PC - Semana61 MODELANDO SISTEMAS LTI NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA.

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1 PC - Semana61 MODELANDO SISTEMAS LTI NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA.

2 PC - Semana62 MODELANDO SISTEMAS LTI NO DOMINIO DA FREQUÊNCIA Podemos trabalhar com a modelagem de qualquer tamanho de sistema LTI através de equações diferencias. Porem, o uso desta técnica torna os cálculos complicados e trabalhosos para equações diferencias de alta ordem ou modelos de estado de muitas variáveis. Por isso não deduzimos ainda expressões para o sinal de saída de sistemas LTI utilizando equações diferenciais.

3 PC - Semana63 MODELANDO SISTEMAS LTI NO DOMINIO DA FREQUÊNCIA A caracterização de um sinal pelas freqüências das oscilações separadas tem vantagens, não somente para músicos, mas também por razões técnicas. Muitos sistemas são conhecidos por produzir um sinal de saída senoidal se um sinal de entrada senoidal é introduzido. A fase e a amplitude do sinal de saída pode ter mudado em relação à entrada, mas a freqüência permanece a mesma. Veremos que os sistemas LTI possuem exatamente esta propriedade.

4 PC - Semana64 MODELANDO SISTEMAS LTI NO DOMINIO DA FREQUÊNCIA Em geral, o efeito sobre a fase e a amplitude são diferentes para cada freqüência, e o conhecimento desta efeito para todas as freqüências ajuda a modelar sistemas. Este tipo de modelo é chamado modelo no domínio da freqüência e é freqüentemente mais simples de tratar que um modelo no domínio do tempo. O Sistema é LTI no domínio da frequência.

5 PC - Semana65 Freqüência Complexa O que é uma Freqüência Complexa? A tradicional definição é derivada dos valores reais de um sinal y(t) senoidal. Tal sinal é caracterizado por uma amplitude X e o numero de oscilações por unidade de tempo f, e pela passagem do valor zero em relação ao instante t = 0. A freqüência f é um numero real. Junto com a fase real φ ele descreve exatamente a posição de todos os cruzamentos de zero:

6 PC - Semana66 Freqüência Complexa Estendendo o conceito para um valor complexo, temos: Onde (3.1) (3.2)

7 PC - Semana67 Freqüência Complexa Em contraste à eq. 3.1, somente o tempo t é real. A amplitude X e a freqüência s são complexos. A figura seguinte mostra um exemplo de sinal exponencial complexo com :

8 PC - Semana68 Exemplo de sinal exponencial complexo Para t=0, x(t)=X Para t>0, x(t) é definido pela parte real e imaginaria de s. 

9 PC - Semana69 Exemplo de sinal exponencial complexo Ele é definido para todos os pontos no tempo, mas é somente mostrado aqui para t  0. Para t = 0, x(t) pega o valor da amplitude complexa X. E para t  0, x(t) é definido pela parte real (σ) e imaginária (ω) de s. A parte real é conhecida como o modulo de x(t),

10 PC - Semana610 Exemplo de sinal exponencial complexo Enquanto a parte imaginária corresponde à freqüência angular ω=2  f, e indica o quão rapidamente o sinal complexo da figura anterior orbita em torno do eixo do tempo. O relacionamento com oscilações reais pode ser visto pela separação das partes real e imaginária de x(t), como na próxima figura.

11 PC - Semana611 Exemplo de sinal exponencial complexo

12 PC - Semana612 Frequência Complexa: Exemplo de Sinais Como exemplo do uso de freqüências complexas, nós apresentamos alguns sinais reais por função exponencial complexa na tabela do slide seguinte.

13 PC - Semana613 Sinais de Exemplo. Sen(  )=1/2j x (e j  - e – j  ) e cos(  )=1/2j x (e j  + e –j  )

14 PC - Semana614 Frequência Complexa : Exemplo de sinais Para X  R e para valores reais de s, x(t) é real. No caso mais simples, se s é igual a zero e X=1, então x(t) é igual a 1 e o sinal torna-se constante. Um sinal exponencial real é obtido para outros valores reais de s, por exemplo, x(t) = e -3t para s=-3. Os sinais senoidais com valores reais podem ser representados superpondo-se duas funções exponenciais complexas com freqüências puramente imaginarias s=jω e s=-jω. Superpondo funções exponenciais com σ  0 leva ao decaimento (se σ < 0) ou crescimento (se σ  0 ) de oscilações senoidais.

15 PC - Semana615 Plano de Frequência Complexa A vantagem da freqüência complexa é que muitos tipos de sinais podem ser expressos por um único parâmetro de freqüência complexa. Para dar uma idéia, às formas diferentes de função exponencial complexa podem ser designados os valores correspondentes num plano de números Gaussianos. Ele é chamado de freqüências complexas ou plano- s. O slide seguinte mostra as funções exponenciais complexas para posições diferentes no plano de freqüências complexa.

