Sistemas de equações lineares de 1 a ordem Sistemas de equações diferenciais simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis.

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1 Sistemas de equações lineares de 1 a ordem Sistemas de equações diferenciais simultâneas aparecem naturalmente em problemas envolvendo diversas variáveis dependentes, cada uma das quais sendo uma função de uma única variável dependente. A variável independente será denotada por t e as dependentes por x 1, x 2,.... Serão vistos os sistemas de duas ou mais equações diferenciais que sempre podem ser escritas como equações de primeira ordem. Para transformar uma equação arbitrária de ordem n y (n) = F(t, y, y’, y”,..., y (n-1) ) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x 1, x 2,..., x n por x 1 = y, x 2 = y’,..., x n = y (n-1).

2 Para transformar uma equação arbitrária de ordem n y (n) = F (t, y’, y”,..., y (n-1) ) em um sistema de equações de primeira ordem, definimos as variáveis x 1, x 2,..., x n por x 1 = y, x 2 = y’,..., x n = y (n-1). Segue imediatamente que, x’ 1 = x 2, x’ 2 = x 3,..., x’ n-1 = x n, ou seja x’ n = F (t, x 1, x 2,,..., x n ). O caso mais geral, temos: x’ 1 = F 1 (t, x 1, x 2,,..., x n ) x’ 2 = F 2 (t, x 1, x 2,,..., x n )....................................... x’ n = F n (t, x 1, x 2,,..., x n ).

3 Dizemos que este sistema tem uma solução em I :  < t <  Se existe um conjunto de n equações x 1 =  1 (t), x 2 =  2 (t),..., x n =  n (t) diferenciáveis em todo I e que satisfazem o sistema dado e podendo ainda constar as condições iniciais da forma x 1 (t 0 ) = x 1 0, x 2 (t 0 ) = x 2 0,..., x n (t 0 ) = x n 0, onde t o é um valor especificado de t em I e x 1 0, x 2 0,..., x n 0 são números dados. Se as funções F 1, F 2,...,F n são lineares das variáveis dependentes x 1, x 2,..., x n, então o sistema é dito linear; caso contrário, é não-linear. Assim, o sistema mais geral de n equações lineares tem a forma

4 x 1 ’ = p 11 (t)x 1 + p 12 (t)x 2 +... + p 1n (t)x n + g 1 (t) x 2 ’ = p 21 (t)x 1 + p 22 (t)x 2 +... + p 2n (t)x n + g 2 (t)............................................................................... x n ’ = p n1 (t)x 1 + p n2 (t)x 2 +... + p nn (t)x n + g n (t) Se todas as g 1, g 2,..., g n forem identicamente nulas em I, então o sistema é dito homogêneo; caso contrário, ele é não- homogêneo. Teorema: Se as funções p 11, p 12,... p nn, g 1, g 2,..., g n são contínuas em um intervalo aberto I :  < t < , então existe uma única solução x 1 =  1 (t), x 2 =  2 (t),..., x n =  n (t), do sistema acima que também satisfaz as condições iniciais onde t 0 é qualquer ponto em I e x 1 0, x 2 0,..., x n 0 são números arbitrários. Além disso, a solução existe em todo o intervalo I.

5 Exemplo: Transforme a equação dada em um sistema de equações de primeira ordem u” + 0,5u’ + 2u = 0. Solução: x 1 = u, x 2 = u’. Logo x 1 ’ = x 2 e como u” = x 2 ’, obtemos x 2 ’ + 0,5x 2 + 2x 1 = 0 ou seja x 1 ’ = x 2 x 2 ’ = -2x 1 – 0,5x 2

6 Autovalores e autovetores: Sejam os sistemas Ax = y (1) e Ax = x (2), fator de proporcionalidade, onde y = x. Assim podemos escrever (A - I)x = 0. Esta equação possui soluções não nulas se e somente se for escolhido de modo que det(A - I) = 0. Os valores de são chamados autovalores de A e as soluções não nulas das equações (1) e (2) obtidas usando um tal valor de são chamadas autovetores. Exemplo: Determine todos os autovalores e autovetores de

7 Solução: Como (A - I)x = 0, temos Ou seja, (5 - ) (1 - ) + 3 = 0 e consequentemente 1 = 2 e 2 = 4 são os autovalores procurados. Determinando os autovetores. Para 1 = 2

8 Exemplo: Determine a solução do sistema A solução geral deste sistema homogêneo é e a matriz fundamental x =  (t)u(t), onde u(t) satisfaz  (t)u’(t) = g(t), ou

9 Obtendo u 1 ’ = e 2t – (3/2)te 3t e u 2 ’ = 1 + (3/2)te t Logo u 1 (t) = (1/2) e 2t – (1/2)te 3t + (1/6) e 3t + c 1 u 2 (t) = t + (3/2)te t - (3/2) e t + c 2 e x =  (t)u(t)

10 Se x 1 = c, como x 2 = 3x 1, temos x 2 = 3c. Logo Onde x (1) é um autovetor de A. Similarmente, para 2 = 4, temos Logo, x (2) um autovetor de A.

11 Teorema: Se as funções vetoriais x (1) e x (2) são soluções do sistema x’ = P(t)x, g(t) = 0, então a combinação linear c 1 x (1) + c 2 x (2) também é solução quaisquer que sejam as constantes c 1 e c 2.. Como consequencia deste teorema temos que, se x (1), x (2),..., x (k) são soluções de x’ = P(t)x então x = c 1 x (1) (t) + c 2 x (2) (t) +... + c k x (k) também é solução quaisquer sejam as constantes c 1, c 2,...,c k

12 Sistemas lineares homogêneo com coeficientes constantes Consideremos o sistema na forma x’ = Ax, A é uma matriz 1 x n (1). Se n =1, o sistema fica dx / dt = ax cuja solução é x = ce at. Para determinar a solução de x’ = Ax, procedemos como para equação da segunda ordem, isto é, procuramos soluções da forma x =  e rt onde r é um vetor constante e  deve ser determinado. Assim, temos r  e rt = A  e rt ou A  =  r. Logo, (A – rI)  = 0, onde I é a matriz identidade n x n. Isto significa dizer que para resolver o sistema de equações diferenciais (1) precisamos resolver os sistema algébrico (A – rI)  = 0 que consiste em encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A.

13 Exemplo: Considere o sistema temos Logo, para r 1 = 3, temos - 2  1 +  2 = 0   2 = 2  1 donde

14 Para r 2 = -1, temos 2  1 +  2 = 0   2 = - 2  1 donde Então x = c 1 x (1) (t) + c 2 x (2) ( (t) Ou c 1 e c 2 constantes.