Bruno Lund1 Hedge de uma carteira de Renda Fixa Parte 3.

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1 Bruno Lund1 Hedge de uma carteira de Renda Fixa Parte 3

2 Bruno Lund 2 Resumo Precificação e “Hedging”  Precificação de fluxos de caixa sem risco  Risco de Taxas de Juros  Princípios de Hedging Técnicas de Hedge Baseadas em Duration  Definição de duration  Propriedades da duration  Hedging com duration

3 Bruno Lund 3 Hedging - Notação B(t,T) : preço na data t de um zero coupon pagando $1 na data T (« fator de desconto ») R a (t,  ) : taxa de zero coupon  Ou taxa de desconto,  Ou yield-to-maturity de um zero-coupon bond com maturidade na data t +  R(t,  ) : Taxa continuamente composta com maturidade em t +  : –Equivalentemente,

4 Bruno Lund 4 O valor na data t (V t ) de um bond que paga fluxos de caixa F(i) é dado por: Exemplo: $100 bond com 5% coupon Logo, o valor é função do tempo e das taxas de juros –Valor muda quando as taxas de juros oscilam Hedging

5 Bruno Lund 5 Exemplo  Assuma uma estrutura a termo constante  R a (0,  ) = 10% para todo   Bond de 10 anos, taxa de coupon = 10%  Price: $100 Se a ET sobe para 12% (parallel shift)  Preço do Bond : $88.7  Perda de Capital: $11.3, or 11.3% Implicações  Hedging do risco de taxas de juros é economicamente importante  Tarefa é complexa: há 10 fatores de risco nesse exemplo Risco de Taxas de Juros

6 Bruno Lund 6 Princípio básico: tentar reduzir a dimensionalidade do problema Primeiro passo: duration hedging  Considera apenas 1 fator de risco  Assume uma ET constante  Assume pequenas mudanças no fator de risco Outros passos além de duration  Relaxar a hipótese de pequenas mudanças nas taxas  Relaxar a hipótese de curva constante  Relaxar a hipótese de mudanças paralelas Precificação e Hedging Princípios

7 Bruno Lund 7 Use uma “proxy” para a ET: o yield to maturity do bond  É uma média das taxas da ET  Se a ET for constantes, valores são idênticos Vamos verificar a sensibilidade do preço do bond a mudanças na YTM:  Mudança na ET significa mudança nas taxas Preço do bond: Duration Hedging Duration

8 Bruno Lund 8 Risco de taxas de juros –Taxas mudam de y para y+dy –dy é pequeno, digamos 1 basis point (e.g., de 5% para 5.01%) Mudança no valor do bond dV devido a uma mudança na taxa dy Duration Hedging Sensibilidade Para pequenas mudanças, pode ser aproximado por Variação relativa

9 Bruno Lund 9 Dado em valores relativos (percentuais) Sempre um número negativo –Taxa cai, preço sobe. –Taxa sobe, preço cai A sensibilidade relativa, denotada por Sens, é a derivada parcial do preço do bond com respeito a taxa, dividido pelo preço do bond Formalmente Duration Hedging Duration

10 Bruno Lund 10 O negativo da sensibilidade Sens é chamado de « Modified Duration » A sensibilidade absoluta V’(y) = Sens x V(y) é chamada de « $ Duration » Exemplo:  Bond com 10 anos p/ maturidade  Coupon rate: 6%  Cotado a 5% yield ou equivalentemente por $107.72  A $ Duration desse bond é -809.67 e a duration modificada é 7.52. Interpretação  Se a taxa subir 0.1% (10 basis points)  Absoluto P&L: -809.67x.0.1% = -$0.80967  Relativo P&L: -7.52x0.1% = -0.752% Duration Hedging Terminologia

11 Bruno Lund 11 Definição de Duration D: Também conhecido como “Macaulay duration” É uma medida da maturidade média Relação entre a sensibilidade e a modified duration: Duration Hedging Duration

12 Bruno Lund 12 Exemplo: m = 10, c = 5.34%, y = 5.34% Duration Hedging Exemplo

13 Bruno Lund 13 Duration de um zero coupon bond é  Igual a maturidade Fixada a maturidade e o yield, a duration aumenta quando a taxa de cupom  Diminui Fixada a taxa de cupom e o yield, a duration aumenta quando a maturidade  Aumenta Fixada a maturidade e a taxa de cupom, a duration aumenta quando o yield  Diminui Duration Hedging Propriedades da Duration

14 Bruno Lund 14 Duration Hedging Propriedades da Duration - Exemplo

15 Bruno Lund 15 Duration Hedging Propriedades da Duration - Linearidade Duration de um portfolio de n bonds onde w i é o peso do bond i no portfolio: Isso é verdade apenas se todos os bonds tiverem a mesma taxa, i.e., se a ET for constante

