Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações Prof. Marcio Eisencraft Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia.

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1 Aplicações da Teoria do Caos em Comunicações Prof. Marcio Eisencraft Universidade Presbiteriana Mackenzie Escola de Engenharia

2 2 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos atuais

3  Sinais caóticos: Limitados Determinísticos Aperiódicos Dependência sensível com as condições iniciais  Características levam a aplicações de sinais caóticos em diversas áreas tecnológicas  Telecomunicações desde 1990. Áreas: modulação, codificação, criptografia entre outras 3 1. Introdução

4 4 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos futuros

5 5 2.1 Caos - Histórico Séculos XVIII e XIX - Início do estudo das equações diferenciais. 1890 - Poincaré - Soluções muito mais complexas. Década de 1960 - Assunto retomado: – Smale, Palis, Peixoto - dinâmica simbólica - análise de órbitas caóticas. – Lorenz - equações diferenciais simples com dependência sensível às condições iniciais. Década de 1970 - Inúmero de trabalhos em dinâmica não-linear e aplicações nas mais diversas áreas. Década de 1980 - Computação de alta velocidade - possibilita “visualizar” resultados matemáticos abstratos - chama atenção de pesquisadores de inúmeras áreas. 1984 - Circuito eletrônico que gera sinais caóticos (Chua); 1990 - Possibilidade de sincronismo de sistemas caóticos Muitos trabalhos subseqüentes. Destacam-se: – Cuomo e Oppenheim (MIT); – Chua (Berkeley); – Ushio (Universidade de Osaka).

6 6 2.2 Equações de diferenças ns 1 (n)s 2 (n) 015 1210 2420 3840 41680 532160  Modelo populacional exponencial Exemplo: a = 2

7 7 Comportamento simples: a>1, exponencial crescente; 0<a<1, exponencial decrescente

8 8 2.2 Equações de diferenças Modelo logístico: população futura é proporcional à população atual mas limitada pelos recursos naturais a = 2,8 ns 1 (n)s 2 (n) 00.40000.8000 10.67200.4480 20.61720.6924 30.66160.5963 40.62690.6740 50.65490.6628 60.63280.6258 70.65060.6557  0.6429

9 9 Órbitas convergem para ponto fixo – população se estabiliza independentemente da condição iniciai

10 10 2.2 Equações de diferenças a = 3,3 ns 1 (n)s 2 (n) 0 0.15000.8000 10.42070.5280 20.80430.8224 30.51950.4820 40.82370.8239 50.47910.4787 60.82360.8235 70.47950.4796  0.8236 0.4794 0.8236 0.4794

11 11 Convergem para órbita periódica de período 2 – população varia entre dois valores

12 12 2.2 Equações de diferenças a = 3,5 ns 1 (n)s 2 (n) 00.15000.8000 10.44620.5600 20.86490.8624 30.40900.4153 40.84600.8499 50.45600.4465 60.86820.8650 70.40050.4088  0.8750 0.3828 0.8269 0.5009 0.8750 0.3828 0.8269 0.5009

13 13 Órbitas convergem para órbita periódica de período 4 – população varia entre quatro valores

14 14 2.2 Equações de diferenças a = 4 ns 1 (n)s 2 (n) 00.30000.3001 10.84000.8402 20.53760.5372 30.99430.9945 40.02250.0220 50.08790.0860 60.32080.3143 70.87160.8621 80.44760.4755 90.98900.9976  ??

15 15 Órbitas limitadas, determinísticas, aperiódicas, com sensibilidade às condições iniciais - caos

16 16 Mapa Logístico 2.2 Equações de diferenças

17 17 2.3 Equações diferenciais

18 18 Propriedades interessantes dos sinais caóticos para Telecomunicações: – Ocupam largas faixas de freqüências; – Função de autocovariância impulsiva; – Função de covariância cruzada com outras órbitas com valores muito baixos. Propriedades desejadas para modulações spread spectrum. 2.4 Propriedades interessantes

19 19 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos futuros

20 20 Diagrama de blocos

21 21 3.1 Sistema de Cuomo e Oppenheim x y x’ y’ z’ x’(t) m’(t) m(t) s(t) - x(t) z Transmissor Caótico Receptor Sincronizado Possui erro na recuperação mesmo em condições ideais. Tudo se passa como se a mensagem fosse um ruído para o sistema.

