Modelação Lagrangeana

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos calculados sobre as faces

Equação Subtraindo a equação da continuidade: E desenvolvendo as derivadas dos primeiro membro:

Formalismo lagrangeano A velocidade u é a velocidade relativa ao volume de controlo. Se fosse nula teríamos sempre o mesmo fluido dentro do volume de controlo e a equação diria respeito a um sistema material: As propriedade deste sistema podem variar por difusão ou devido às fontes e aos poços. Não temos que calcular a advecção, mas temos que saber onde está o volume em cada momento e temos de calcular a difusão. Neste formalismo o fluido que queremos estudar é designado por traçadores emitidos nos pontos de descarga.

Posição dos traçadores

Termo de difusão Difícil de calcular em lagrangeano porque não conhecemos as propriedades do fluido adjacente de forma a calcular os gradientes. Temos que usar a definição de difusividade: A velocidade aleatória é estimada a partir da velocidade instantânea ou imposta (e.g. 10% da velocidade). O comprimento de mistura é o passo espacial porque todos os turbilhões menores que o passo espacial são filtrados.

Parametrização do efeito dos turbilhões Turbilhões maiores do que o traçador dão-lhe uma trajectória errática. Turbilhões mais pequenos que o traçador fazem aumentar o seu volume: t1 t2t3

Equações para a concentração Ou, usando a malha do euleriano:

Considerações finais Evita a advecção mas complica a difusão. É interessante para simular fontes pontuais, que originam zonas com gradientes elevados. Quando a concentração de um traçador atinge um valor mínimo, é eliminado: “morre”.

É preciso harmonizar os slides anterioes e os seguintes.

Lagrangeano vs Euleriano Se não houvesse difusão

Malhas vs traçadores Os modelos eulerianos usam malhas e calculam taxas de acumulação em cada célula como a divergência dos fluxos advectivo e difusivo, das fontes e dos poços. Nos modelos lagrangeanos seguem-se volumes de fluido, sendo as taxas de acumulação resultantes das trocas de massa com o fluido envolvente e das fontes e poços.

Modelos lagrangeanos Os modelos lagrangeanos precisam de saber onde está o volume de controlo, mas não precisam de calcular fluxos difusivos. As fontes e os poços são calculadas exactamente como nos modelos eulerianos (conhecendo as concentrações no interior dos volumes). Os fluxos difusivos são facilmente calculados num modelo euleriano se conhecermos a difusividade porque o gradiente é fácil de calcular. Os fluxos difusivos são difíceis de calcular num modelo lagrangeano porque os gradientes são difíceis de calcular.

Difusão Turbulenta Vórtices maiores que os traçadores  Deslocamento aleatório. A velocidade aleatória é proporcional à velocidade média. A trajectória é a dimensão dos vórtices. Vórtices menores que os traçadores  Aumento do volume. A taxa de aumento do volume é proporcional ao próprio volume

Descrição do Modelo Deslocamento dos Traçadores n As coordenadas espaciais são calculadas a partir da definição de velocidade: n Para calcular a velocidade em qualquer ponto do domínio, é utilizada uma interpolação linear x1x1 x2x2 UxUx U x + dx

Modelo de Dispersão Lagrangeano Tridimensional Objectivos Enquadramento Descrição do Modelo Validação do Modelo Aplicações a Casos Reais Conclusões Trabalho Futuro

Difusão 3D + Velocidade nula traçadores emitidos 16h30m depois da emissão

Difusão vertical + perfil de velocidades linear oscilatório segundos depois da emissão

Validação Qualitativa por comparação com os resultados obtidos por Allen, 1982 Modelo Allen, 1982

Descrição do Modelo Propriedades dum Traçador coordenadas espaciais (x,y,z); velocidade aleatória horizontal/vertical; Comprimento do deslocamento aleatório; velocidade de sedimentação (ou de ascenção); Massa de cada componente; volume.

Aplicações a Casos Reais Atlântico Nordeste Tejo Carlingford Lough (Irlanda) Santos (Brasil)

TEJO centro de massa dos traçadores Animação

TEJO concentração de coliformes Animação Caudal total 1m 3 /s Concentração inicial 10 7 coliformes fecais/ 100 ml

Atlântico Nordeste Upwelling ao longo do talude Animação

Atlântico Nordeste Upwelling ao longo do talude

Atlântico Nordeste Produtividade Primária Animação

The warning system

How to use model results for assessing fecal pollution in a Bathing Water?

Monitoring boxes

Results for Santo Amaro de Oeiras

Relative contribution of each stream

Modelação lagrangeana Vantagens: – Permite visualizar o escoamento – Não está sujeita a difusão numérica. É adequada para manchas pequenas comparadas com a malha. Inconvenientes: – Cálculo da difusão. Permite o cálculo da sobreposição de traçadores. Minimiza-se calculando a concentração na malha euleriana.