Matemática Financeira. JUROS SIMPLES Juro e Consumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir.

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1 Matemática Financeira

2 JUROS SIMPLES

3 Juro e Consumo Existe juro porque os recursos são escassos. As pessoas têm preferência temporal: preferem consumir a poupar. O prêmio para quem poupa é o juro.

4 Juro O Juro é a remuneração pelo uso do capital. O Juro é a remuneração pelo custo do crédito. Juro (J) - É a remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.

5 Capital e Taxa de Juros Capital (C) – Entende-se por capital, do ponto de vista da matemática financeira, qualquer valor expresso em moeda e disponível em determinada época. Taxa de Juros (i) – É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um determinado período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado).

6 Taxa de Juros Juro e tempo andam juntos. O coeficiente corresponde à remuneração da unidade de capital empregado por um prazo igual àquele da taxa. Ex.: 12 % ao ano. O juro é determinado através de um coefi- ciente referido a um dado intervalo de tempo.

7 Taxa de Juros FORMA PORCENTUAL Na forma porcentual a taxa de juros é aplicada a centos do capital. Ex.: 12% ao ano. FORMA UNITÁRIA Na forma unitária a taxa de juros é aplicada a unidades do capital. Ex.: 0,12 ao ano.

8 Existem algumas terminologias para as taxas de juros as quais devemos saber: a.a. – ao ano; a.s. – ao semestre; a.q. – ao quadrimestre; a.t. – ao trimestre; a.b. – ao bimestre; a.a. – ao mês; a.d. – ao dia Nomenclatura de Taxa Juros

9 JURO SIMPLES - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. - Ao valor aplicado; - Ao tempo de aplicação. JURO SIMPLES A remuneração pelo capital inicial (o principal) é diretamente proporcional: Capitalização Simples – É aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial; não incide, pois, sobre os juros acumulados. Neste regime de capitalização a taxa varia linearmente em função do tempo.

10 CÁLCULO DO JURO FÓRMULA BÁSICA: J = C. i. n onde: J = Juro C = Capital inicial (Principal) i = Taxa de Juros (na forma unitária) n = prazo de aplicação (na mesma unidade que a taxa) EXEMPLO

11 Exemplo Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2 anos e à taxa de 10% a.a. Qual será o valor a ser pago como juro ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 10% a.a. Número de períodos (n) = 2 anos Trabalhando com a taxa de juros na forma unitária, te- mos o juro do primeiro ano como sendo: J 1 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00 No segundo ano, teremos: J 2 = 1.000,00 X 0,10 X 1 = $ 100,00

12 O juro total será a soma do juro devido no primeiro ano (J 1 ) mais o juro devido no segundo ano (J 2 ) J = J 1 + J 2 J = 100,00 + 100,00 = $ 200,00 Ou então, podemos resolver o problema diretamente: J = 1.000,00 X 0,10 X 1 + 1.000,00 X 0,10 X 1 J = 1.000,00 X 0,10 X 2 J = $ 200,00 Exemplo

13 CÁLCULO DO JURO variações da fórmula básica. JURO SIMPLES J = C.i.n

14 MONTANTE JURO SIMPLES Montante é a soma do juro mais o capital aplicado. M = C + J onde: C= principal n= prazo de aplicação i = taxa de juros M = C(1 + in) EXEMPLO Montante (M) – É o valor gerado pela soma do capital inicialmente aplicado (ou emprestado) e o juros decorrentes do período.

15 Exemplo Qual é o montante de um capital de $ 1.000,00 aplicado à taxa de 10 % a.a. pelo prazo de 2 anos ? Resolução: Capital Inicial (C) = 1.000,00 Taxa de juros (i) = 0,10 a.a. Número de períodos (n) = 2 anos E sendo: M = C(1+in) Substituindo-se os valores, tem-se: M = 1.000(1+0,10 x 2) M = 1.000(1+0,20) M = 1.000 x 1,20 M = $ 1.200,00

16 Exemplo É possível resolver o problema, seguindo-se a definição dada por montante: a) Calculando o juro devido: J = Cin J = 1.000,00 x 0,10 x 2 = $ 200,00 b) Somando-se o juro com o principal: M = C + J M = 1.000,00 + 2000,00 = $ 1.200,00