22 22 Exemplos - Sistema de Cuomo e Oppenheim

23 23 3.2 Sistema de Wu e Chua Sincronismo perfeito na ausência de ruído

24 24 Exemplos - Sistema de Wu e Chua

25 25 3.4 Influência da Limitação em Banda m(t) = sen(2  500t) - f a = 8kHz - passo de integração = 0,06 - a = -30dB

26 26 3.4 Influência da Limitação em Banda f ci = 0,02f cs = 0,7f ci = 0,02f cs = 0,7f ci = 0,02

27 Inserir filtros passa-banda nas malhas do transmissor e do receptor de forma a limitar o espectro do sinal caótico a ser transmitido. EISENCRAFT, M. ; GERKEN, M. Comunicação Utilizando Sinais Caóticos: Influência de Ruído e de Limitação em Banda. In: XVIII Simpósio Brasileiro de Telecomunicações, 2000, Gramado. Anais do Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Gramado : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2000. 27 Resolvendo o problema da limitação em banda

28 28 f cs = 0,7, f ss = 0,9f cs = 0,63 Resultados Obtidos f ci =0,02, f li =0,05f cs = 0,7, f ss = 0,9f cs = 0,63

29 29 Diminuindo os efeitos do ruído Sincronismo é extremamente sensível ao ruído no canal Direção a seguir: comunicações digitais não-coerentes Em sistemas não-coerentes não há necessidade de recuperar o sinal caótico no receptor

30 30 3.5 Modulações digitais CSK unipolar COOK CSK bipolar

31 31 Modulador DCSK Seqüência {1,1,0,1,0,0,1,0}

32 32 3.6 Simulações EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A. Modulações digitais usando portadoras caóticas: uma análise comparativa. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações. Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-6.

33 33 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos futuros

34 34 Sistema dinâmico Seqüência observada sendo r (n) AWGN com média nula Determinar o menor mse que um estimador sem viés de s 0 pode assumir dado s’ (n) e f (.) (CRLB). 4.1 CRLB - Formulação do problema EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A.. The Cramer-Rao bound for initial conditions estimation of chaotic orbits. Chaos, Solitons and Fractals, v. 38, p. 132-139, 2008.

35 35 3º exemplo: Mapa f Q (.)

36 36 MLE – Estimação da condição inicial – f I (.)

37 37 5.3 Estimação pelo algoritmo de Viterbi Idéia básica: interpretar seqüências caóticas como um processo de Markov que em cada instante assume um de N S estados possíveis Domínio U segmentado em N S intervalos: U 1,..., U Ns Estado q(n) = j se Dedieu e Kisel (1999)  partição uniforme – Mapas com densidade uniforme Proposta para mapas mais genéricos: utilizar partição não-uniforme

38 38 Simulações - mapa quadrático f Q (.) EISENCRAFT, M. ; BACCALÁ, L. A.. Estimating chaotic orbits generated by maps with nonuniform invariant density. In: 9th Experimental Chaos Conference, 2006, São José dos Campos. The 9th Experimental Chaos Conference - Sessions and Abstracts, 2006. p. 67-68.

39 39 6.4 Simulações computacionais (1/2)

40 40 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos futuros

41 41 5.1 Caracterização Larga faixa de freqüências Objetivos: Verificar se caos implica banda larga Determinar a banda essencial de sinais caóticos Gerar sinais caóticos com banda pré-definida

42 42 5.2 FAMÍLIA DE MAPAS TENDA INCLINADA Parâmetro  determina o valor da abscissa em que se localiza o pico da tenda em que

43 43 5.3 Densidade Espectral de Potência Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos Distribuição da potência em função da freqüência KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M.. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105-108. KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M.. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-5.

44 44 Densidade Espectral de Potência Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos Quanto maior |  |, mais concentrado é o espectro dos sinais resultantes Sinal de  define se órbitas geradas têm suas potências concentradas nas altas ou baixas freqüências Simetria com relação a α = 0.5

45 45 Densidade Espectral de Potência Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos

46 46 5.5 BANDA ESSENCIAL Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos Um método para quantificar os resultados obtidos é por meio da banda essencial A Banda Essencial B é definida como o comprimento do intervalo de freqüência em que p = 95% da potência do sinal está concentrada (LATHI, 1998)

47 47 5.5 BANDA ESSENCIAL Universidade Presbiteriana Mackenzie - Escola de Engenharia Caracterização Espectral de Sinais Caóticos: Resultados Analíticos |  |  0: processo ruído branco uniforme |  |  1: banda essencial extremamente estreita