16 Bruno Lund 16 Princípio: imunizar o valor de um portfolio de bonds com respeito a mudanças nas taxas  Denote por P o valor do portfolio  Denote por H o valor do instrumento de hedging Instrumento de Hedging pode ser  Bond  Swap  Futuro  Opção Assuma uma ET constante Duration Hedging Hedging

17 Bruno Lund 17 Mudança no valor  Portfolio Duration Hedging Hedging –Hedging instrument Estratégia: manter q unidades do instrumento Solução

18 Bruno Lund 18 Exemplo:  Na data t, um portfolio P tem preço igual a $328635, yield de 5.143% e 7.108 MDur  Instrumento de hedging, um bond, tem preço de $118.786, yield de 4.779% e 5.748 MDur Estratégia de Hedging involve a venda de q bonds q = -(328635x7.108)/(118.786x5.748) = - 3421 Duration Hedging Hedging

19 Bruno Lund19 Hedge Além de Duration

20 Bruno Lund 20 Resumo Considerar mudanças maiores na taxa Considerar ET’s não constantes Considerar mudanças não paralelas na ET

21 Bruno Lund 21 Duration hedging é  Muito simples  Construido sobre hipóteses muito restritivas Hipótese 1: pequenas mudanças na ET  O valor do Portfolio pode ser aproximado por uma expansão de Taylor de primeira ordem  OK para mudanças pequenas, mas ruim para mudanças maiores  Por isso o portfolio de hedging precisa ser reajustado frequentemente Hipótese 2: a curva de juros é constante em t=0  Em particular supomos que todos os bonds tenham a mesma yield  Em outras palavras, o risco de taxas de juros é visto simplesmente como o risco do nível das taxas Hipótese 3: a curva de juros é constante para todo tempo t  Assumimos apenas mudanças paralelas da curva de juros Além de Duration Limites da Duration

22 Bruno Lund 22 Considerar Mudanças Maiores na Taxa Duration e Risco de Taxas de Juros

23 Bruno Lund 23 Considere um bond de 10 anos, com coupon anual de 6%, 7.36 de modified duration, negociado a par O que acontece se  Caso 1: yield aumenta de 6% para 6.10%  Caso 2: yield aumenta de 6% to 8% Caso 1:  Desconte os fluxos de caixa com a nova taxa e obtenha $99.267  Variação absoluta : - 0.733 = (99.267-100)  Use modified duration e calcule a variação aproximada -100x7.36x0.001= - $0.736  Ótima aproximação Caso 2:  Desconte os fluxos de caixa com a nova taxa e obtenha $86.58  Variação absoluta : - 13.42 = (86.58 -100)  Use modified duration e calcule a variação aproximada -100x7.36x0.02= - $14.72  Aproximação ruim Considerar Mudanças Maiores na Taxa - Erro de Hedging

24 Bruno Lund 24 Relação entre o preço e a taxa é convexa: Aproximação de Taylor: Considerar Mudanças Maiores na Taxa Convexity Variação relativa C é a convexidade relativa See exercise 6.3

25 Bruno Lund 25 $ Convexity = V’’(y) = Conv x V(y) Exemplo anterior  Bond de 10 anos, com coupon anual de, 7.36 modified duration, 6974 $ convexity negociado a par  Caso 2: taxa sobe de 6% para 8% Aproximação de segunda ordem  Calcule: -14.72 + (6974.(0.02)²/2) = -$13.33  Solução exata é -$13.42, e a aproximação de primeira ordem é 14.72 Convexity and $ Convexity A Convexidade Relativa é

26 Bruno Lund 26 Convexidade é sempre positiva Fixada a maturidade e o yield, a convexidade aumenta quando a taxa de coupon  Diminui Fixada a taxa de coupon e o yield, a convexidade aumenta quando a maturidade  Aumenta Fixada a maturidade e a taxa de coupon, a convexidade aumenta quando o yield  Diminui Propriedades da Convexidade

27 Bruno Lund 27 Considerar Mudanças Maiores na Taxa Propriedades da Convexidade

28 Bruno Lund 28 Considerar Mudanças Maiores na Taxa - Linearidade Convexity de um portfolio de n bonds onde w i é o peso do bond i no portfolio: Isso é verdade apenas se todos os bonds tiverem a mesma taxa, i.e., se a ET for constante

29 Bruno Lund 29 Considerar Mudanças Maiores na Taxa Duration-Convexity Hedging Princípio: imunizar o valor de um portfolio de bonds com respeito a mudanças nas taxas  Denote por P o valor do portfolio  Denote por H 1 e H 2 os valores dos instrumentos de hedging  Precisamos de 2 instrumentos, pois faremos o hedging de 1 fator de risco até segunda ordem Mudança no Valor  Portfolio –Instrumentos de Hedging

