Profª Juliana Schivani

Apresentação em tema: "Profª Juliana Schivani"— Transcrição da apresentação:

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2 Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br

3 O que você pensa quando ouve a palavra “matriz”? Matriz pode ser uma tabela?

4 Um definição informal de matriz Uma tabela constituída de valores (geralmente numéricos) associados a duas variáveis distintas. MATRIZES Profª Juliana Schivani

5 Um definição informal de matriz Uma tabela constituída de valores (geralmente numéricos) associados a duas variáveis distintas. MATRIZES Profª Juliana Schivani Tempo de prática de alguns esportes durante a semana; Notas das disciplinas ao longo dos bimestres; Quantidade de peças de roupas divididas por tipo e cor; Quantidade de livros didáticos de matéria e níveis distintos; Quantidade de cada tipo de alimento ingerido em cada refeição ;...

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8 http://www.submarinoviagens.com.br/Passagens/ MATRIZES Profª Juliana Schivani

9 Sejam m e n números naturais não nulos, uma matriz do tipo m x n (m por n) é toda tabela retangular de m∙n números (elementos) dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). A definição formal de matriz MATRIZES Profª Juliana Schivani

10 Matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Uma matriz A do tipo m x n, isto é, com m linhas e n colunas, com elementos a em posições i linha e j coluna é representada por: A = [ a i j ] m x n Como representar uma matriz MATRIZES Profª Juliana Schivani

11 a 34 Elemento na 3ª linha e 4ª coluna A 4x4 Matriz com 4 linhas e 4 colunas m 11 Elemento na 1ª linha e 1ª coluna J 2x3 Matriz com 2 linhas e 3 colunas A 34 ????? a 3x4 ?????? Como representar uma matriz MATRIZES Profª Juliana Schivani

12 V 8x1 = 50 45 40 52 50 20 35 MATRIZES Profª Juliana Schivani

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18 As telas de TV, computadores e celulares são formadas por uma grade de vários pontos pequeninos chamados de pixels. Um pixel é o menor elemento de uma imagem (Picture Element), vindo daí o seu nome. Essa grade de pontos também pode ser chamada de matriz de pixels, e quanto maior o número de pixels em uma determinada área da tela, maior a sua resolução e melhores serão as imagens. MATRIZES Profª Juliana Schivani

19 A LG, uma das maiores companhias de eletroeletrônicos do mundo, lançou em julho de 2013 nos Estados Unidos as TVs de 55 e 65 polegadas com a nova tecnologia 4K, que custam US$ 6,999 e US$ 7,999 respectivamente. Ambos os aparelhos pertencem à linha LA9700 da LG e vêm com a Ultra-Alta Definição (UHDTV), com 3840 x 2160 pixels, ou 8,3 megapixels por frame. Essa especificação de tecnologia é chamada de 4K.

20 As imagens, por sua vez, também são grandes matrizes compostas de vários pontos. A junção desses pontos compõe uma foto digital como a conhecemos. Ao ampliarmos várias vezes uma imagem, podemos notar que ela vai ficando quadriculada ou como dizemos, com aspecto pixelado. Assim como nas telas, quanto maior o número de pixels uma imagem puder representar, melhor será a sua qualidade. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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23 Nas câmeras fotográficas quando dizem, por exemplo, que é de 14 Megapixels - então uma foto tirada com essa câmera poderá representar até 14 milhões de pixels.

24 MATRIZES Profª Juliana Schivani Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. A imagem mostra uma matriz de 49 px (7 x 7). Cada posição da matriz corresponde à representação de um pixel.

25 MATRIZES Profª Juliana Schivani Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. Para uma figura em escala de cinza, o computador entende que existem 255 níveis de branco, sendo 255 o branco total e 0 sendo o preto total. Então, o computador pinta na tela cada posição da matriz com sua devida cor e teremos:

26 MATRIZES Profª Juliana Schivani Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. Cada vez que aumentarmos o tamanho da matriz (representando mais pixels) para representar o mesmo A, teremos uma imagem de melhor qualidade. É o tamanho da matriz que vai nos dizer a resolução dessa imagem.

27 Se abrirmos uma imagem no Paint e aumentarmos gradualmente o zoom de visualização, você vai ver que essa matriz vai ficar cada vez mais visível ao ponto que as imagens vão ficando “pixeladas”. MATRIZES Profª Juliana Schivani É basicamente a mesma ideia do ponto-cruz.

