MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS"— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Fundamental, 8º Ano Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas

2 Objetivos da matemática para o quarto ciclo do pensamento algébrico:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Objetivos da matemática para o quarto ciclo do pensamento algébrico: - produzir e interpretar diferentes escritas algébricas - expressões, igualdades e desigualdades - , identificando as equações, inequações e sistemas; - resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos envolvidos; - observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 81,1998) CONCEITOS E PROCEDIMENTOS : Número e operações -Tradução de situações-problema por equações ou inequações do primeiro grau, utilizando as propriedades da igualdade ou desigualdade, na construção de procedimentos para resolvê-las, discutindo o significado das raízes encontradas em confronto com a situação proposta. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 87,1998). Um eixo organizador do processo de ensino e aprendizagem de Matemática é a resolução de problemas que tem como um dos princípios: a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las. (PCN, terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental, Matemática, página 40,1998).

3 VAMOS CONSULTAR O DICIONÁRIO:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas É MUITO COMUM NAS AULAS DE MATEMÁTICA SE TRADUZIR O ENUNCIADO DE UM PROBLEMA DO PORTUGUÊS PARA A EQUAÇÃO. FALANDO EM EQUAÇÃO, QUEM PODERIA ME FALAR O SEU SIGNIFICADO? VAMOS CONSULTAR O DICIONÁRIO: EQUAÇÃO:“Igualdade entre duas expressões matemática que se verifica para determinados valores das variáveis” (Dicionário eletrônico Houaiss)

4 Podemos classificar essas expressões como verdadeiras ou falsas?
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas VAMOS OBSERVAR ALGUMAS EXPRESSÕES MATEMÁTICAS: 20 > 13 9 + 7 = 15 c – b ≥ 11 6x + 5 = 41 Podemos classificar essas expressões como verdadeiras ou falsas? Vamos analisar: 20 > 13 9 + 7 = 15 c – b ≥ 11 6x + 5 = 41 É verdadeira! É falsa! Não são verdadeiras e nem falsas!

5 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
Uma expressão matemática que podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO FECHADA. EXEMPLOS: SENTENÇA VERDADEIRA 15 > 9 5 + 7 = 12 SENTENÇA VERDADEIRA 3 . 7 = 20 SENTENÇA FALSA

6 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Uma expressão matemática que NÃO podemos classificar como verdadeira ou falsa é denominada SENTENÇA ou PREPOSIÇÃO ABERTA. PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DO VALOR ATRIBUÍDO A b. EXEMPLOS: 4b + 3 = 15 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A x E A y. x + y ǂ 20 c – d ≥ 9 PODE SER VERDADEIRA OU FALSA, DEPENDENDO DOS VALORES ATRIBUÍDOS A c E A d.

7 EXEMPLOS: 15 > 9 4b + 3 = 15 5 + 7 = 12 x + y ǂ 20 c – d ≥ 9
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Sentenças ou preposições matemáticas estabelecem uma relação de igualdade ou de desigualdade: EXEMPLOS: 15 > 9 4b + 3 = 15 5 + 7 = 12 x + y ǂ 20 c – d ≥ 9

8 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
As sentenças matemáticas abertas que expressam uma relação de igualdade são denominadas... EQUAÇÃO!!!!! A letra encontrada em uma equação é chamada de INCÓGNITA ou VARIÁVEL.

9 Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Exemplos de equações e suas respectivas incógnitas É uma equação com uma incógnita: r 3x – 5 = 12 r² + 1 = r + 13 É uma equação de incógnita x É uma equação com duas incógnita: x e y x – y = 10 x é a incógnita da equação É uma equação com uma incógnita: x 4x = 12 x + 3 = 2x - 7

10 3x + 5 29 Observe a equação 3x + 5 = 29. = Denomina-se
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observe a equação 3x + 5 = 29. 3x + 5 29 = Denomina-se 1º membro da equação Denomina-se 2º membro da equação

11 2x – 8 = 0 8y = 32 2 n – 1 = 13 5 Equação do 1º grau na incógnita x
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas EQUAÇÃO DO 1º GRAU : DEFINIÇÃO Equações do tipo ax + b = 0, ou equivalentes, sendo a e b números racionais e a ǂ 0, são chamadas equações do 1º grau na incógnita x. EXEMPLOS: 2x – 8 = 0 Equação do 1º grau na incógnita x 8y = 32 Equação do 1º grau na incógnita y 2 n – 1 = 13 5 Equação do 1º grau na incógnita n

12 Em uma equação o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Em uma equação o expoente da incógnita indica o seu grau. Veja: Lembre-se que X = X¹ 3x – 5 = 12 É uma equação do primeiro grau 4x² = 12 É uma equação do segundo grau r² + 1 = r + 13 Também é uma equação do segundo grau. Nesse caso, considera-se o maior expoente da incógnita.

