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Conectividade e Separabilidade
2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 1
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Conectividade de arestas
Em um grafo conexo G, o número de arestas do menor corte de arestas de G é definido como conectividade de arestas de G (K´ (G)) K´ (G): número mínimo de arestas cuja remoção reduz o rank de G em uma unidade. K´(T) = ????, onde T é uma árvore. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 2
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Corte de vértices Subconjunto minimal de vértices V´ V, cuja remoção de G o desconecta ou o transforma em um grafo nulo, n > 1. G – V´: desconexo ou nulo e subconjunto próprio V” V´, G – V” é conexo e não nulo. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 3
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Conectividade de vértices
O número mínimo de vértices que desconecta o grafo G ou o reduz a um único vértice é definido como conectividade de vértices de G (K (G)) K(T) = ????, onde T é uma árvore. Conectividade de vértices tem sentido apenas para grafos conexos com mais de três vértices e não completos. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 4
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Conectividade de vértices
K´(G) = K(G) = 0, G desconexo K(G) n – 2, G Kn 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 5
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Grafo separável Um grafo G é dito separável quando K(G) = 1.
Neste caso, G pode ser decomposto em subgrafos G1 e G2 tal que G1 e G2 tem apenas um vértice em comum. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 6
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Articulação Vértice cuja remoção desconecta o grafo. 2010/2
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Teorema Seja G (V,E) um grafo conexo, |V| > 2. Então:
Um vértice v de V é articulação sss existem dois vértices x e y em G, x, y v, tais que todo caminho entre x e y passa por v; Uma aresta {p,q} de E é ponte sss {p, q} for o único caminho entre p e q em G. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 8
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Maior conectividade de vértices e arestas
Exemplo Suponha que são dadas n estações que devem ser conectadas por e linhas, e ≥ n-1. Qual é a melhor maneira de conectá-las, de maneira a evitar sua destruição devido à destruição de estações individuais e/ou linhas individuais? Maior conectividade de vértices e arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 9
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Teorema A conectividade de arestas de um grafo G não pode exceder o grau do vértice com o menor grau de G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 10
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Prova Seja w o vértice de grau mínimo de G ()
É possível desconectar G, removendo-se as arestas incidentes a w. ≥ K´(G) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 11
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Teorema A conectividade de vértices de um grafo G não pode exceder a conectividade de arestas de G 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 12
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Questão Sejam G = (V,E) um grafo e E´ um corte de arestas de G.
É sempre possível encontrar um corte de vértices V´ tal que |V´| |E´|? 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 13
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G, K(G) K´(G) 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 14
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Corolário Todo corte de arestas em um grafo não separável com mais de dois vértices contém pelo menos duas arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 15
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Grafo k-conexo Seja k um inteiro positivo. Diz-se que um grafo G é k-conexo em vértices quando não existe corte de vértices de tamanho menor que k Analogamente, diz-se que G é k-conexo em arestas 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 16
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Grafo biconexo Um grafo é biconexo ou 2-conexo em vértices (arestas) sss não possuir articulações (pontes). Componentes biconexos ou blocos: subgrafos maximais de G que sejam biconexos em vértices ou isomorfos a K2. G é biconexo em vértices: possui um único bloco que é o próprio G. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 17
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Teorema Seja G = (V, E) um grafo. Então:
Cada aresta de E pertence exatamente a um bloco do grafo; Um vértice v de V é articulação sss v pertencer a mais de um bloco do grafo. 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 18
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Teorema Um grafo G = (V,E), |V| > 2 é biconexo sss
cada par de vértices de G está contido em algum ciclo 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 19
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Teorema Seja G um grafo k-conexo. Então existe
algum ciclo de G passando por cada subconjunto de k vértices 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 20
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Teorema O valor máximo de K(G) de um grafo
G = (V,E), com n vértices e m arestas (m ≥ n-1) é 2m/n 2010/2 Teoria dos Grafos (INF 5037) 21
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