30 Bruno Lund 30 Duration-Convexity Hedging Estratégia: manter q 1 (resp. q 2 ) unidades do primeiro (resp. segundo) instrumentos de hedging, tal que  Ou (assumindo uma mesma curva constante y ) Solução (sob a hipótese de um único shift paralelo)

31 Bruno Lund 31 Considerar uma ET Arbitrária Problema com método anterior: assumimos uma mesma taxa para todos os instrumentos, i.e., uma ET constante. Relaxaremos essa hipótese considerando 3 taxas distintas y, y 1, y 2 Manteremos a hipótese de mudanças paralelas dessas curvas, i.e., assumiremos dy = dy 1 = dy 2 Ainda buscamos q 1 e q 2 tais que

32 Bruno Lund 32 Considerar uma ET Arbitrária Solução (sob a hipótese de mesma mudança paralela dy)  ou (relaxando a hipótese de ET constante)  Substitua a (Macaulay) duration pela sensibilidade ou modified duration na primeira equação

33 Bruno Lund 33 Considerar uma ET não constante Vejamos um exemplo! Portfolio na data t  Preço P = $ 32863.5  Yield y = 5.143%  Sens = 6.76  Conv =85.329 Instrumento de Hedging 1  Preço H 1 = $ 97.962  Yield y 1 = 5.232 %  Sens 1 = 8.813  Conv 1 = 99.081 Instrumento de Hedging 2:  Preço H 2 = $ 108.039  Yield y 2 = 4.097%  Sens 2 = 2.704  Conv 2 = 10.168

34 Bruno Lund 34 Considerar uma ET não constante Vejamos um exemplo! Quantidades ótimas q 1 e q 2 dos instrumentos de hedge são dados por  Ou q 1 = -305 e q 2 = 140 Se estiver comprado no portfolio, deve vender 305 unidades de H 1 e comprar 140 unidades de H 2

35 Bruno Lund 35 Considerar Movimentos não Paralelos da ET Má notícia: não apenas a ET é não constante, como também muda de forma! Métodos descritos até agora não consideram essas deformações  Fatores de risco Adicionais  Devemos reagrupar os diferentes fatores de risco para reduzir a dimensionalidade: ie., um fator de curto, médio e longo prazo Abordagem sistemática: análise de fatores no histórico de dados elucida a dinâmica da ET 3 fatores respondem por mais de 90% das oscilações  Fator nível  Fator inclinação  Fator curvatura

36 Bruno Lund 36 Além de Duration Comentários Gerais Qualquer o método usado, duration, modified duration, convexidade ou sensibilidade aos parâmentros de Nelson- Siegel, são quantidades que variam no tempo  Desde que seus valores impactem diretamente na quantidade dos instrumentos de hedging, a estratégia é dinâmica  Rebalanceamentos precisam ser feitos para ajustar o portfolio de hedging No contexto de Nelson e Siegel, podemos eleger para quais parâmetros desejamos hedging  Assim podemos especular em alguns fatores, ficando protegido aos demais  Estratégias de « semi-hedging »  Exemplo: aposta de inclinação com proteção ao nível

37 Bruno Lund 37 Hedge de mínima variância Suponha uma carteira com valor de mercado P(y(p)) e YTM y(p) e um instrumento de hedge com valor de mercado H(y(h)) e YTM y(h) Risco de base: Mininizando o risco de base encontro g: Regressão linear

38 Bruno Lund 38 Bucket hedge Alocar para cada título da carteira um instrumento de hedge com a duration mais próxima.

39 Bruno Lund 39 Covariance Key interest hedge Combinação de instrumentos de hedge que simultaneamente:  Minimiza a variância do risco de base da carteira  Incorpora a relação entre taxas de juros selecionadas via sua matriz de covariância Em média BPV(m,B)= gama*BPV(m,H)

40 Bruno Lund 40 Covariance Key interest hedge Passos:  (1) Escolha um conjunto de m taxas chave que adequadamente explicam a curva de juros. Estas taxas podem ser forwards ou zeros;  (2) Estimar a matriz de covariância Ω de mudanças nas m taxas chave;  (3) Computar o vetor de valores de pontos base parciais (BPVs) para a carteira original, BPV(m,B). Em que representa a variação no valor presente da carteira original devido a mudança de 1 bps na taxa chave m.

41 Bruno Lund 41 Covariance Key interest hedge  (4) Computar a matriz MxN de BPVs parciais para os N instrumentos de hedge, BPV(m,H(n)). Em que representa a representa a variação no valor presente do instrumento de hedge n devido a mudança de 1 bps na taxa chave m. Truque: (cov(n,m)/var(m))  (5) Encontre vetor N-dimensional de razões de hedge β que minimiza a variância do risco de base:

42 Bruno Lund 42 Key interest hedge – Resultado Falkenstein e Hanweck (1996)  Hedge via taxas chave é superior aos hedges bucket, barbell e baseado em componentes principais (Valor absoluto médio da mudança no valor de base como % do valor de face).