17 MONTANTE M = C(1 + in) JURO SIMPLES

18 TAXA PROPORCIONAL JURO SIMPLES A taxa i 1 (referida ao período n 1 ) é proporcional à taxa i 2 (referida ao período n 2 ) se: i 1.n 2 = i 2.n 1 Ou, do mesmo modo, se: Ou ainda: EXEMPLO

19 Exemplo Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. i 2 = 20% a.a. = 0,20 a.a. n 1 = 3 meses n 2 = 12 meses Como: Substituindo-se os valores: que são grandezas proporcionais, porque o produto dos meios (0,20 x 3) é igual ao produto dos extremos (0,15 x 12). Logo, as taxas dadas são proporcionais.

20 Exemplo Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional mensal. Resolução: Temos: i 1 = 5% a.t. = 0,05 a.t. n 1 = 12 meses i 2 = ? n 2 = 1 mês E, como: tem-se: 0,24 x 1 = i 2 x 12ou i = 2% a.m.

21 TAXA EQUIVALENTE Duas taxas de juros são equivalentes se: aplicadas ao mesmo capital; pelo mesmo intervalo de tempo. => Ambas produzem o mesmo juro. No regime de juros simples, as taxas de juros proporcionais são igualmente equivalentes. EXEMPLO Taxa de equivalência em Juros Simples – Diz-se que uma taxa é equivalente a outra, referenciadas a períodos diferentes, quando produzem o mesmo montante (M) no final de determinado tempo, pela aplicação de um mesmo capital inicial C. Para isso, basta dividir ou multiplicar pela razão existente entre os períodos distintos.

22 Exemplo Seja um capital de $ 10.000,00 que pode ser aplicado alternativa- mente à taxa de 2% a.m. ou de 24% a.a. Supondo um prazo de aplicação de 2 anos, verificar se as taxas são equivalentes. Resolução: Aplicando o principal à taxa de 2% a.m. e pelo prazo de 2 anos, teremos o juro de: J 1 = 10.000,00 x 0,02 x 24 = $ 4.800,00 Aplicando o mesmo principal à taxa de 24% a.a. por 2 a- nos, teremos um juro igual a: J 2 = 10.000,00 x 0,24 x 2 = $ 4.800,00 Constatamos que o juro será gerado é igual nas duas hi- póteses e, nestas condições, concluímos que a taxa de 2% a.m. é equivalente à taxa de 24% a.a.

23 PERÍODOS NÃO-INTEIROS Quando o prazo de aplicação não é um número in- teiro de períodos a que se refere a taxa de juros, faz-se o seguinte: I) Calcula-se o juro correspondente à parte inteira de pe- ríodos. II) Calcula-se a taxa proporcional à fração de período que resta e o juro correspondente. O juro total é a soma do juro referente à parte in- teira com o juro da parte fracionária. EXEMPLO

24 Exemplo Qual o juro e qual o montante de um capital de $ 1.000,00 que é aplicado à taxa de juros simples de 12% ao semestre, pelo prazo de 5 anos e 9 meses ? Resolução: Sabemos que em 5 anos e 9 meses existem: 5 x 2 semestres = 10 semestres 9 meses = 1 semestre e 3 meses Ou seja, em 5 anos e 9 meses temos 11 semestres e 3 meses. a) Cálculo do juro: 1ª etapa: J 1 = 1.000,00 x 0,12 x 11 = $ 1.320,00

25 Exemplo 2ª etapa: Calculamos a taxa de juros proporcional ao trimestre: Portanto: J 2 = 1.000,00 x 0,06 x 1 = $ 60,00 Logo, o total de juros é: J = J 1 + J 2 J = 1.320,00 + 60,00 J = =$ 1.320,00  ====== CORRIGIR Observe-se que a solução se obtém mais rapidamente lembran- do-se que 3 meses é igual a 0,5 semestre e, nestas condições, 5 anos e 9 meses equivalem a 11,5 semestres:

26 Exemplo J = 1.000,00 x 0,12 x 11,5 = 1.380,00 b) Montante: O montante é: N = C + J N = 1.000,00 + 1.380,00 N = $ 2.380,00 Evidentemente poderíamos obter o mesmo resultado ra- ciocinando por etapas para obter o montante.

