Sinais e Sistemas – Capítulo 7

Apresentação em tema: "Sinais e Sistemas – Capítulo 7"— Transcrição da apresentação:

1 Sinais e Sistemas – Capítulo 7
Aula 1 Sinais e Sistemas – Capítulo 7 Simon Haykin Aula 19

2 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z
Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z. Generalizaremos agora a representação senoidal complexa de um sinal de tempo discreto dada pela DTFT para uma representação em termos de sinais exponenciais complexos, a qual é denominada transformada Z. Aula 19

3 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z
A DTFT é aplicável somente a sistemas estáveis, enquanto que a transformada Z se aplica a sistemas em geral, seja ele estável ou não. Várias propriedades da DTFT se aplicam também à transformada Z, uma vez que esta é a generalização da DTFT. Aula 19

4 Representação de Sinais usando Exponenciais Complexas de Tempo Discreto: A Transformada Z
Os papéis principais da transformada Z na prática da engenharia são: O estudo das características de sistemas; Derivação de estruturas computacionais para implementar sistemas de tempo discreto em computadores; Resolver equações de diferenças sujeitas a condições iniciais. Aula 19

5 A Transformada Z Admitamos que seja um número complexo com módulo r e fase Ω. Logo, o sinal x[n]=zn é um sinal complexo, de modo que ou Observe que x[n] é uma senóide complexa no caso particular em que r=1. Aula 19

6 A Transformada Z Aplicando x[n] a um sistema LTI cuja resposta ao impulso é h[n], resulta que Como x[n]=zn, então Aula 19

7 A Transformada Z Definindo a função de transferência de forma que
Expressando H(z) na forma polar, isto é Aula 19

8 A Transformada Z então Substituindo z=rejΩ, obtemos
Comparando y[n] com Vemos que o sistema multiplica a amplitude da entrada por e desloca a fase dos componentes senoidais de Aula 19

9 A Transformada Z Substituindo agora z=rejΩ em Obtém-se
Observe que corresponde à DTFT de um sinal , de modo que a DTFT inversa resulta em

10 A Transformada Z Multiplicando a última expressão por rn, obtém-se
Fazendo , então , de modo que Aula 19

11 A Transformada Z Analisando agora os limites de integração, percebe-se que quando Ω vai de –π a π, z percorre um círculo de raio r no sentido anti-horário. Dessa forma, escrevemos onde Aula 19

12 A Transformada Z Logo, obtemos H(z) a partir de h[n] usando
e obtemos h[n] a partir de H(z) usando Dizemos que a função de transferência H(z) é a transformada Z da resposta ao impulso h[n]. Aula 19

13 A Transformada Z De maneira geral, a transformada z de um sinal arbitrário x[n] é e a transformada z inversa é Expressamos a relação como Aula 19

14 A Transformada Z A transformada z existe quando
A faixa r para a qual esta condição é satisfeita é chamada de região de convergência Lembre-se que a existência da DTFT exige a somabilidade absoluta de x[n]. Aula 19

15 A Transformada Z Para valores restritos de r, asseguramos que
é absolutamente somável, ainda que x[n] não seja. Considere, por exemplo x[n]=αnu[n]. A DTFT de x[n] não existirá para |α|>1. Entretanto, a transformada z de x[n] existirá desde que r>α, pois r-n decrescerá mais rapidamente do que αn. Aula 19

16 A Transformada Z Aula 19

17 A Transformada Z O Plano Z Aula 19

18 A Transformada Z Exemplo 1: Determine a transformada Z do sinal
Use a transformada Z para determinar a DTFT de x[n]. Aula 19

19 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter
Obtemos a DTFT a partir de X[z] substituindo z=ejΩ. Aula 19

20 A Transformada Z Forma usual da transformada Z ou
Os coeficientes cks são raízes do numerador, sendo denominados zeros de X(z). Os coeficiente dks são raízes do denominador, sendo denominados de pólos de X(z). Aula 19

21 A Transformada Z Exemplo 2: Determine a transformada Z do sinal
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z. Aula 19

22 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter
Esta é uma série geométrica de tamanho infinito na razão α/z. A soma converge desde que |α/z|<1 ou |z|>|α|. Consequentemente, Aula 19

23 A Transformada Z Portanto, há um pólo em z=α e um zero em z=0. Aula 19

24 A Transformada Z Exemplo 3: Determine a transformada Z do sinal
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de Y(z) no plano Z. Aula 19

25 A Transformada Z Solução: Substitua y[n] em para obter
A soma converge desde que |z/α|<1 ou |z|<|α|. Consequentemente, Aula 19

26 A Transformada Z Aula 19

27 A Transformada Z Exemplo 4: Determine a transformada Z do sinal
Descreva a região de convergência e as localizações dos pólos e zeros de X(z) no plano Z. Aula 19

28 A Transformada Z Solução: Substitua x[n] em para obter
A soma converge desde que |z|>1/2 e |z|<1. Aula 19

29 A Transformada Z Consequentemente, Aula 19