Subespaço, base e dimensão

Apresentação em tema: "Subespaço, base e dimensão"— Transcrição da apresentação:

1 Subespaço, base e dimensão
Sejam uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo (a) Se e pertencem a , então também pertencem a (b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .

2 O espaço solução do é um subespaço de .
Todo subespaço é espaço solução de Exemplos páginas

3 Definição (Geração de um Subespaço)
Seja um subespaço de , dizemos que: Os vetores pertencem a , geram ; ou é um conjunto de geradores de ; ou é o subespaço gerado por ; Se qualquer vetor de é combinação linear de

4 Exemplo 1: Sejam e vetores , tais que é um conjunto de geradores de , qualquer é combinação linear de e p/ e

5 p/ p/

6 p/ p/

7 p/ p/

8 P/ p/

9 Teorema I: Seja subespaço de e um conjunto de vetores de que:
são L.I Geram Então, um conjunto com mais de m vetores em é L.D.

10 Exemplo 2: Um conjunto com m vetores em será L.D se m>n.
( Ex: m=3 e n=2 )

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12 Definição (Base) : Seja um subespaço de , dizemos que um subconjunto de é uma base de , se :
é um conjunto de geradores de ; e é L.I Exemplo 3: Seja uma reta que passa pela origem. Como o vetor diretor é não nulo e gera todos os pontos da reta, então ` é uma base de

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14 Exemplo 4: Seja um plano que passa pela origem . Encontre uma base para o plano Um ponto satisfaz a equação se e somente se e Para todo e para

15 Assim, o plano pode ser descrito como
Ou pode ser escrito como uma soma de vetores O que equivale a: tal que

16 Logo é uma base do plano , pois é combinação linear de e ; e e são L.I.
Em um conjunto com mais de n vetores é L.D. L.I L.D Máx de L.I Mín de geradores Dimensão