MAC Projeto Algoritmos Aproximados para o Problema do Corte Circular Restrito Rubens Altimari

CC: Constrained Circular Problem Cortar uma chapa retangular R de dimensões WxL no maior número possível de círculos Problema Circular Restrito (Constrained Circular Problem): há n círculos de tamanhos diferentes, com raios r i, i = 1, …, n, e “lucro” (ou peso) c i

Motivação Empacotamento: seção transversal de um container onde se colocam tubos de um mesmo comprimento (maximizar uso do espaço) Corte: chapa onde se realizam cortes circulares (minimizar desperdício de material)

Convenções Matemáticas Convenções genéricas

Convenções Matemáticas, cont. Convenções específicas

Formulação Matemática Formulação do Problema n variáveis de decisão, 2n + ½ n(n-1) restrições

Características Espaço de solução é descontínuo Vários ótimos locais, raros ótimos globais NP-difícil (Lenstra e Rinnooy Kan, 1979)

Proposta do Trabalho Estudar e implementar duas heurísticas para o problema, tal como propostas por M. Hifi et al em [1]: 1.Construtiva (CH: Constructive heuristics) 2.Baseada em algoritmo genético (GA-BH: Genetic Algorithm-based heuristics) Ambas utilizam uma abordagem construtiva (CA: Constructive Approach) como parte do processo

CA: Constructive Approach ABLP para peças circulares BLP: Best Local Position, desenvolvido por Hifi et al em [2] ABLP: Adapted BLP, para peças circulares Dada uma ordenação de peças, cada peça é colocada na posição mais alta à esquerda possível dentre um conjunto finito de opções, obtido em relação às peças já colocadas, tirando-se as posições repetidas e impossíveis (overlaps) Verificação de eficiência é empírica, comparando-se com resultados da literatura Tem ótimo desempenho Utilizada em ambas as heurísticas, seja como algoritmo de aproximação (CH), ou como operador de verificação de viabilidade (GA-BH)

CA: Constructive Approach Posições relativas

CA: Constructive Approach Exemplo de construção

CH: Constructive Heuristics Utiliza CA como algoritmo de aproximação Boa ordenação das peças (demonstrada experimentalmente): peças em ordem não- crescente da razão c i / r i ; em caso de igualdade, peças com c i maior vêm primeiro Favorece peças menores com retorno maior

GA-BH: Genetic Algorithm-Based Heuristics Simula evolução natural das espécies, gerando uma população inicial de indivíduos e aplicando operadores genéticos em cada reprodução Cada indivíduo é uma possível solução (cromossomo), com aptidão dada por uma função objetivo Indivíduos altamente aptos se reproduzem, com incidência de crossover e mutação Descendentes substituem toda a população (método geracional) ou os indivíduos menos aptos (método incremental)

GA-BH: Genetic Heuristic Cromossomo Cromossomo P: sequência ordenada, resultado da concatenação de uma solução factível S para o problema CC e de um conjunto U = P \ S de peças que não puderam ser posicionadas em R. ex.: P = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4,P3,P4,P4), com S = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4) e U = (P3,P4,P4) Aptidão de P: ∑ i Є S c i = ∑ i Є S πr i 2 Utiliza CA como operador de verificação de viabilidade de P ou, mais ainda, como operador de mutabilidade de P (mutaciona P não-factível em factível, determinando S e U)

GA-BH: Genetic Heuristic Seleção de pais Atribuição de oportunidades reprodutivas a cada indivíduo: Seleção por torneio: escolha determinada por concurso Seleção proporcional: parcela fixa é escolhida para se reproduzir Escalação por aptidão: cada um dos indivíduos mais aptos é escolhido sucessivamente para ser o primeiro pai; o segundo é escolhido aleatoriamente entre os mais aptos; implementação eficiente; cara a cada pai apto a chance de se reproduzir ao menos uma vez com certa diversidade, promovendo a escolha do melhor enquanto minimza os riscos de duplicação e estagnação em um mínimo local

GA-BH: Genetic Heuristic Crossover Combinação de pedaços de dois pais aptos em busca de filhos promissores Variação do crossover OX Davis two points: 1.Um trecho (j,k) de genes, 1 ≤ j ≤ k ≤ n, escolhido aleatoriamente, é transmitido de Pai 1 para Filho 1 e de Pai 2 para Filho 2 2.O restante dos genes de cada filho é preenchido com os genes do outro pai, segundo certos critérios para evitar repetição de genes 3.Este crossover chama-se de dois pontos em referência aos intervalos (1,j-1) e (k+1,n) que terão crossover

GA-BH: Genetic Heuristic Mutação Dois tipos: 1.Aplicação de CA em todo novo filho, transformando cromossomo não-factível em factível. ex.: P = (P1, P2, P3, P3, P3, P4, P4, P4, P4) -> (P1, P2, P3, P3, P4) U (P3, P4, P4) 2.Swap de duas subsequências de genes ou inversão de ordem de subsequência de gentes em cromossomos factíveis, para aumentar o espaço de busca, evitando convergência prematura

GA-BH: Genetic Heuristic Substituição da população População inicial: 1º indivíduo obtido com CH; m-1 gerados aleatoriamente; estes m sofrem mutação-2; dos 3m indivíduos gerados, os m mais aptos constituem a população inicial Método incremental: escolhe-se os m mais aptos de uma população de 5m: m pais, 2m filhos por crossover e 2m cromossomos obtidos por mutação-2 destes 2m filhos

Comparação: CH x GA-BH Comparação com dados de [3], exemplo SY1 1.CH: uso de %, desvio de 4.25% do ótimo (1s) 2.GA-BH: uso de %, desvio de 2.59% do ótimo (100s)

Conclusão Heurística construtiva gera boas soluções em curtíssimo tempo computacional Heurística baseada em algoritmo genético gera soluções de alta qualidade, frequentemente ótimas, em tempo razoável Pode ser facilmente paralelizada, e deve convergir rapidamente

Bibliografia 1. Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. Approximate algorithms for constrained circular cutting problems. Computers & Operations Research, 31, pp , Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. A best-local position procedure-based heuristic for two- dimensional layout problems. Studia Informatica Universalis, International Journal on Informatics, 2(1):1-32, Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. Mathematical model and solution method of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints. International Transactions in Operational Research, 5(1): 45-57, Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip. European Journal of Operational Research, 156, pp , George, John A.; George, Jennifer M.; Lamar, Bruce W. Packing different-sized circles into a rectangular container. European Journal of Operational Research, 84, pp , Wang, Huaiqing; Huang, Wenqi; Zhang, Quan; Xu, Dongming. An improved algorithm for the packing of unequal circles within a larger containing circle. European Journal of Operational Research, 141, pp , Goldberg, David E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addison Wesley, 1989.

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