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30 1.Linha; 2.Coluna; 3.Nula; 4.Oposta; 5.Quadrada; 6.Identidade; 7.Transposta; 8.Simétrica; 9.Inversa. Tipos de matrizes MATRIZES Profª Juliana Schivani

31 A = (0 2 3 4) B = [0 -1] C = ( 0 ) O que essas matrizes tem em comum? Matriz linha MATRIZES Profª Juliana Schivani

32 O que essas matrizes tem em comum? Matriz coluna 1 -8 0 0 2/3 M 5x1 = 2 M 1x1 = 0 0 0 0 0 M 5x1 = 1 1 1 1 1 MATRIZES Profª Juliana Schivani

33 O que essas matrizes tem em comum? Matriz nula 0 1x4 = (0 0 0 0)0 1x1 = ( 0 ) 0 0 0 0 0 0 5x1 = 000 000 000 000 0 4x3 = MATRIZES Profª Juliana Schivani

34 O que essas matrizes tem em comum? Matriz oposta MATRIZES Profª Juliana Schivani

35 O que essas matrizes tem em comum? Matriz quadrada = Z 4x4 = 12-91/30 √51- 20 1101/57 0-536 R 2x2 = 1- 4 2 0 2 M 1x1 = MATRIZES Profª Juliana Schivani

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37 O que essas matrizes tem em comum? Matriz identidade MATRIZES Profª Juliana Schivani

38 O que essas matrizes tem em comum? Matriz transposta MATRIZES Profª Juliana Schivani

39 A – A = ? MATRIZES Profª Juliana Schivani As matrizes que não são quadradas, possuem diagonal? Existe matriz que é linha, coluna, nula e quadrada ao mesmo tempo?

40 MATRIZES Profª Juliana Schivani Tem que ser quadrada; Tem que possuir a ij = a ji. a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 S = Matriz simétrica

41 MATRIZES Profª Juliana Schivani Matriz simétrica 1- 612 - 659 1290 S =

42 MATRIZES Profª Juliana Schivani Matriz simétrica 1- 612 - 659 1290 S == S t

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50 Do aeroporto de 4 cidades parte voos diários. No esquema abaixo, 1, 2, 3 e 4 representam as cidades e as linhas representam os voos existentes entre elas. 1 4 2 3 É possível representar essa situação com uma matriz? Quantos elementos teriam nessa matriz? Que ordem teria essa matriz? MATRIZES Profª Juliana Schivani

51 Do aeroporto de 4 cidades parte voos diários. No esquema abaixo, 1, 2, 3 e 4 representam as cidades e as linhas representam os voos existentes entre elas. 1 4 2 3 A 4x4 = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 a 41 a 42 a 43 a 44 A 4x4 = 1111 1110 1110 1001 MATRIZES Profª Juliana Schivani

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54 Um sinal de trânsito muda de estado em média a cada 30 segundos (trinta segundos no vermelho e trinta no verde). Então, a cada minuto um mendigo tem 30 segundos para faturar em média pelo menos R$ 0,20, o que numa hora dará: 60 x 0,20 = R$12,00

55 Se ele trabalhar 8 horas por dia, 25 dias por mês, num mês terá faturado: 25 x 8 x 12 = R$ 2.400,00 SERÁ QUE ESSA CONTA ESTÁ MALUCA? Bom, 12 reais por hora é uma conta bastante razoável para quem está no sinal, uma vez que, quem doa nunca dá somente 20 centavos e sim 30, 50 e às vezes até 1,00.

56 Mas, tudo bem, se ele faturar a metade: R$ 6,00 por hora terá R$1.200,00 no final do mês. Ainda assim, quando ele consegue uma moeda de R$1,00 (o que não é raro), ele pode descansar tranquilo debaixo de uma árvore por mais 9 viradas do sinal de trânsito, sem nenhum chefe pra 'encher o saco' por causa disto.

57 A imagem representa um cruzamento de duas ruas de mão dupla, cujo fluxo de automóveis nos pontos 1, 2 e 3 é organizado por três conjuntos de semáforos. MATRIZES Profª Juliana Schivani

58 No primeiro momento, durante 1 minuto, ficam verdes os semáforos de 1 para 2, de 1 para 3 e de 2 para 1. No segundo momento, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de 2 para 1, de 2 para 3 e de 3 para 2. No terceiro momento, durante meio minuto, ficam verdes os semáforos de 3 para 1, de 3 para 2 e de 1 para 3. MATRIZES Profª Juliana Schivani

59 Sabe-se que é possível passar até 20 carros por minuto cada vez que os semáforos abrem nesse cruzamento. Quantos carros, no máximo, devem passar por esse cruzamento, no período de uma hora, para que não haja engarrafamento devido ao fluxo de veículos? MATRIZES Profª Juliana Schivani

60 1231011 2100 30001231000 21/20 30 0123100 2000 3 0 1° Momento2° Momento 3° Momento No 1° momento, durante 1 min., ficam verdes os semáforos de 1 para 2, de 1 para 3 e de 2 para 1. No 2° momento, durante meio min., ficam verdes os semáforos de 2 para 1, de 2 para 3 e de 3 para 2. No 3° momento, durante meio min., ficam verdes os semáforos de 3 para 1, de 3 para 2 e de 1 para 3. MATRIZES Profª Juliana Schivani

61 123 1011 2100 30001231000 21/20 30 0123100 2000 3 0 + 2° Momento 3° Momento 1° Momento + Observe que cada momento pode ser representado por uma matriz quadrada de ordem 3. O que representa cada uma dessas matrizes? O que acontece se somarmos as três matrizes? MATRIZES Profª Juliana Schivani

