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PublicouCaio Mascarenhas de Escobar Alterado mais de 8 anos atrás
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Teoria da Inversão I João Batista Corrêa da Silva
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OBJETIVO DA GEOFÍSICA Obter informação sobre a subsuperfície campos: elétrico eletromagnétic o magnético gravimétrico. transmissão do calor. perturbações elásticas. radiação nuclear. indiretamente
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x z 138856
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+ + + + + + + + + + + + x z
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+ + + + + + + + + + + + x z ?
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x z + + + + + + + + + + + +
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Problema mal-posto: Desbalanceamento Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
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Num problema mal-posto a solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência... Unicidade Estabilidade
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Inexistência N 1 e N 2 são números naturais. Encontrar N 1 e N 2, tal que: N 1 + N 2 = 8,3
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Não unicidade N 1 e N 2 são números naturais. Encontrar N 1 e N 2, tal que N 1 + N 2 = 10
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Instabilidade Observar uma componente muito pequena de um fenômeno ou propriedade 0,000001 x = y 0,000001 x = y + x c = y / 0,000001 x = y / 0,000001 + / 0,000001 x = x c + 1 00000
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Problemas mal-postos ocorrem em todas as áreas do conhecimento
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Arqueologia
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Geologia - Não unicidade
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Geologia Introdução de informação a priori
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Marcas de chuva Concavidade indica a parte superior
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Geologia - Não unicidade
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d = 1
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d = 3
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051015 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Anomalia gravimétrica (mGal) 0 2 4 6 Profundidade (m) 051015 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0 2 4 6 051015 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Posição x (m) 051015051015051015 0 2 4 6 d = 5
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Matemática Sejam: a, b, c elementos S uma afirmação { 1) Se b = S ( a ) => a S ( b ) 2) a,b,c, Se b = S ( a ) e c = S ( b ) => c = S (a ) Axiomas:
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c Matemática Modelos: { A { B os elementos são conjuntos.. S “está contido em” b a a b c S “está à direita de”. os elementos a, b, c são pontos na reta.
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Matemática Distinção entre os modelos A e B: Introduzir o axioma: para todo a, b a | b S(a) e a S(b) Modelo A não satisfaz o axioma Modelo B: conjuntos disjuntos a b a
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Em que modelos os axiomas 2 e 3 são verdadeiros?
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Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
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x z + + + + + + + + + + + +
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O campo magnético é sensível ao momento de dipolo total (m VV ) Magnetometria: v Gravimetria: O campo gravimétrico é sensível à massa ( VV )
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Métodos eletromagnéticos: e3e3 e2e2 e1e1 22 11 As medidas eletromagnéticas são sensíveis à condutância ( VV )
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Métodos sísmicos: e1e1 e2e2 e3e3 3=3= 1 3 v 2=2= 1 2 v 1=1= 1 1 v O tempo de trânsito é dado por 2. ee
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A inversão de dados geofísicos é um problema mal-posto A solução não obedece a pelo menos uma das condições: Existência... Unicidade Estabilidade
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Problema mal-posto: Desbalanceamento informação desejada informação contida nos dados
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Introduzir informação a priori Solução : Reduzir a demanda de informação Informação demandada pelo intérprete Informação contida nos dados
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N 1 + N 2 = 10 Reduzir a demanda de informação É possível determinar a média de ambos os números (5) Introduzir informação a priori: Não é necessário conhecer o valor de um dos números para determinar o outro É suficiente conhecer algumas características dos números
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N 1 + N 2 = 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1 N 1 e N 2 estão o mais próximo possível um do outro N 1 e N 2 são números naturais
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N 1 + N 2 = 10 N 1 e N 2 são números naturais N 1 N 2 Um e somente um dos números é, simultaneamente, ímpar e primo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 8 7 6 5 4 3 2 1
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Na Interpretação Geofísica: A informação a priori deve provir do conhecimento geológico Toda e qualquer informação relevante deve ser usada
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Problema geofísico inverso mal-posto Problema geofísico inverso bem-posto Informação: Estabilizadores matemáticos
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Problema geofísico inverso mal-posto Problema geofísico inverso bem-posto
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As condições matemáticas que levam a Informação Geológica EstabilidadeUnicidade Podem ser interpretadas em termos de
