Noção de múltiplo O Voluntariado A Marta colabora assiduamente com uma instituição de solidariedade social da sua cidade. No dia 4 do mês de Setembro,

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2 Noção de múltiplo O Voluntariado A Marta colabora assiduamente com uma instituição de solidariedade social da sua cidade. No dia 4 do mês de Setembro, iniciou uma nova actividade que consiste em levar alimentos aos sem-abrigo de quatro em quatro dias. Neste mês, quantas vezes a Marta vai distribuir alimentos pelos sem-abrigo?

3 Em Setembro, a Marta irá distribuir 7 vezes alimentos pelos sem-abrigo da sua cidade. Resolução

4 4 x 1 = 4 4 x 2 = 8 4 x 4 = 164 x 5 = 20 4 x 10 = 404 x 0 = 0 4 x 20 = 80 Definição: Múltiplo de um número natural é todo o número que se obtém multiplicando o número dado por um número inteiro qualquer. 4 x 3 = 12 Múltiplos de 4 M 4 = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,...}... Múltiplos de um número Quais são os múltiplos de 4?

5 ➲ Todos os números naturais têm um conjunto infinito de múltiplos. ➲ O número zero é múltiplo de qualquer número natural.

6 Noção de divisor O pomar O senhor Afonso pretende plantar 32 macieiras em várias filas de modo a formar rectângulos. De quantas maneiras pode ele fazer esta plantação?

7 2 1481632 O Sr. Afonso tem 6 possibilidades para plantar as 32 macieiras: 1 x 32 ; 2 x 16 ; 4 x 8 ; 32 x 1 ; 16 x 2 e 8 x 4. Resolução Divisores de 32 D 32 = {1, 2, 4, 8, 16, 32}

8 60 15 x 4 20 x 3 60 x 1 5 x 12 30 x 2 6 x 10 Quais são os divisores de 60? Divisores de 60 D 60 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} ➲ Agora chegou a tua vez de ajudar o Sr. Afonso na plantação de 60 macieiras! O Sr. Afonso tem 12 possibilidades para plantar as 60 macieiras.

9 9 Definição: Divisor de um número natural é qualquer número natural que o divide um número inteiro de vezes. ➲ Todos os números naturais têm um conjunto finito de divisores. ➲ O número 1 é divisor de qualquer número natural.

10 Critérios de Divisibilidade Um número é divisível por 2 quando o algarismo das unidades é 0, 2, 4, 6 ou 8. 2 Um número é divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 3. 3 Um número é divisível por 4 quando o número formado pelos dois últimos algarismos é múltiplo de 4 (esse número de dois algarismos é par e a sua metade também é par). 4 Exemplo: 10 ; 32 ; 54 ; 76 ; 98 ; 130 ; Exemplo: 471 é divisível por 3, porque 4 + 7 + 1 = 12 e 12 é múltiplo de 3. Exemplo: 152 é divisível por 4, porque 52 é múltiplo de 4 (52 e 26 são pares).

11 Um número é divisível por 5 quando o algarismo das unidades é 0 ou 5. 5 Um número é divisível por 9 quando a soma dos seus algarismos é um múltiplo de 9. 9 Um número é divisível por 10 quando o algarismo das unidades é 0. 10 Um número é divisível por 100 quando o algarismo das unidades e das dezenas é 0. 100 Exemplo: 756 é divisível por 9, porque 7 + 5 + 6 = 18 e 18 é múltiplo de 9. Exemplo: 130 ; 65; Exemplo: 50 ; 130 ; 5140 ; 7600; Exemplo: 500 ; 1300 ; 7600;

12 Verifica se cada um dos números escritos nos envelopes transportados pelas pombas são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 10. 280 8228 6666 Critérios de divisibilidade ➲ Será 8228 divisível por 11? Verifica se cada um dos números escritos nos envelopes transportados pelas pombas são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 10.

13 12345678910 11121314151617181920 21222324252627282930 31323334353637383940 41424344454647484950 51525354555657585960 61626364656667686970 71727374757677787980 81828384858687888990 919293949596979899100 Crivo de Eratóstenes:

14 Números primos e números compostos Definição: Um número primo é um número natural maior que 1 que possui apenas dois divisores naturais: a unidade e ele próprio. Todos os números primos menores que 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Definição: Um número composto é um número natural que tem mais que dois divisores naturais distintos.  O número 1 não é número primo nem composto.

15 Decomposição de um número composto em factores primos Todo o número composto pode ser escrito como produto de factores primos. Assim diz-se que está decomposto em factores primos. Exemplo: 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 3 x 3 2 Ou 72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 3 x 3 2

16 Exercício: a)Escreve todos os números primos menores que 20. b)Decompõe em factores primos cada um dos seguintes números: 52 = 54 = 80 = 90 = 120 = 180 = 600 = 135 = 1200 =

17 Esquema do capítulo Determinação dos múltiplos naturais de 5 5x1; 5x2; 5x3; 5x4; 5x5;... M 5 = {5, 10, 15, 20, 25,...} Relação entre m.m.c. e m.d.c. de dois números Sejam a, b, dois números naturais, D = m.d.c. (a, b) e M = m.m.c. (a, b). Então, M x D = a x b Determinação dos divisores de 2 0 20 = 20 x 1; 20 = 10 x 2; 20 = 5 x 4. D 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Critérios de divisibilidade 482 é divisível por 2, porque o seu algarismo das unidades, 2, é par; 285 é divisível por 3, pois a soma, 2+8+5=15, é um múltiplo de 3; 1616, 4616 é divisível por 4, pois o número formado pelos dois últimos algarismos, 16, é múltiplo de 4; 125 é divisível por 5 dado que o seu algarismo das unidades é 5. 142 182 é divisível por 9, pois a soma, 1+4+2+1+8+2=18, é múltiplo de 9. 380, 36 290, ou 4200 são divisíveis por 10, porque terminam em 0. Números primos e números compostos 2; 5; 7; 11; 29 são exemplos de números primos, pois admitem apenas dois divisores: eles próprios e a unidade; 12; 14; 60; 1200; 400 são exemplos de números compostos pois tem mais que dois divisores naturais; o número um não é primo nem composto. Decomposição de um número em factores primos 28 = 7 x 4 28 2 28 2 = 7 x 2 x 2 14 2 0 14 2 = 2 X 2 X 7 7 7 7 7 1 0 1 28 = 2 X 2 X 7 = Resolução de problemas envolvendo m.m.c. e m.d.c. m.d.c. e m.m.c. 24 2 2 2 24 = 2 x 2 x 2 x 3 40 = 2 x 2 x 2 x 5 3 5 m.d.c. (24, 40) =2x2x2 = 8 m.m.c. (24, 40)= 2x2x2x3x5 = 120 40