Edward Hermann Lógica e Especificação 1 L ó gica de Primeira Ordem 1- Modelos e Teorias 2- Definibilidade de (classes de) Estruturas (s) 3- Definibilidade.

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1 Edward Hermann Lógica e Especificação 1 L ó gica de Primeira Ordem 1- Modelos e Teorias 2- Definibilidade de (classes de) Estruturas (s) 3- Definibilidade em um estrutura Ref ==> Se ç ões 2.1 e 2.2 de [Enderton]

2 Edward Hermann Lógica e Especificação 2 Algumas Defini ç ões Ú teis Modelos e Teorias Sejam - L uma linguagem não-l ó gica de primeira ordem, - Est(L) a classe de todas as estruturas para L - Sent(L) o conjunto das senten ç as de L Def. Seja   Sent(L). Define-se Mod(  ) = { S / S  Est(L) e S |=  } Def. Seja C  Est(L). Define-se Th(C) = {  /   Sent(L) e C |=  } Def. Sejam C  Est(L) e   Sent(L). Diz-se que a classe de estruturas C satisfaz  (C |= , em s í mbolos), sss, para toda estrutura S  C tem-se S |=  Def. Seja D um sistema dedutivo correto e completo para a LPO. Nota-se  |- , sempre exista uma prova de  a partir de  em D. Def. Cn(  ) = {  /  |-  }

3 Edward Hermann Lógica e Especificação 3 Modelos e Teorias Fórmulas sobre LEstruturas para L Uma linguagem não-lógica L Th(D) Th(C) D Th => 1- O que Th({S}) tem de especial ??? 2- Th({S}) como uma descri ç ão ling üí stica de S. C

4 Edward Hermann Lógica e Especificação 4 Defini ç ão Importante em L ó gica e Ciências Formais Seja L uma linguagem da LPO. Def.   Formulas(L) é uma teoria, sss, para toda   Formulas(L), tem-se:   T, se e somente se, T |-  Fato: T  Formulas(L) é uma teoria, sss, Cn(T) = T. Def. T  Formulas(L) é completa sss, para toda   Formulas(L), tem-se que ou   T ou   T. Modelos e Teorias

5 Edward Hermann Lógica e Especificação 5 Definibilidade em Lógica (I) Senten ç as sobre L Estruturas para L Uma linguagem não-lógica L   Mod(  ) Mod(  ) Mod => 1- Um conjunto de fórmulas “especifica” uma classe de estruturas 2- Axiomatização de uma Classe de estruturas

6 Edward Hermann Lógica e Especificação 6 Modelos e Teorias Exerc í cios: Verifique se é falso ou verdadeiro: 1- Cn(  1   2) = Cn(  1)  Cn(  2) 2- Cn(  ) = Th(Mod(  )) 3- Se  1   2 então Cn(  2)  Cn(  1) 4- Se C1  C2 então Th(C2)  Th(C1) 5 -   Th(Mod(  )) e C  Mod(Th(C)) 6 - Mod(  )  Mod(Th(Mod(  ))) e Th(C)  Th(Mod(Th(C))) 7- Th(C1)  Th(C2) = Th(C1  C2)

7 Edward Hermann Lógica e Especificação 7 Questões Naturais : 1- Todo conjunto de fórmulas (sobre L) define uma classe de estruturas ?? 2 - Qual o conjunto de fórmulas que define a classe de todas as estruturas para uma linguagem L ? 3- Toda classe de estruturas é definível por um conjunto de fórmulas, ou seja todas as classes de estruturas são elementares ?? 4- Toda classe de estruturas é definível por uma única fórmula ?? => Existem classes não elementares

8 Edward Hermann Lógica e Especificação 8 Teorema da Completude:  |=  se e somente se  |-  Teorema da Compacidade:  é finitamente satisfatível sss  é satisfatível  finitamente satisfatível = Para todo  finito com    tem-se  sat. => A Classe das estruturas (para L fixa) infinitas não é definível por nenhuma fórmula. (isto é, não é elementar) => A Classe das estruturas (para L fixa) finitas não é definível por nenhum conjunto de fórmulas

