UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Aula04 - Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Maio de Jean Vianei Leite Maio de 2010.

Obtido a partir de considerações físicas; Baseado em equações diferenciais; Baixo esforço computacional e fácil implementação; Conjunto de parâmetros relativamente baixo; Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético. Modelo de Jiles-Atherton

Laços medido e calculado

Modelo de Jiles-Atherton – Laços Menores Laço experimental Laço Calculado

Jiles-Atherton – Laços Internos Laços Medidos e calculados

Modelo Escalar de Preisach Modelo proposto pelo físico alemão Frederick Preisach em Estabelece uma relação entre a magnetização M e o campo H. Supõe que o material é composto por um número finito de unidades elementares magnéticas biestáveis. A magnetização total é calculada pela soma das contribuições elementares.

Modelo Escalar de Preisach Cada unidade elementar (histeron) possui uma forma retangular cíclica, função do campo H Campos de chaveamentos a e b

Modelo Escalar de Preisach Se H sat representa o campo magnético de saturação e M sat a correspondente magnetização de saturação, quando H>H sat, todos os histerons estão positivos e a magnetização é M=M sat. Por outro lado, se H<H sat, todos os histerons estão negativos e a magnetização é M = -M sat. Das considerações anteriores temos:

Plano de Preisach ou Triângulo de Preisach Como a histerese é energeticamente dissipativa: Com as condições anteriores define-se o plano de Preisach como: Cada par (a,b), caracterizando um histeron deve pertencer a este triângulo.

Plano de Preisach Um material ferromagnético é então determinado por uma distribuição estatística p(a,b) dos campos de chaveamento (a,b) pertencente ao triângulo. p(a,b) é também chamada de função de densidade de Preisach. A magnetização total é calculada por

Plano de Preisach O estado desmagnetizado é representado pela linha b = - a. O triângulo fica dividido em duas superfícies iguais S+ e S-. S+ é a região do plano onde os pares (a,b) tais que S- é a região do plano onde os pares (a,b) tais que

Modelo de Preisach Para qualquer estado magnético do sistema o triângulo é dividido entre duas superfícies S + e S - separadas por uma linha descontínua. A magnetização é dada pela integral sobre as duas superfícies S+ e S-.

Modelo de Preisach O estado magnético do sistema é completamente caracterizado pela linha descontínua. A linha descontínua é chamada de vetor histórico, h, do material e contém informações sobre a divisão do triângulo e os pontos de inversão da excitação. O vetor histórico deve verificar as seguintes condições:

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Considerando o material desmagnetizado, o vetor h possui somente o ponto inicial H = 0.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Com o crescimento de H, os histerons possuindo a menor do que H são chaveados para a posição +1. No plano de Preisach isso é representado pelo crescimento da linha vertical a = H 1.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se o campo continua aumentando até H 2 = H sat todos os histerons alcançam a e o triângulo de Preisach é totalmente S+.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se o campo começa a decrescer, os histerons cujo b é maior do que H chaveiam para o seu estado negativo. O processo é representado pelo crescimento da linha horizontal b = H 3.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se o campo atinge o valor de saturação negativo o plano de Preisach é totalmente S-.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se o campo torna a crescer, os histerons tenderão a atingir a saturação positiva novamente. A linha vertical a = H 6 aparece no plano.

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se o campo decresce novamente antes de atingir a saturação, um laço menor pode ser criado. No nosso exemplo H 6 varia até H 7 (surgimento da linha b = H 7 )

Modelo de Preisach – Exemplo de construção de h Se H retorna para H 6 o laço menor é completo. Continuando a evolução de H, H 6 desaparece de h. Esta é a maneira que o modelo de Preisach consegue representar os laços menores. Note que somente os pontos de inversão são mantidos em h.

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais A condição para se modelar um material usando Preisach é conhecer a função densidade do mesmo. Muitos métodos são propostos na literatura para a identificação da mesma através de dados experimentais. Esses métodos requerem integrações e derivações o que pode introduzir erros e instabilidade numérica na utilização do modelo.

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais Outro método de caracterização é através da função de Everett: –A partir de um ciclo centrado medido de amplitude Hm, para o braço descendente da curva, a magnetização pode ser escrita como: Ver obtenção da eq. anterior na minha tese

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais Para um conjunto de ciclos centrados, as curvas de Everret podem ser obtidas para diversos níveis de indução ou campo magnético. Usualmente são usadas entre 15 e 20 curvas medidas para caracterizar o material. É necessário determinar a função de Everett para todos os pares (H, H m ). Essa tarefa é realizada utilizando um método de interpolação entre as curvas o qual deve verificar a continuidade da função de Everett. Expressões para interpolação encontram-se detalhadas na literatura.

Modelo de Preisach – Caracterização de Materiais Função de Everett para um material ferromagnético projetada sobre o triângulo de Preisach.

Modelo de Preisach O modelo apresentado possui como variável independente o campo magnético H. As mesmas considerações são válidas para o caso onde a indução B é a variável independente. Com B como variável independente, a metodologia se mantém inalterada, entretanto uma nova função de Everett deve ser obtida e o método de interpolação também é outro para evitar instabilidade numérica. A necessidade de funções de Everett diferentes para caracterização do material a ser modelado com Preisach é um desvantagem do mesmo em relação ao modelo de Jiles-Atherton onde um único conjunto de parâmetros caracteriza o material independente da variável independente considerada. Convém destacar que a função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando de maneira significativa a utilização do modelo.

Atividade