27 JURO EXATO Juro Exato é aquele em que: o período a que se refere a taxa está expresso em dias. é adotada a convenção do ano civil. EXEMPLO

28 Exemplo Qual é o juro exato de um capital de $ 10.000,00 que é aplicado por 40 dias e à taxa de 36% a.a. ? Resolução:

29 JURO COMERCIAL Juro comercial é aquele em que: o período a que se refere a taxa está expresso em dias. é adotada a convenção do ano comercial: EXEMPLO

30 Exemplo Calcular o juro comercial correspondente ao exercício do item an- terior. Resolução: Observe que, nas mesmas condições de aplicação, o juro comer- cial é maior que o juro exato.

31 DIAGRAMAS DE CAPITAL NO TEMPO Representam o fluxo de dinheiro no tempo; Representam o fluxo de caixa: entradas e saídas de di- nheiro; Graficamente: (PERÍODOS) Entradas (+) Saídas (-) 12 0 1000 500 2000

32 VALOR NOMINAL É quanto vale um compromisso na data do seu vencimento. Exemplo: Uma pessoa aplicou uma quantia hoje e vai resgatá-la por 20.000 daqui a 12 me- ses. 20.000 é o valor nominal da aplicação no mês 12. 20.000 120 (meses)

33 VALOR ATUAL É o valor que um compromisso tem em uma data que antecede ao seu vencimento. 612 0 c 20.000 ¨c¨ é o valor atual da aplicação de 20.000, na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual a taxa de juros. (meses)

34 VALOR FUTURO Corresponde ao valor do título em qualquer data posterior à que estamos considerando no momento. Exemplo: Uma pessoa possui 10.000 hoje. 6 0 10.000 c (meses) ¨c¨é o valor futuro de 10.000 na data 6. => Para calcular ¨c¨, precisamos saber qual é a taxa de juros. EXEMPLO

35 Exemplo 1) Vamos admitir que uma pessoa aplicou hoje uma certa quantia e que recebeu, pela aplicação, um título que irá valer $ 24.000,00 no mês 12. a) Suponhamos que o valor aplicado hoje tenha sido de $ 15.000,00. Então, podemos calcular a taxa de juros simples utilizada na aplica- ção, do seguinte modo: Resolução: M = C (1+in) M = 24.000,00 C = 15.000,00 i = ? n = 12 meses

36 Exemplo Nestas condições: 24.000 = 15.000 (1+ i.12) Dividindo os dois lados da igualdade por 15.000, a mesma não se altera: Logo: 1,6 = 1 + i.12 Somando-se -1 aos dois lados da igualdade, a mesma não se altera: 1,6 -1 = 1 -1 + i.12 0,6 = i.12

37 Exemplo E dividindo-se de novo os dois lados da igualdade por 12, te- mos: Logo: i = 0,05 Observe que, como a unidade de tempo utilizada foi o “mês”, a taxa também fica referida ao mesmo intervalo de tem- po. Ou seja: i = 0,05 ao mês Ou, o que dá no mesmo: i = 5% ao mês.

38 Exemplo b) Vamos admitir agora que não sabemos qual o valor aplicado, mas que conhecemos a taxa de aplicação, que é de 6% ao mês. Neste caso podemos calcular o valor atual hoje (na data 0), que correspon- de ao próprio valor aplicado: M = C (1 + i.n) Onde: M = 24.000,00 C = ? i = 0,06 (note que, para usar a fórmula deste modo, a taxa deve ser colocada na forma unitária) n = 12 meses Então: 24.000 = C (1 + 0,06 x 12) 24.000 = C (1 + 0,72) 24.000 = C.1,72

39 Exemplo Ou seja: C = 13.953,49 que é o valor atual na data 0, isto é, quanto a pessoa aplicou hoje. Logo:

40 Exemplo 2) Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $ 10.000,00. Qual será o valor futuro se a pessoa aplicar esta importância à taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses ? Temos: M = C (1 + i.n) Onde: M = ? C = 10.000,00 i = 0,05 n = 3 meses Logo: M = 10.000 (1 + 0,05 x 3) M = 10.000 (1,15) M = 11.500,00 O valor futuro será de $ 11.500,00 daqui a 3 meses.