Inferência 1:Estimação de Parâmetros Relembrando o Teorema Central do Limite Da aula anterior: a) Os estimadores da média e da s 2 são não viciados e de.

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1 Inferência 1:Estimação de Parâmetros Relembrando o Teorema Central do Limite Da aula anterior: a) Os estimadores da média e da s 2 são não viciados e de variância mínima. b) Do Teorema Central do Limite, a distribuição amostral da média tem distribuição de Gauss, com média  e variância  2 /n.

2 2. Estimativas por intervalo ou intervalo de confiança A idéia do intervalo de confiança é bastante simples. Considere uma variação em torno do valor amostral, ou seja: Valor do parâmetro=estimativa pontual  erro de amostragem. O erro de amostragem(E) é função da dispersão da população, do grau de confiança dos resultados e do tamanho da amostra. Estimativas por Intervalo

3 Observação: Toda afirmação deve vir acompanhada de um grau de confiança, ou grau de certeza, ou seja quanto se está certo ao comunicar aquela informação. O nível ou grau de confiança é denotado por 100(1-  ), onde  (alfa) é o nível de significância. Em outras palavras: Prob(I  S)=1-  Pergunta: Qual a interpretação dessa fórmula? Estimativas por Intervalo

4 Esquema do Intervalo de Confiança

5 O conceito de intervalo de confiança pode ser visualizada pela figura abaixo: Exemplo: Estimativas por Intervalo Valor do parâmetro = estimativa pontual  uma função da confiança, dispersão e tamanho da amostra

6 Observação Intervalo de Confiança: a) Se o intervalo de confiança de uma pesquisa é de 95%, significa que, a cada 100 entrevistas feitas pela mesma metodologia, 95 apresentarão os mesmos resultados. b) Quando se retira uma amostra e se calcula um intervalo de confiança, não se sabe, na verdade, se o parâmetro da população se encontra naquele intervalo calculado.

7 Os problemas existentes, na prática, resumem-se, na maioria dos casos, à necessidade de estimar. a média  de uma população; a diferença nas médias de duas populações,  1 -  2 ; a proporção p de elementos de uma população que pertence a uma classe de interesse; a diferença na proporção de duas populações, p 1 - p 2 ; a variância  2 de uma população Principais Estimativas por Intervalo

8 Os estimadores pontuais mais utilizadas são as seguintes: Principais Estimativas por Intervalo para , o estimador é, a média amostral; para, o estimador é, a diferença entre as médias amostrais de duas amostras aleatórias independentes; para p o estimador é, onde x é o número de elementos de uma amostra de tamanho n que pertence à classe de interesse; para p 1 – p 2, o estimador é, a diferença entre as proporções amostrais calculadas a partir de duas amostras aleatórias independentes; para  2, o estimador é, a variância amostral.

9 Com variância conhecida Para estimar a média , seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n e calcula-se a média amostral. Do TCL sabe-se que a distribuição amostral do estimador pontual é, aproximadamente, a de Gauss, com média  e variância  2 /n. Como a distribuição da média amostral tende para a de Gauss, o intervalo de confiança deve abranger uma área de (1-  )% entre seus limites inferior e superior na distribuição de Gauss. Intervalo de Confiança para a Média

10 Cada limite é expresso em unidades de desvio padrão representada por z  /2, tal que a área da extremidade à esquerda de -z  /2 vale  /2 e a área à direita de z  /2 vale  /2. A área entre os limites de confiança seja 100(1-  )%. As abscissas z são encontradas nas tabelas da distribuição de Gauss. Então o intervalo de confiança bilateral de 100 (1-  )% para  é dado por: Intervalo de Confiança para a Média Observe que a: Parâmetro=estimativa pontual  função(confiança,dispersão, tamanho da amostra).

11 Exemplo: O desvio padrão da população para a glicemia é de 10 mg/dl. Em uma amostra de 50 indivíduos retirados casualmente, a média é de 118 mg/dl. Estime a média da população de modo que se esteja correto em 95% dos casos. O intervalo de confiança bilateral de 100 (1-  )% para  é dado por: Intervalo de Confiança para a Média No Excel, o cálculo do intervalo de confiança é feito pela função INT.CONFIANÇA. Resposta: [115;121]

12 Com variância desconhecida Para estimar a média  da população com variância(  2 ) desconhecida, seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n e calcula-se a média e a variância amostral. Nesse caso, deve-se utilizar a distribuição t de Student, com (n-1) graus de liberdade. O intervalo de confiança bilateral de 100 (1-  )% para a média  é: Intervalo de Confiança para a Média onde X é a média amostral, t  /2,n-1 é a abscissa da distribuição t que limita a área das extremidades direita e esquerda no valor  /2, e o número de graus de liberdade é (n-1).