13 Geralmente em uma equação
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Geralmente em uma equação procura-se o valor da incógnita que a transforma em uma sentença fechada verdadeira. Exemplo: Na equação 6x = 30, qual o valor de x ? Observe que a equação 6x = 30 é do 1º grau!

14 5 é a solução ou RAIZ da equação
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Resolvendo mentalmente: 6x = 30 6 . 5 = 30 O número é 5: Logo, x = 5, ou seja, 5 é a solução ou RAIZ da equação 6x = 30 Isso significa dizer que substituindo o x por 5 na equação 6x = 30, temos uma sentença fechada verdadeira.

15 Resolva a equação 3x + 4 = 25. Observação:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observação: Nota: Equações de grau superiores ao 1º serão estudadas em séries subsequentes. Equações do 1º grau têm 1 raiz. Equações do 2º grau têm 2 raiz. Equações do 3º grau têm 3 raiz... Resolva a equação 3x + 4 = 25.

16 Logo, x = 7 é soluções da equação 3x + 4 = 25
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Resolvendo mentalmente: A equação pode ser escrita assim: 3 . x + 4 = 25 Então temos que x = 7 3 . 7 + 4 = 25 21 + 4 = 25 Logo, x = 7 é soluções da equação 3x + 4 = 25

17 5 é a RAIZ da equação 6x = 30, pois a satisfaz.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Podemos observar que: 5 é a RAIZ da equação 6x = 30, pois a satisfaz. 7 satisfaz a equação 3x + 4 = 25, logo, é sua RAIZ.

18 - A raiz é o valor da incógnita que satisfaz a equação.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Podemos concluir que: - A raiz é o valor da incógnita que satisfaz a equação. - A incógnita, ao ser substituída por esse valor gera uma sentença fechada verdadeira. Dica: No link do site você poderá revisar e se aprofundar um pouco mais nesse conteúdo.

19 x e x + 1 Representamos os dois números consecutivos por:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas PROBLEMAS VERBAIS E SUAS EQUAÇÕES. 1) A soma de dois números consecutivos é 13. Quais são esses números? RESPOSTA: Chamamos o número desconhecido de x. Representamos os dois números consecutivos por: x e x + 1

20 Logo os números procurados são 6 e 7.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas A soma dos dois números é 13: Eliminando os parênteses x + ( x + 1) = 13 2x :2 = 12 :2 x + x + 1 = 13 x = 6 Então: Adicionando as incógnitas 2x + 1 = 13 x+ 1 = 6 + 1 = 7 Adicionando -1 aos dois membros Logo os números procurados são 6 e 7. 2x + 1 -1 = 13 12 -1 VERIFICAÇÃO: 2x = 12 Dividindo os dois membros por 2 6 + (6 + 1) = 13 6 + 7 = 13

21 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
2) Um vendedor de uma loja de eletrodomésticos possui um salário mensal dado pela expressão /100p que corresponde a um salário mínimo e mais 10% do valor dos produtos vendidos pelo funcionário que é representado pela letra p. Durante um determinado mês o vendedor efetuou a venda de apenas um produto e teve como salário R$ 800,00. Qual o valor do produto vendido? NOTA: Esse problema mostra uma aplicabilidade de equações do 1º grau no mercado de trabalho : cálculo do salário de um trabalhador.

