1. C.Dougherty “Introduction to Econometrics” 2. Capítulo 16. Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição.

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1 1. C.Dougherty “Introduction to Econometrics” 2. Capítulo 16. Bussab&Morettin “Estatística Básica” 7ª Edição

2 Modelo estatístico parte aleatória do modelo Gauss-Markov conditions

3 Propriedades estatísticas de coeficientes

4 população qualidade de modelo é a significância de coeficientes a e b qualidade de modelo “inteiro” em “total” ? podemos analizar variação de dados – se o modelo explica bem a variação total de dados ANOVA e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2

5 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 variação total: variação de dados ajustados: variação “não explicada”, erro: ?

6 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 ou

7 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 causas de variação graus de liberades soma quadrados médios F-estatística nível descritivo Regressão k -1SS Reg SS Erro SS Total n - k MSS Reg =SS Reg /(k-1) MSS Erro =SS Erro /(n - k) MSS Reg MSS Erro Resíduo Totaln -1 p Tabela ANOVA para modelo de regressão n número de observações k numero de parâmtros causas de variação graus de liberades soma quadrados médios F-estatística nível descritivo Regressão 1SS Reg SS Erro SS Total n - 2 MSS Reg =SS Reg SS Erro /(n - 2)=s 2 e SS Reg s 2 e Resíduo Totaln -1 p Tabela ANOVA para modelo de regressão caso k=2

8 ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 Tambem podemos medir o lucro relativo que se ganha ao introduzir o modelo, usando a estatística que chama se coeficiente de determinação ( coefficient of determination ) F estatistica de análise de variância pode ser representada em modo alternativo em caso k = 2

9 Call: lm(formula = x$FOOD ~ x$DPI) Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -8.2976 -1.3975 0.3045 0.9550 10.1591 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 53.043771 3.481715 15.23 1.65e-13 *** x$DPI 0.097104 0.004381 22.16 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 4.061 on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9553, Adjusted R-squared: 0.9533 F-statistic: 491.2 on 1 and 23 DF, p-value: < 2.2e-16 saida do programa R www.r-project.orgwww.r-project.org ANOVA, e qualidade de ajuste (goodness of fit) R 2 R-squared: 0.9552744 F=23*R 2 /(1-R 2 )=23*0.9553/(1-0.9553)=491.5414 F=23*R 2 /(1-R 2 )=23*0.9552744/(1-0.9552744)=491.2469

10 Teste de hipóteses Qual hipótese testa F-estatística (ANOVA)?t-estatística? testes tem que ser equivalentes Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 53.043771 3.481715 15.23 1.65e-13 *** x$DPI 0.097104 0.004381 22.16 < 2e-16 *** --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 Residual standard error: 4.061 on 23 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9553, Adjusted R-squared: 0.9533 F-statistic: 491.2 on 1 and 23 DF, p-value: < 2.2e-16 22.16 2 =491.1

11 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação básica: consumo anual de bananas (y) salario anual (x) foram oservadas 10 familias y = 5.09 + 0.73 x R 2 = 0.64 (s.e.) (1.23) (0.20) coeficiente estao significantes construimos gráfico:

12 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear z = 1 / x y = 5.09 + 0.73 x R 2 = 0.64 (s.e.) (1.23) (0.20) y = 12.08 - 10.08 z R 2 = 0.9989 (s.e.) (0.04) (0.12)

13 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação logaritmica. se a elasticidade de y ao respeito de x é constante, entao usaremos a função potência. Elasticidade de y ao respeito da variável x é, pela definição, incremento proporcional de y pelo dado incremento proporcional de x

14 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Transformação logaritmica. para o periodo 1959-1983 in EU a curva de Engel foi aplicada para gastos em alimentos (y) em relação ao salario (x). A regressão realizada é ln y = 1.20 + 0.55 ln x transformando pela função potência temos y = e 1.20 x 0.55 = 3.32 x 0.55 esse resultado sugere que elasticidade de demanda de alimentos em relacão ao salario é 0.55, o que significa que aumento em 1% de salario leva ao aumento de demanda de alimentos em 0.55%. Fator multiplicativo 3.32 não tem a interpretação direta. Esse valor ajuda prever o valor de y quando valor do x é dado

15 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Trend exponencial. Incremento absoluto em y pela unidade de tempo é dada por Incremento proporcional em y pela unidade de tempo é dada por Incremento proporcional em y pela unidade de tempo (taxa) é constante

16 Modelos não lineares que podem ser estimados atraves de regressão linear Trend exponencial. para o periodo 1959-1983 in EU a curva de trendo exponencial foi aplicada para gastos em alimentos (y). A regressão realizada é ln y = 4.58 + 0.02 T transformando pela função potência temos y = e 4.58 e 0.02 T = 97.5 e 0.02 T esse resultado sugere que os gastos em alimentos cresce com a taxa de 2% ao ano desta vez constante pode ter interpretação: ela mostra quanto foi gasto em alimentos em ano calendario 1958 (o que corresponde T = 0) que deu $97.5 bilhões.

17 Referencias: C.Dougherty’s course internet access: http://econ.lse.ac.uk/courses/ec220/G/ieppt/series2/