13 Observação: Quando o número de graus de liberdade é considerado grande (maior que 30), observa-se que o valor t tende para o valor correspondente de z, igualando-se no caso de n tendendo a infinito. Intervalo de Confiança para a Média

14 Exemplo: O desvio padrão da amostra para a glicemia, de 50 indivíduos, é de 10 mg/dl e a média é de 118 mg/dl. Estime a média da população de modo que se esteja correto em 95% dos casos. Solução: n=50, s= 10 mg/dl, X=118 mg/dl e 1-  =0,95. Da distribuição de t, tem-se que t0,025;49=2,01. Aplicando a fórmula anterior, temos: [ 115,2;120,8] Intervalo de Confiança para a Média

15 Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias  1,  2 e variâncias  1 2 e  2 2. Retire uma amostra aleatória de tamanho n 1 da primeira população, tendo uma variância s 1 2, e outra amostra aleatória de tamanho n 2 da segunda população com variância s 2 2. A Distribuição F A estatística indica a relação entre as razões das variâncias amostral e da população. Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então: F=s 1 2 /s 2 2. A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F

16 No menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F.. Exemplo com o Excel

17 Exemplo: Considere as medidas de alturas de alunos e alunas da disciplina RGM 5837. F 1,60 1,65 1,54 1,55 1,59 1,65 1,73 1,71 1,73 M 1,71 1,72 1,92 1,73 1,83 1,80 1,82 1,76 1,75 Considerando-se uma confiança de 95%, pode-se afirmar que as variâncias são iguais? Exercício sobre o Teste F No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de variâncias.

18 Considerando iguais as variâncias das populações A variável aleatória X 1 é modelada por uma distribuição de Gauss com média  1 e variância  1 2, isto é, X 1 ~N(  1,  1 2 ) e a variável X 2, também é de Gauss, isto é, X 2 ~N(  2,  2 2 ) Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias O intervalo de 100 (1-  )% de confiança para a diferença (  1 -  2 ) entre as médias das duas populações é dado por: Com a variância comum, ponderada, dada por:

19 Considere uma população de tamanho n que tem uma distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z 1 2, z 2 2,..., z n 2. A distribuição qui-quadrado(  2 ) é definida como a soma dos quadrados dos n valores de zi:  2 =z 1 2 + z 2 2 + z 3 2 +... + z n 2 A Distribuição Qui-quadrado Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade  2 que poderá ser representado por um histograma. Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do qui- quadrado com n-1 graus de liberdade.

20 No menu Colar função, escolher Estatística e a opção INV.QUI ou DIST.QUI. Exemplo com o Excel

21 TESTES DE HIPÓTESES Exemplo Suponha que um medicamento P tenha, com relação a uma doença, uma eficiência de curas da ordem de 50%. Admita, ainda, que o laboratório esteja interessado em lançar no mercado um novo medicamento N cuja eficiência, com relação à mesma doença, seja E N, esperada superior a E P.

22 H 0 E N = 50% H 1 E N  50% O objetivo é testar a hipótese de que os dois medicamentos têm a mesma eficiência contra a hipótese de que o medicamento N é mais eficiente do que o padrão (P) H 0 E N = E P H 1 E N  E P ou

23 ELEMENTOS DE UM TESTE ESTATÍSTICO A hipótese alternativa, H a ou H 1 O teste estatístico A região de não rejeição A hipótese nula, H 0

24 Região de não rejeição

25

26 Para testar H 0 contra H 1, suponha a realização do seguinte experimento: Toma-se uma amostra de indivíduos apresentando as características da doença e casualmente aplica-se os dois medicamentos. Por exemplo, 20 indivíduos, 10 tomam o medicamento P e o restante o N.

27 Ao final do experimento, com os resultados obtidos, o laboratório deverá tomar uma decisão, entre duas possíveis: aceitar H 0, ou seja, o medicamento N tem a mesma eficiência que o P. rejeitar H 0 (aceitar H 1 ), isto é, o medicamento N tem eficiência maior que o P.

28 se for tomada a primeira decisão (aceitar H 0 ), não se estará cometendo erro se for tomada a segunda decisão (rejeitar H 0 ), comete-se um erro, denominado tipo I que consiste em rejeitar H 0 quando H 0 é verdadeira, cuja probabilidade de ocorrência é o . Ao tomar uma decisão o laboratório estará cometendo algum tipo de erro? a) Suponha que H 0 seja realmente verdadeira

29 b) Suponha que H 1 seja realmente verdadeira: se for tomada a primeira decisão (aceitar H 0 ), comete-se um erro, denominado tipo II que consiste em aceitar H 0 quando H 0 é falsa, cuja probabilidade de ocorrência é .

30 EM RESUMO

31 b) Ao reduzir um ocorre aumento no outro ; c) A única maneira de reduzir ambos é aumentando o tamanho da amostra; a) Os dois erros são igualmente importantes, porém depende do problema; OBSERVAÇÕES

32 d) Em geral, fixa-se o  e o  é o menor possível; e) A escolha prévia do valor de , não é um problema estatístico e sim do pesquisador interessado em testar H 0 contra H 1. OBSERVAÇÕES