16 PC - Semana616 Plano de Freqüência Complexa.

17 PC - Semana617 Plano de Frequência Complexa O distanciamento do eixo real torna a oscilação mais rápida. Olhando na direção do eixo do tempo, na metade do plano positivo acima, onde é positivo, a oscilação complexa segue no sentido horário e na parte de baixo ela segue no sentido anti-horário. No eixo real, o sinal não oscila. Formas de sinal na metade direita do plano crescem mais rapidamente se elas estão mais afastadas do eixo imaginário. Enquanto formas de sinal na metade esquerda do plano decaem.

18 PC - Semana618 O que são Eigenfunctions? Em geral não existe grande similaridade entre o comportamento no tempo entre sinais de entrada e saída de um sistema. Existem sistemas, por outro lado, que permite a certos sinais de entrada atravessarem o sistema sem sofrer mudança em seu comportamento no tempo. Por exemplo: redes elétricas constituídas somente de resistências, capacitores e indutores. Sua resposta a um sinal senoidal é usualmente (para componentes lineares) outro sinal senoidal, com somente a amplitude e a fase sendo diferentes.

19 PC - Semana619 O que são Eigenfunctions? Funções seno e cosseno podem ser colocadas juntas em funções exponenciais. E então as mudanças de amplitude e fase podem ser expressas por um único fator: a amplitude complexa. O sinal de saída pode então ser obtido do sinal de entrada pela multiplicação de um fator complexo. Um fenômeno similar é conhecido da álgebra linear: para certos vetores x, o produto de x com a matriz A é igual a um múltiplo do vetor x: Ax= x. Então x é chamado eigenvector e é chamado eigenvalue. Nós usamos esta notação também para sinais que passam através de um sistema sem mudar sua forma.

20 PC - Semana620 Eigen Functions. Um sinal e(t) que quando entra num sistema, produz na saída a resposta y(t)= e(t) com a constante complexa, é chamado a eigenfunction deste sistema. Um sinal e(t) que quando entra num sistema, produz na saída a resposta y(t)= e(t) com a constante complexa, é chamado a eigenfunction deste sistema.

21 PC - Semana621 Trabalhando um sistema com eigenfunction a(t)

22 PC - Semana622 Eigenfunctions de sistemas LTI. Quando um sinal senoidal atravessa redes lineares sem mudar sua forma, e pode também ser representado por funções exponenciais complexas. Quando um sinal senoidal atravessa redes lineares sem mudar sua forma, e pode também ser representado por funções exponenciais complexas. Podemos demonstrar que. Podemos demonstrar que. Para provar nossa teoria começamos com um sinal de entrada da forma Para provar nossa teoria começamos com um sinal de entrada da forma

23 PC - Semana623 Eigenfunctions de sistemas LTI. E procuramos a resposta correspondente do sistema y(t) que podemos escrever como uma função do sinal de entrada: y(t) = S{x(t)} A seguir nós usamos as propriedades de sistemas LTI: a não variação de tempo e a linearidade. Nós começamos com a resposta de um sinal de entrada mudado no tempo

24 PC - Semana624 E por causa da invariança no tempo nós obtemos: E por causa da invariança no tempo nós obtemos: O fator e -s  O fator e -s  não depende do tempo. Por causa da linearidade segue ainda que: Agora embora nós não tenhamos y(t), nós temos uma equação de diferença para y(t) que é: Agora embora nós não tenhamos y(t), nós temos uma equação de diferença para y(t) que é:.

25 PC - Semana625 Então temos que é uma eigenfunction do sistema LTI descrita por s. Então temos que é uma eigenfunction do sistema LTI descrita por s. A constante identifica o comportamento de s. A constante identifica o comportamento de s. Como linearidade e invariância ao tempo foram somente as pré-condições, nós não podemos afirmar mais nada sobre. Como linearidade e invariância ao tempo foram somente as pré-condições, nós não podemos afirmar mais nada sobre. Em geral, depende da freqüência complexa s. Em geral, depende da freqüência complexa s. Nós escrevemos, portanto, =H(s). Nós escrevemos, portanto, =H(s). E chamamos H(s) a função do sistema ou função de transferência, pois ela descreve o sistema e suas propriedades de transferência da entrada para a saída. E chamamos H(s) a função do sistema ou função de transferência, pois ela descreve o sistema e suas propriedades de transferência da entrada para a saída. A conexão com o modelo do sistema no domínio do tempo será vista adiante. A conexão com o modelo do sistema no domínio do tempo será vista adiante.

26 PC - Semana626 Relação entre eigenfunction e FT de um sistema LTI.