e não possua custo computacional alto demais? Funções de Núcleo (kernel) Polinomial Gaussiano Sigmoid Sempre aumentam o número de dimensões Algumas vezes aumentam bastante!

Outro Exemplo Φ[x1,x2] = [x1, x2, ((x12+x22)-5)/3 ]

LibSVM http://www.csie.ntu.edu.tw/~cjlin/libsvm/ Disponível em Java e C++ Applet para brincar

Bibliografia Burges, J. A tutorial on support vector machines for pattern recognition. Data Mining Knowledge Discovering, 1998, pp. 121–167. Han, J.; Kamber, M. Data Mining: Concepts and Techniques. 2nd edition, Morgan Kaufmann, 2006. Hearst, M.; Schölkopf, B.; Dumais, S.; Osuna, E.; Platt, J. Trends and controversies-support vector machines. IEEE Intelligent Systems 13: 18-28, 1998. Joachims, T. Text categorization with Support Vector Machines: Learning with many relevant features. Proceedings of ECML-98, 10th European conference on machine learning, 1998, pp 137–142. Kumar, V ; Tan, P.; Steinbach, M. Introduction to Data Mining. Addison-Wesley, 2005. Lin, T.; Ngo, T. Clustering High Dimensional Data Using SVM. Rough Sets, Fuzzy Sets, Data Mining and Granular Computing. Lecture Notes in Computer Science, Springer, 2007. Mangasarian, O. Data mining via support vector machines. System Modeling and Optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston, 2003, 91-112. Vapnik, V. Statistical LearningTheory. Wiley, 1998. Ventura, D. A (not finished) tutorial example for linear and non-linear SVMs. Available at http://axon.cs.byu.edu/~dan/478/misc/SVM.example.pdf