9 Edward Hermann Lógica e Especificação 9 Definibilidade em Lógica (I) Estrutura S Fórmulas para L S Para cada estrutura S tem-se a linguagem L S da estrutura Th(S) Th  Cn 1- Definibilidade de uma (classe de) estrutura (s) !!!! 2- Axiomatização da Teoria de uma Estrutura

10 Edward Hermann Lógica e Especificação 10 Definibilidade em Lógica (II) Definibilidade em uma estrutura:  (x1,...,xn) uma fórmula na linguagem da estrutura S  (x1,...,xn) define uma relação n-ária (um subconjunto de S n ) [[  (x1,...,xn) ]] = { / ai  |S| e |=  (x1,...,xn) } Exemplos: 1. Em : [[  y(suc(y)=x)]]={0}, [[  z (  y(suc(y)=z)  (suc(z)=x)]]={1} e [[suc(suc(x1)=x2)]]={ / a1+2=a2 e a1,a2  N} 2. Em : [[  y(+(y,x)=y]]={0}, [[  y(  (y, y)=x)]]={r / r  R e r  0}, [[  y((x1+y=x2)  (+(y,y)  y))]]={ / r1<r2 e r1,r2  R Obs: Às vezes a notação infixa é usada : x+y no lugar de +(x,y)

11 Edward Hermann Lógica e Especificação 11 Q Definibilidade em Lógica (I) Homomorfismo de Estruturas S1 S2 h PPhPh s h(s) f(a,b) a b h(a) h(b) h(f(a,b)) |S1| f P |S2| g Q h = f h (h(a),h(b)) = g(h(a),h(b)) fhfh PhPh

12 Edward Hermann Lógica e Especificação 12 Subestruturas e Extensões Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas tais que a função de inclusão S1  S2 é um homomorfismo. Diz-se que S1 é subestrutura de S2, e que S2 é uma extensão de S1. Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas e h: S1 S2 um homomorfimo bijetivo (injetivo e sobrejetivo), então h é dito ser um isomorfimo de estruturas e S1 é dita ser isomorfa a S2 (S1  S2) => Estruturas isomorfas satisfazem as mesmas fórmulas ??? => Estruturas que satisfazem as mesmas fórmulas são isomorfas ??? Definibilidade em Lógica (I)

13 Edward Hermann Lógica e Especificação 13 Definibilidade em Lógica (I) Teorema do homomorfimo: Seja h homomorfismo de S1 em S2 (estruturas para L) Vars|S1| |S2|  h h   |= P(t1,...,tn) |= P(t1,...,tn)  P S1  P S2 sss 1. Se  não possui quantificadores nem a igualdade. |=  |=  sss 2. Se  não possui quantificadores mas sim a igualdade e h é um homomorfismo injetivo t1=t2 S1 S2 a b h(a)=h(b) 3. Se  possui quantificadores e mas não a igualdade e h é um homomorfismo sobrejetivo xxxx h(|S1|) S1 S2 c

14 Edward Hermann Lógica e Especificação 14 Homomorfismo e Definibilidade Definibilidade em Lógica (II) Def. Um Automorfismo é um isomorfismo (homomorfismo bijetivo) de uma estrutura nela mesma. Corolário: Seja S uma estrutura e h:S S um automorfismo, então A  S n é definível, se e somente se, h(A)  S n é definível. ==> O Corolário acima é uma boa ferramenta para mostrar que algumas relações/conjuntos não são definíveis. Exemplos: 1- Na estrutura nenhum conjunto diferente do vazio e do N é definível (em particular o número zero não é definível). Qualquer função bijetiva é um automorfismo em N. 2- Em a adição não é definível, pois o a função:f(0)=0,f(1)=1 f(3)=2, f(2)=3 e f(p1  p2)=f(p1)  f(p2) se caso contrário, é um automorfismo em que não preserva a adição.

15 Edward Hermann Lógica e Especificação 15 Definibilidade em Lógica (II) Relações de extensibilidade própria entre estruturas sobre N.