22 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
Vamos equacionar o problema: Utilizar o dicionário para entender o significada da palavra equacionar Igualamos a expressão /100p, que representa um salário mínimo mais 10% do valor do produto vendido, ao salário ganho nesse mês : 678 + 10 p 100 = 800 Observe que: 10% = 10 ou ainda 0,10 100 VAMOS RESOLVER A EQUAÇÃO:

23 Adicionando -678 aos dois membros
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas 678 + 10 p 100 = 800 Adicionando -678 aos dois membros 678 - 678 + 10 p 100 = 800 - 678 10 p 100 Multiplicando os dois membros por 100 = 122 A RAIZ da equação é 1220. 10 p 100 . 100 = 122 . 100 O que essa raiz significa? Dividindo os dois membros por 10 e simplificando. 10p = 12200 p = 1220 10 10

24 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
Como p = 1220 e ele representa o valor do produto, isso significa dizer que: Para o vendedor ter um salário de R$ 800,00 ele precisa vender um ou mais produtos totalizando R$ 1220,00 . Substituindo p por 1220 e simplificando a fração 10/100, temos: Vamos verificar: 678 + 122 = 800 678 + 10 p 100 = 800 Simplificando a expressão , temos: 10 800 = 800 678 + 10 = 800

25 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
3) O professor de João passou 20 problemas como lição de casa e dará 5 pontos para cada resposta correta e 2 pontos para cada resposta incorreta. Sabendo que João obteve 72 pontos, quantas respostas corretas e quantas incorretas ele teve? NOTA: Nos vestibulares e concursos geralmente as notas são calculadas de maneiras variadas: são dados pesos a determinadas disciplinas, cada erro perde um certo, ...

26 Vamos equacionar o problema:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas Observação: Representando por x o número de respostas corretas, o número de respostas incorretas será 20 – x. Vamos equacionar o problema: Total de pontos por resposta correta: 5x 2.(20 – x) Total de pontos por resposta incorreta: A diferença entre o total de pontos por resposta correta e resposta incorreta é igual a 72 pontos: 5x - 2.(20 – x) = 72

27 Isso significa dizer que João teve 16 respostas corretas e, ...
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas RESOLVENDO A EQUAÇÃO: Propriedade distributiva da multiplicação em relação a subtração. 7x : 7 = 112 : 7 5x - 2.(20 – x) = 72 x = 16 Eliminando os parênteses 5x - (40 – 2x) = 72 A raiz da equação é 16. Aplicando a propriedade comutativa 5x x = 72 5x + 2x -40 = 72 Adicionando as incógnitas 7x -40 = 72 Adicionando +40 aos dois membros Isso significa dizer que João teve 16 respostas corretas e, ... 7x -40 +40 = 112 72 +40 7x = 112 Dividindo os dois membros por 7

28 Como x = 16 e substituindo em 20 – x, tem-se:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas ... Como a expressão 20 – x representa o número de respostas incorretas, temos: Como x = 16 e substituindo em 20 – x, tem-se: Sugestão de revisão: Novo Telecurso, Matemática, Ensino Fundamental, Aula 62. 20 – 16 = 4 Logo João teve 4 respostas incorretas CONCLUSÃO: Dos 20 problemas apresentados pelo professor, João respondeu corretamente 16 e errou 4.

29 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
MAIS PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DO 1º GRAU E SUAS APLICABILIDADES NO DIA A DIA. 1) Quase todos os dias, Euclides pega um táxi para ir à casa da sua namorada, que fica a 20km de distância. Os valores aplicados pelo taxista são: bandeirada: R$ 4,15 e quilômetro rodado: R$ 2,15 (bandeira 1). Quanto ele pagou na corrida em bandeira 1? Problema retirado do site:

30 EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS:
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SOLUÇÃO: EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: VAMOS CHAMAR O VALOR TOTAL DA CORRIDA DE Y . BANDEIRADA = R$ 4,15; A CADA 1km RODADO ELE PAGARÁ, NA BANDEIRA 1, R$ 2,15, ENTÃO PARA X km RODADOS TEM-SE 2,15 . X = 2,15X; QUANTIDADE DE QUILÔMETROS A SEREM RODADOS: 20 km; DE ACORDO COM O ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS: Y= 4,15 + 2,15 . X