48 48 5.6 Espectro - Conclusões Principal motivação: poucos estudos sobre as características espectrais de sinais caóticos - Verificar se caos implica banda larga Caos não é sinônimo de banda larga e pode-se obter sinais com a potência concentrada nas baixas ou altas freqüências de forma esquematizada - Determinar a banda essencial de sinais caóticos Pode-se gerar sinais com banda essencial definida. A banda essencial está fortemente relacionada ao parâmetro da família e ao expoente de Lyapunov

49 49 - Gerar sinais caóticos com banda pré-definida É possível escolher uma banda essencial e encontrar um mapa que gere sinais que ocupem essa largura de banda desejada 5.6 CONCLUSÕES Aplicação em sistemas de comunicação - Modulação digital - Multiplexação KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M.. On the power spectral density of chaotic signals generated by skew tent maps. In: 8-th International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2007), 2007, Iasi. ISSCS 2007 International Symposium on Signals, Circuits and Systems - PROCEEDINGS, 2007. v. 1. p. 105-108. KATO, D. M. ; EISENCRAFT, M.. Caracterização espectral de sinais caóticos. In: XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07), 2007, Recife. Anais do XXV Simpósio Brasileiro de Telecomunicações (SBrT'07). Rio de Janeiro : Sociedade Brasileira de Telecomunicações, 2007. v. 1. p. 1-5.

50 50 Sumário da apresentação 1.Introdução 2.Sinais caóticos 3.Modulação usando portadoras caóticas 4.Estimação de sinais caóticos 5.Espectro de sinais caóticos 6.Pesquisa no Mackenzie e trabalhos futuros

51 Pós-graduação em Engenharia Elétrica Grupo de Pesquisa Sistemas de comunicação digital – CNPq Linhas de Pesquisa: Processamento Digital de Sinais Sistemas de comunicação digital Sistemas de comunicação utilizando sinais caóticos  Professores do Mackenzie envolvidos: Clodoaldo Aparecido de Moraes Lima Luiz Henrique Alves Monteiro Marcio Eisencraft 51 6.1 Pesquisa no Mackenzie

52 52 Danilo Temerloglou de Abreu. Estimação de sinais caóticos utilizando o algoritmo de Viterbi. 2007. Igor Shigueo Kawasaki Nakabayashi. Densidade espectral de potência de sinais caóticos. 2007. Dennis Lozano Toufen. Comunicação através de dinâmica simbólica e sinais caóticos. 2004. Daniel Lopes Hatae. Sistema de comunicação analógico usando o caos. 2003. Julio de Almeida Serra. Aplicação em telecomunicações de sinais caóticos. 2002. 6.1 Pesquisa no Mackenzie Trabalho de conclusão de curso de graduação Dissertação de mestrado Daniela Mitie Kato. Caracterização espectral de sinais caóticos. 2007. Fábio Siqueira Netto. Geradores de seqüências pseudo-aleatórias usando caos em sistemas de espalhamento espectral (em andamento).

53 53 A. Estudar o comportamento espectral de outros mapas unidimensionais conhecidos ou mais utilizados B. Expandir os estudos para mapas multidimensionais C. Estudar novas aplicações de sistemas de modulação empregando essas novas características 6.2 Trabalhos em andamento

54 54 D.Análise da complexidade computacional dos sistemas apresentados E.Uso de modelos de canais mais complicados F.Aplicação de conceitos de caos na análise de séries temporais (quasar – CRAAM) G.Multiplexação – sistemas multiusuários H.Aplicações em seqüências para espalhamento espectral I.Aplicações em ótica 6.2 Trabalhos em andamento

55 55 ABARBANEL, H. D. I. Analysis of observed chaotic data, Nerw York: Springer Verlag, 1996. ALLIGOOD, K. T.; SAUER, T. D.; YORKE, J. A. Chaos - an introduction to dynamical systems, New York: Springer, 1996. DEVANEY, R. L. An introduction to chaotic dynamical systems, 2nd edition, Boulder: Westview Press, 2003. FERRARA, N. F.; PRADO, C. P. C. Caos - uma introdução, São Paulo: Edgard Blücher, 1994. KENNEDY, M. P.; ROVATTI, R.; SETTI, G. Chaotic electronics in telecommunications, Boca Raton: CRC Press, 2000. LAU, F. C. M.; TSE, C. K. Chaos-based digital communication systems, Berlim: Springer, 2003. MONTEIRO, L. H. A. Sistemas dinâmicos, São Paulo: Livraria da Física, 2002. STROGATZ, S. H. Nonlinear dynamics and chaos with applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering, Reading: Addison-Wesley, 1998. 7.4 Referências básicas

56 56 Fim marcioft@mackenzie.br meusite.mackenzie.br/marcioft marcioft@mackenzie.br