43 Bruno Lund 43 Considerar Movimentos não Paralelos da ET Para considerarmos mudanças na ET, precisamos das taxas de zero coupon Ou, usando taxas continuamente compostas

44 Bruno Lund 44 Considerar Movimentos não Paralelos da ET - Modelo Nelson Siegel O problema agora é que lidamos com m fatores de risco Reduzir a dimensionalidade do problema escrevendo a ET como função de 3 parâmetros Uma abordagem clássica é o modelo de Nelson e Siegel’s –R(0,  ): taxa de desconto com maturidade  –  0 : fator nível –  1 : fator inclinação –  2 : fator curvatura –  : parâmetro de escala fixo Princípio do Hedging: imunize o portfolio com respeito a mudanças nesses 3 parâmetros

45 Bruno Lund 45 Considerar Movimentos não Paralelos da ET - Modelo Nelson Siegel Mecânica do modelo: mudanças nos parâmetros betas implicam em mudanças nas taxas de desconto e consequentemente nos preços Pode-se facilmente calcular as sensibilidades (derivadas parciais) de R(0,  ) com respeito a cada beta Consistente com análise de fatores no sentido que os parâmentros representam nível, inclinação e curvatura da ET

46 Bruno Lund 46 Considerar Movimentos não Paralelos da ET - M odelo Nelson Siegel

47 Bruno Lund 47 Considerar Movimentos não Paralelos da ET- Modelo Nelson Siegel Considere na data t=0 um bond com preço P e fluxo de caixa F i O preço é dado por Sensibilidades do preço do bond com repeito a cada beta é

48 Bruno Lund 48 Considerar Movimentos não Paralelos da ET - Exemplo Na data t=0, parâmetros são estimados em Beta 0Beta 1Beta 2Scale parameter 8%-3%-1%3 Sensibilidades de 3 bonds com respeito aos betas e também de um portfolio cum 1 unidade de cada bond

49 Bruno Lund 49 Considerar Movimentos não Paralelos da ET - Nelson Siegel Princípio: imunizar o valor do portfolio com respeito a mudanças nos betas  Denote por P o valor do portfolio  Denote por H 1, H 2 e H 3 o valor dos 3 instrumentos de hedging  Precisamos de 3 instrumentos de hedging instruments pois há 3 fatores de risco (considerados até primeira ordem)  Podemos impor, também restrição de neutralidade monetária q 0 H 0 + q 1 H 1 + q 2 H 2 + q 3 H 3 + q 4 H 4 = - P (adicionando um 4 o instrumento) Formalmente: encontre q 1, q 2 e q 3 tal que

50 Bruno Lund50 Previsão e Simulação da ETTJ Parte 4

51 Bruno Lund 51 Previsão Previsão é a arte de se prever o estado da economia no futuro (que é incerto), dado o estado hoje.  Modelos paramétricos  Matriz de covar de taxas chave. Taxas ou fatores de modelo paramétrico apresentam persistência ou relação com o passado Utilizar persistência para prever ETTJ.

52 Bruno Lund 52 Fatores e previsão Supomos que os fatores seguem algum processo. Ex: AR(1) ou VAR(1) Suponha um modelo paramétrico com N fatores.  Fatores são os coeficientes estimados de um modelo paramétrico  Ou componentes principais estatísticos  Ou cada uma das taxas selecionadas

53 Bruno Lund 53 AR(1) Cada um dos N fatores evolui de acordo: Estimador: média condicional Média: 70% das vezes IC:

54 Bruno Lund 54 MonteCarlo análise de cenários distribuição empírica de Perdas e Ganhos de uma carteira de renda fixa  Modelo paramétrico  Matriz de covar de taxas selecionadas MC: colocar o modelo para rodar (choques); construir diversas trajetórias possíveis para o estado futuro da economia (fatores).

55 Bruno Lund 55 MonteCarlo – Matriz de Var – Random Walk (1) Construir matriz de Var (V) da diferença das taxas. (2) Decomposição de Cholesky em V  Output: matriz P triangular (3) Gerar vetor de choques N(0,I)  dim(choque) = dim(taxas) (4) Multiplicar vetor de choques por P para construir um cenário de variação de taxa. (5) Voltar ao passo 3 (S-1) vezes para construir S cenários.

56 Bruno Lund 56 MonteCarlo – Modelo Paramétrico (1) Simular uma trajetória para os choques a partir da distribuição (2) Construir trajetória para fatores utilizando o modelo (3) Retornar ao passo 1 (S-1) vezes para obter S trajetórias simuladas.