31 RESOLVENDO PRIMEIRO A MULTIPLICAÇÃO
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SUBSTITUINDO X POR 20 TEMOS: RESOLVENDO PRIMEIRO A MULTIPLICAÇÃO Y= 4,15 + 2,15 . 20 X Y= 4,15 + 43 ADICIONANDO Y= 47,15 EUCLIDES PAGOU R$ 47,15 PELA CORRIDA NA BANDEIRA 1. OBSERVE QUE ESSA EQUAÇÃO TEM DUAS VARIÁVEIS X e Y, E QUE O Y VARIA DE ACORDO COM O X, QUE É A DISTÂNCIA PERCORRIDA ATÉ À CASA DA NAMORADA DE EUCLIDES. NOTA: O VALOR DA VARIÁVEL Y DEPENDE DO VALOR DA VARIÁVEL X, OU SEJA, Y ESTÁ EM FUNÇÃO DE X (NESSE MOMENTO PODE-SE INTRODUZIR A IDEIA BEM BÁSICA DE FUNÇÃO QUE PODE SER ILUSTRADA COM OUTROS EXEMPLOS)

32 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
2) Pedro tinha um saldo bancário positivo de R$ 1.000,00. Ao chegar ao banco ele percebe em um aviso, que os caixas eletrônicos só fornecem cédulas de R$ 50,00. Qual o saldo de Pedro após o saque de 15 cédulas? Problema retirado do site: com adaptação. OBSERVAÇÃO: ESSE PROBLEMA PODE SER RESOLVIDO POR MAIS DE UMA MANEIRA, MAS VAMOS DA PREFERÊNCIA A SOLUÇÃO ENVOLVENDO EQUAÇÃO DO 1º GRAU.

33 O SALDO APÓS O SAQUE SERÁ REPRESENTADO POR Y.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SOLUÇÃO: SALDO DE PEDRO: R$ 1.000,00 REPRESENTAREMOS O NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS POR X, LOGO, PELO ENUNCIADO DO PROBLEMA TEMOS: X=15. O SALDO APÓS O SAQUE SERÁ REPRESENTADO POR Y. VALOR FIXO EM REAIS QUE PODEM SER SACADOS: R$ 50,00 EQUACIONANDO O PROBLEMA TEMOS: Y = 1000 - 50 . X

34 APÓS SACAR 15 CÉDULAS O SALDO DE PEDRO É IGUAL A R$ 250,00.
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas SUBSTITUINDO X POR 15 Y = 1000 - 50 . 15 X RESOLVENDO A MULTIPLICAÇÃO Y = 1000 - 750 SUBTRAINDO TEMOS: Y = 250 APÓS SACAR 15 CÉDULAS O SALDO DE PEDRO É IGUAL A R$ 250,00. NOTA: OBSERVE QUE O SALDO DE PEDRO ESTÁ EM FUNÇÃO DO NÚMERO DE CÉDULAS SACADAS.

35 MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas
Indicação de livros didáticos com suas respectivas páginas para aprofundamento do estudo sobre equações do 1º grau: -Bigode, Antônio Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, Páginas 63 a 72. -Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, Páginas 111 a 123. -Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, Página 213 a 222. -Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, Página 98 a 113. -Guelli, Oscar, Matemática uma aventura do pensamento, 7ª série, 8ª edição, Ática, Página 91 a 102.

36 REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
MATEMÁTICA, 8º Ano, Equações do primeiro grau o significado das raízes encontradas REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA -Behrens, Marilda Aparecida, O paradigma emergente e a prática pedagógica, 4ª edição, Petrópolis-RJ, Vozes, 2010. -Parâmetros curriculares nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino fundamental-Matemática /Secretaria de Educação Fundamental. – Brasília -MEC /SEF, 1998. -Dante, Luiz Roberto, Tudo é matemática, 7ª série, São Paulo, Ática, 2002. -Imenes, Luiz Márcio Pereira, Matemática/ Imenes &Lellis, 7ª série, São Paulo, Scipione, 1997. -Souza, Maria Helena de, Matemática, 7ª série, Maria Helana Souza, Walter Spinelli, São Paulo, Ática, 1999. -Guelli, Oscar, Matemática: Uma aventura do pensamento. 7ª série, São Paulo, Ática, 8ª edição, 2001. -Bigode, Antônio José Lopes, Matemática hoje é feita assim, 7ª série, São Paulo, FTD, 2000. - -Novo Telecurso, Ensino Fundamental, Matemática, aula 62. -