62 123 1011 2100 30001231000 21/20 30 0123100 2000 3 0 + 2° Momento 3° Momento 1° Momento + = M =1231011,5 2 0½ 3½10 O que representa a matriz M? MATRIZES Profª Juliana Schivani

63 30 ∙ M = 123 130. 030. 130. 1,5 2 30. 030. ½ 3 30. 130. 0 O que representa a matriz 30M? Agora como saber quantos carros podem passar por esse cruzamento em 1 hora? = 03045 015 300 MATRIZES Profª Juliana Schivani

64 20 ∙ 30M = 123 120. 020. 3020. 45 2 20. 020. 15 3 20. 3020. 0 Sabe-se que 20 carros passam por minuto no cruzamento, então: = 0600900 0300 6000 O que representa esta matriz final? MATRIZES Profª Juliana Schivani

65 O computador reconhece três cores principais, red, green e blue (RGB). Uma imagem colorida é formada por uma matriz de três dimensões (3 matrizes normais), sendo uma de tons vermelhos, outra de tons azuis e outra de tons verdes. Todas as cores que vemos no nosso computador são uma mistura dessas 3 cores. MATRIZES Profª Juliana Schivani

66 Soma de matrizes Só é possível somar ou subtrair matrizes de mesma ordem, pois cada elemento de uma matriz será somado ou diminuído com o da outra, de mesma posição.

67 IMCMODALIDADE ABAIXO DE 18.5ABAIXO DO PESO ENTRE 18.5 E 24.9NORMAL ENTRE 25 A 29.9SOBREPESO ENTRE 30 A 34.9OBESIDADE DE 1º GRAU ENTRE 35 A 39.9OBESIDADE DE 2º GRAU MAIOR QUE 40OBESIDADE DE 3º GRAU MATRIZES Profª Juliana Schivani

68 http://www.cdof.com.br/nutri4.htm MATRIZES Profª Juliana Schivani

69 Juliana Schivani, UFRN. juliana_schivane@hotmail.com http://cyberdiet.terra.com.br/gasto-calorico-dos-exercicios-3-1-2-326.html MATRIZES Profª Juliana Schivani

70 Juliana Schivani, UFRN. juliana_schivane@hotmail.com MATRIZES Profª Juliana Schivani quantidade de calorias que o indivíduo gastou ao realizar as três atividades físicas na semana.

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73 ROTAÇÃO MATRIZES Profª Juliana Schivani

74 ROTAÇÃO MATRIZES Profª Juliana Schivani (-60, 50)

75 AMPLIAÇÃO/REDUÇÃO A matriz acima é a matriz que amplia ou reduz a imagem em E vezes, quando multiplicada por um vetor qualquer da figura. MATRIZES Profª Juliana Schivani

76 AMPLIAÇÃO MATRIZES Profª Juliana Schivani P = (50, 60) P’ = (100, 120)

77 REDUÇÃO MATRIZES Profª Juliana Schivani P’ = (100, 120) P = (50, 60)

78 MATRIZES Profª Juliana Schivani Multiplicação de matrizes

79 Quando multiplicamos a linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda matriz, obteremos o elemento a ij da matriz resultado deste produto. MATRIZES Profª Juliana Schivani Multiplicação de matrizes

80 I ∙ A = ? MATRIZES Profª Juliana Schivani A ∙ I = ? A ∙ B = B ∙ A ?

81 MATRIZES Profª Juliana Schivani Multiplicação de matrizes

82 MATRIZES Profª Juliana Schivani Divisão de matrizes

83 MATRIZES Profª Juliana Schivani Divisão de matrizes Intuitivamente, dividir uma matriz M por uma matriz A, é o mesmo que multiplicar M pela inversa de A, isto é, A -1. Contudo, o produto de matrizes não é comutativo, ou seja, M · A -1 ≠ A -1 · M. Desse modo, a operação de divisão não é usada em matrizes, apenas, a sua inversa é estudada.

84 MATRIZES Profª Juliana Schivani Matriz inversa Qual o resultado do produto de um número pelo seu inverso?

85 . 50 21 50 21 ab cd 10 01 Encontre a matriz inversa de A = = A2A2 I2I2 5 a + 0 c = 1 5 b + 0 d = 0 2 a + 1 c = 0 2 b + 1 d = 1 = 1/50 - 2/51 A -1 2 O produto de matrizes pelas suas respectivas inversas sempre resulta na matriz identidade! Matriz inversa

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87 criem uma senha de 4 dígitos; Formem uma matriz quadrada de ordem 2 a partir da senha escolhida, representando os dois algarismos na 1ª linha e os dois últimos na 2º linha; Considere a matriz chave a matriz S = CALCULE O PRODUTO DA MATRIZ X PELA MATRIZ S. O RESULTADO SERÁ A MATRIZ TRANSMITIDA. COMO PODEMOS RECUPERAR A SENHA DE 4 DIGITOS, CONHECENDO APENAS A MATRIZ CHAVE E A MATRIZ TRANSMITIDA? 31 42

88 Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br