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Vínculos passíveis de serem introduzidas no problema geofísico inverso Desigualdade Igualdade absoluta Igualdade relativa Igualdade relativa ponderada Compacidade Mínimo momento de inércia Convexidade
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Modo d Os parâmetros a serem estimados são as propriedades físicas de cada célula d d... 12 x z
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Modo h Os parâmetros a serem estimados são as profundidades da fonte em cada célula y x z h j 1 2... j
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Desigualdade O valor de cada parâmetro está situado entre limites rígidos h i h min i h max i z x h min h max
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Igualdade absoluta Valores absolutos de alguns parâmetros são conhecidos x z
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x z Corpo compacto
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x z Corpo não compacto
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Compacidade As fontes anômalas estão concentradas no entorno do centro de massa x z centro de massa *
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x z F’ F Mínimo momento de inércia
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x z F’ F Mínimo momento de inércia
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x z
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x z Petróleo Igualdade relativa (Suavidade)
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Igualdade relativa Valores de parâmetros adjacentes devem estar o mais próximo possível x z i h h i +1 h i +2... h i +1 h i h i +2
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x z F’ F Igualdade relativa ponderada
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x z Petróleo F’ F Igualdade relativa ponderada
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Valores de alguns grupos de parâmetros adjacentes devem estar o mais próximo possível h i +1 h i h i +2 z x h i h i +1... h i +2
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x z h1h1 h2h2 h3h3 sal calcáreo - denso + denso Convexidade
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x z
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x z
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x z
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Retas ao longo de qualquer direção cortam o corpo em apenas 2 pontos
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Convexidade DirecionalGlobal Retas ao longo de uma direção cortam o corpo em apenas 2 pontos
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Convexidade DirecionalGlobal Retas ao longo de qualquer direção cortam o corpo em apenas 2 pontos Retas ao longo de uma direção cortam o corpo em apenas 2 pontos
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A resolução de um problema inverso consiste de três etapas: Formulação do problema Construção da solução Avaliação da solução Ilustração através de um problema sintético
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Problema geológico Simplificações Soluções Quantificar a instabilidade das soluções Relação funcionalProblema matemático Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Modelo Interpretativo Soluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível Soluções Escolher o estabilizador matemático em consonância com a informação geológica disponível
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Soleiras Problema geológico: Localizar e delinear soleiras numa bacia sedimentar Simplificações: 1)Não há contraste lateral ou vertical entre os sedimentos 2) Não há contraste entre os sedimentos e o embasamento ou o efeito correspondente foi previamente removido
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Profundidade (km) x ( km ) 02468 0.0 0.5 1.0 1.5 10 46802 1 2 3 4 mGal 10 x ( km ) Anomalia gravimétrica Soleiras Modelo interpretativo
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0.0 0.5 1.0 1.5 0246810 Profundidade (km) x ( km ) Fontes verdadeiras Sem estabilização
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Vínculo de positividade Fontes verdadeiras 0 246810 0.0 0.5 1.0 1.5 Profundidade (km) x ( km )
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Fontes verdadeiras 0 246810 0.0 0.5 1.0 1.5 Profundidade (km) x ( km ) Vínculo de igualdade absoluta (Ridge Regression)
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64 0 28 10 0.0 0.5 1.0 1.5 Profundidade (km) x ( km ) Vínculo de igualdade relativa (Suavidade) Fontes verdadeiras
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Mínimo momento de inércia E’ E Density contrast (g/cm3) 0.30 0.24 0.18 0.12 0.06 0.00 < 0.00 > 0.30 02468 10 x ( km ) 0.0 1.0 1.5 2.0 2.5 Profundidade (km) Fontes verdadeiras
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Mínimo momento de inércia Desigualdade (0 0.3) Compacidade Fontes verdadeiras E E’ Density contrast (g/cm3) 0.30 0.24 0.18 0.12 0.06 0.00 x ( km ) 1002468 0.0 1.0 1.5 2.0 Profundidade (km)
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Resumo: O problema geofísico inverso é mal-posto Como consequência, a solução: Ou não existe... Ou não é única Ou não é estável porque os geofísicos tentam extrair mais informação que aquela contida nos dados O problema geofísico inverso é mal-posto
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Como proceder diante de um problema mal-posto? Opções: Desistir Melhorar o desenho de experimento Reduzir a demanda de informação Introduzir informação a priori Objetivos:
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Problema geofísico inverso mal-posto Problema geofísico inverso bem-posto Objetivos:
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Associar a alguns ambientes geológicos os estabilizadores matemáticos mais adequados
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F I M
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