Norma e produto interno

Apresentação em tema: "Norma e produto interno"— Transcrição da apresentação:

1 Norma e produto interno
Aula 02 Norma e produto interno

2 Norma Já vimos que o comprimento de um vetor V é definido como sendo o comprimento de qualquer um dos segmentos orientados que o representam. Tal comprimento também é chamado de norma V e é denotado por .

3 Norma

4 Exemplo 1 Determine a norma do vetor V = (1,−2, 3). Solução: Obs.: Um vetor de norma igual a 1 é chamado vetor unitário.

5 Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos é igual à norma do vetor . Como , então a distância de P a Q é dada por Se

6 Exemplo 2 Determine a distância entre os pontos P = (2,−3, 1) e Q = (−1, 4, 5). Solução:

7 Observação Se e é um escalar, então da definição da multiplicação de vetor por escalar e da norma de um vetor temos:

8 Observação Dado um vetor V não nulo, o vetor é um vetor unitário na direção de V , pois

9 Exemplo Determine um vetor unitário na direção do vetor V = (1,−2, 3) . Solução:

10 Ângulo entre vetores O ângulo entre dois vetores não nulos, V e W, é definido pelo ângulo determinado por V e W que satisfaz 0 ≤  ≤ 

11 Vetores ortogonais Quando o ângulo entre dois vetores V e W é reto ( = /2), ou um deles é o vetor nulo, dizemos que os vetores V e W são ortogonais ou perpendiculares entre si.

12 Produto Escalar ou Interno
O produto escalar ou interno de dois vetores V e W é definido por em que  é o ângulo entre eles.

13 Observação Quando os vetores são dados em termos das suas componentes não sabemos diretamente o ângulo entre eles. Por isso, precisamos de uma forma de calcular o produto escalar que não necessite do ângulo entre os vetores.

14 Lei dos cossenos

15 Cálculo do Produto interno
em (1) os termos e são cancelados e obtemos

16 Resultado O produto escalar ou interno, V⋅W, entre dois vetores é um número dado por se e e por se e .

17 Exemplo Sejam V = (0, 1, 0) e W = (2, 2, 3). Determine o produto escalar de V por W. Solução:

18 Ângulo entre vetores

19 Exemplo Determinar o ângulo entre uma diagonal de um cubo e uma de suas arestas. Solução:

20 Propriedades

21 Projeção Ortogonal

22 Projeção Ortogonal

23 Projeção Ortogonal

24 Demonstração

25 Exemplo , .

26 Solução

27 Obrigado !

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