Informática Teórica Engenharia da Computação. REDUTIBILIDADE POR MAPEAMENTO Formalizaremos a noção de redutibilidade de uma dentre várias maneiras. Formalizaremos.

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1 Informática Teórica Engenharia da Computação

2 REDUTIBILIDADE POR MAPEAMENTO Formalizaremos a noção de redutibilidade de uma dentre várias maneiras. Formalizaremos a noção de redutibilidade de uma dentre várias maneiras. Isso nos permite usar redutibilidade de maneira mais refinada, e.g., para provar que certas linguagens não são Turing-reconhecíveis e para aplicações em teoria da complexidade. Isso nos permite usar redutibilidade de maneira mais refinada, e.g., para provar que certas linguagens não são Turing-reconhecíveis e para aplicações em teoria da complexidade. Nossa escolha é por um tipo simples de redutibilidade chamado redutibilidade por mapeamento, tb chamada de redutibilidade muitos-para-um. Nossa escolha é por um tipo simples de redutibilidade chamado redutibilidade por mapeamento, tb chamada de redutibilidade muitos-para-um.

3 REDUTIBILIDADE POR MAPEAMENTO Reduzir o problema A ao B usando uma redução por mapeamento significa que uma função computável existe que converte instâncias do problema A para instâncias do B. Reduzir o problema A ao B usando uma redução por mapeamento significa que uma função computável existe que converte instâncias do problema A para instâncias do B. Com tal função de conversão, denominada redução, podemos resolver A com um solucionador para B... Com tal função de conversão, denominada redução, podemos resolver A com um solucionador para B... Já que qualquer instância de A pode ser resolvida 1º usando a redução para convertê-la para uma instância de B e aí aplica-se o solucionador para B. Já que qualquer instância de A pode ser resolvida 1º usando a redução para convertê-la para uma instância de B e aí aplica-se o solucionador para B.

4 REDUTIBILIDADE POR MAPEAMENTO

5 Podem ser transformações de descrições de MTs. Podem ser transformações de descrições de MTs. Por exemplo, uma f com entrada w retorna a descrição de uma MT se w = é uma codificação de uma MT M. M’ reconhece a mesma linguagem de M, mas nunca tenta mover sua cabeça para além da extremidade esquerda de sua fita. A função f realiza essa tarefa adicionando estados à descrição de M. Por exemplo, uma f com entrada w retorna a descrição de uma MT se w = é uma codificação de uma MT M. M’ reconhece a mesma linguagem de M, mas nunca tenta mover sua cabeça para além da extremidade esquerda de sua fita. A função f realiza essa tarefa adicionando estados à descrição de M. f retorna ε se w não for uma codificação legítima de uma MT. f retorna ε se w não for uma codificação legítima de uma MT.

6 DEFINIÇÃO FORMAL DE REDUTIBILIDADE POR MAPEAMENTO

7 FORMA 1 - REDUTIBILIDADE A  B ( A se reduz a B) A  B ( A se reduz a B) Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B Resolver A não pode ser mais difícil que resolver B Se B for decidível A tb será. Se B for decidível A tb será. Se A for indecidível, B tb será. Se A for indecidível, B tb será.

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17 REDUTIBILIDADE REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO

18 TEOREMA: EQ não é Turing-reconhecível nem co-Turing- reconhecível. EQ MT não é Turing-reconhecível nem co-Turing- reconhecível. PROVA: A redução f funciona da seguinte forma: PROVA: A redução f funciona da seguinte forma: F = “Sobre a entrada : F = “Sobre a entrada : 1. Construa as MTs M1 e M2: 1. Construa as MTs M1 e M2: –M1 = “Sobre qualquer entrada: –1. Rejeite.” –M2 = “Sobre qualquer entrada: –1. Rode M sobre w. Se ela aceita, aceite.” 2. Dê como saída.”. 2. Dê como saída.”.

19 REDUTIBILIDADE REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO

20 TEOREMA: EQ não é Turing-reconhecível nem co-Turing- reconhecível. EQ MT não é Turing-reconhecível nem co-Turing- reconhecível. G = ”Para a entrada : G = ”Para a entrada : 1. Construa as MTs M1 e M2. 1. Construa as MTs M1 e M2. –M1 = “Sobre qualquer entrada: –1. Aceite.” –M2 = “Sobre qualquer entrada: –1. Rode M sobre w. –2. Se ela aceita, aceite.” 2. Dê como saída.” 2. Dê como saída.”

21 REDUTIBILIDADE REDUÇÕES VIA HISTÓRIAS DE COMPUTAÇÃO