Aula 01 – Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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1 Aula 01 – Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli
Introdução à limites Aula 01 – Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

2 Abordagem Intuitiva Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de milhares de reais, onde 𝐶= 8 𝑥 2 −636𝑥−320 𝑥 2 −68𝑥−960 A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de produção ideal?

3 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 80 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 
Como 𝐶 80 = 0 0 (o que é uma indeterminação matemática), buscaremos calcular os valores de C(x) quando x se aproxima de 80. 𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 80 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎   𝑥 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑎 80 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑥 79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04 𝐶(𝑥) 6,99782 6,99989 6,99999 -- 7,000001 7,00001 7,00043 Os valores de C(x) mostrados na tabela sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima de 80. assim é razoável que o gerente espere um custo de R$ ,00 quando a fábrica está funcionando com 80% da capacidade máxima.

4 O limite de Uma função Vamos analisar o comportamento da função definida por 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥+2 para valores de 𝑥 próximos de 2. Façamos uma tabela para nos auxiliar. Com valores de 𝑥 próximos de 2, mas não iguais a 2. 𝑥 𝑓(𝑥) 1,0 2,000000 3,0 8,000000 1,5 2,750000 2,5 5,750000 1,8 3,440000 2,2 4,640000 1,9 3,710000 2,1 4,310000 1,95 3,852500 2,05 4,152500 1,99 3,970100 2,01 4,030100 1,995 3,982025 2,005 4,015025 1,999 3,997001 2,001 4,003001

5 Da tabela e do gráfico de 𝑓 (uma parábola), vemos que quando 𝑥 se aproxima de 2 (tanto pela direita, quanto pela esquerda), 𝑓(𝑥) tende a 4. Podemos tornar os valores de 𝑓(𝑥) tão próximos de 4 quanto quisermos, ao tornar 𝑥 suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo que “o limite da função 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 −𝑥+2 quando 𝑥 tende a 2 é igual a 4”. Em notação matemática: lim 𝑥→2 𝑥 2 −𝑥+2 =4

6 Definição: Suponha que 𝑓(𝑥) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente o próprio a.) Então escrevemos lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) =𝐿 E dizemos “o limite de 𝑓(𝑥), quando x tende a 𝑎, é igual a L” se pudermos tornar os valores de 𝑓(𝑥) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando 𝑥 suficientemente próximo a 𝑎 (por ambos os lados de a), mas não igual a 𝑎.

7 “𝑓(𝑥) tende a L quando x tende a 𝑎”
Isso significa que os valores de 𝑓(𝑥) tendem a L quando 𝑥 tende a 𝑎. Em outras palavras, os valores de 𝑓(𝑥) tendem a ficar cada vez mais próximos do número L à medida que 𝑥 tende ao número 𝑎 (por qualquer lado de 𝑎), mas 𝑥≠𝑎, lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐿 𝑓 𝑥 →𝐿 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥→𝑎 “𝑓(𝑥) tende a L quando x tende a 𝑎”

8 Observe a frase “mas 𝑥≠𝑎” na definição de limite
Observe a frase “mas 𝑥≠𝑎” na definição de limite. Isso significa que, ao procurar o limite de 𝑓(𝑥) quando 𝑥 tende a 𝑎, nunca consideramos 𝑥 = 𝑎. Na verdade, 𝑓(𝑥) não precisa sequer estar definida quando 𝑥 = 𝑎. A única coisa que importa é como está definida 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑑𝑒 𝑎.

9 O quadro abaixo mostra os gráficos de três funções
O quadro abaixo mostra os gráficos de três funções. Em (c), 𝑓(𝑎) não está definida. Em (b), 𝑓(𝑎) ≠𝐿. Mas, em cada caso, não importando o que acontece em a, é verdade que lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐿 . y y y L L L 0 a 0 a 0 a (a) (b) (c) lim 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 =𝐿 nos três casos

10 Exemplo 1 Estime o valor de lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥 2 −1 .
O que ocorre quando substituímos o x por 1? Uma vez que a definição diz que devemos considerar valores de 𝑥 que estão próximos de 𝑎, mas não iguais a 𝑎, vamos construir uma tabela para encontrar este limite. 𝑥<1 𝐹(𝑥) 0,5 0,9 0,99 0,999 0,9999 𝑥>1 𝐹(𝑥) 1,5 1,1 1,01 1,001 1,0001 0,666667 0,526316 0,502513 0,500250 0,500025 0,400000 0,476190 0,497512 0,499750 0,499975

11 O primeiro gráfico está ilustrando a função lim 𝑥→1 𝑥−1 𝑥 2 −1 =0,5 .
Se mudarmos ligeiramente 𝑓, definindo seu valor como 2 quando 𝑥 = 1 e chamando a função resultante de 𝑔, temos: 𝑔 𝑥 = 𝑥−1 𝑥 2 − 𝑠𝑒 𝑥 ≠1 𝑠𝑒 𝑥=1 A nova função g tem o mesmo limite quando x tende a 1. Veja o segundo gráfico.

12 Propriedades dos Limites
Se lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) e lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) existem, então: lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 +𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) + lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 −𝑔 𝑥 = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) - lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) lim 𝑥→𝑐 𝐾𝑓 𝑥 = 𝐾 lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) (para qualquer K) lim 𝑥→𝑐 [𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ] = lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 [ lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥)] lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) se lim 𝑥→𝑐 𝑔(𝑥) ≠0 lim 𝑥→𝑐 [𝑓 𝑥 ] 𝑝 =[ lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ] 𝑝 se [ lim 𝑥→𝑐 𝑓(𝑥) ] 𝑝 existir

13 Limites de Duas funções Lineares
Para qualquer constante k, lim 𝑥→𝑐 𝑘=𝑘 lim 𝑥→𝑐 𝑥=𝑐 O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando x tende a c é c.

14 Limites de duas funções lineares
y y c (c,c) y=k (c,k) c c (a) lim 𝑥→𝑐 𝑘=𝑘 (b) lim 𝑥→𝑐 𝑥=𝑐 Limites de duas funções lineares Analogamente, a expressão lim 𝑥→𝑐 𝑥=𝑐 significa que a ordenada do gráfico da função linear f(x) = x se aproxima de c quando x se aproxima de c. Em termos geométricos, a expressão lim 𝑥→𝑐 𝑘=𝑘 significa que a ordenada do gráfico da função constate f(x) = k conserva o valor k quando x se aproxima de c.

15 Cálculo de Limites Calcule lim 𝑥→−1 3 𝑥 3 −4𝑥+8

16 Limites de Polinômios e Funções Racionais
Se p(x) e q(x) são polinômios, lim 𝑥→𝑐 𝑝 𝑥 =𝑝(𝑐) e lim 𝑥→𝑐 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥) = 𝑝(𝑐) 𝑞(𝑐) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞(𝑐)≠0

17 Cálculo de limites 3) Calcule lim 𝑥→2 𝑥+1 𝑥−2

18 O gráfico mostra um buraco no ponto (1,-2).
4) Calcule lim 𝑥→1 𝑥 2 −1 𝑥 2 −3𝑥+2 Quando x tende a 1, tanto o numerado como o denominador tendem a zero e não podemos tirar nenhuma conclusão a respeito do valor do quociente. Obviamente, a função dada não é definida para x = 1. para qualquer outro valor de x, porém, podemos dividir o numerado e o denominador por (x-1). Como 𝑥≠1, não estamos dividindo por zero. Neste caso podemos calcular o limite quando x tende a 1. O gráfico mostra um buraco no ponto (1,-2). (1,-2)

19 5) Calcule lim 𝑥→1 𝑥 −1 𝑥−1 Para este caso utilizamos a racionalização
5) Calcule lim 𝑥→1 𝑥 −1 𝑥−1 Para este caso utilizamos a racionalização. Multiplicando ambos (numerador e denominador por ( 𝑥 +1)

20 Para exercitar: Determinar o limite indicado, caso exista: