PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Construção de Modelos de Programação Linear I** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aula 2.

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1 PESQUISA OPERACIONAL PARA A ENGENHARIA DE PRODUÇÃO II **Construção de Modelos de Programação Linear I** Profa. Vitória Pureza 1º Semestre Aula 2

2 Roteiro Exemplo passo a passo do processo de modelagem Pequena revisão sobre aspectos da programação linear Lista de exercícios Winston, cap. 3

3 Um Problema de Mix da Produção Geppeto produz dois tipos de brinquedos de madeira : bonecos e trens. Um boneco é vendido por $27, gasta $10 de matéria-prima e $14 de mão- de-obra. Um trem é vendido por $21, gasta $9 de matéria-prima e $10 de mão-de-obra. A manufatura desses brinquedos requer duas operações : marcenaria e acabamento. Um boneco requer 2 horas de acabamento e 1 hora de marcenaria. Um trem requer 1 hora de acabamento e 1 hora de marcenaria. A cada semana, Geppeto pode obter toda a matéria-prima necessária para suas necessidades. Entretanto, apenas 100 horas de acabamento e 80 horas de marcenaria estão disponíveis. A demanda por trens é ilimitada mas no máximo 40 bonecos são vendidos por semana. Formule um modelo matemático para esta situação e que possa ser usado para maximizar o lucro líquido de Geppeto.

4 Passos para modelagem de programação matemática  Defina o objetivo do problema. Colete os dados associados  Defina os fatores que afetam o alcance do objetivo do problema. Colete os dados associados  Elabore uma representação informal do problema  Elabore um modelo de programação matemática do problema

5  Objetivo do problema Maximizar lucro semanal = { receita de vendas - custos de mão-de-obra - custos de matéria-prima } com bonecos e trens ProdutoReceita ($) /unidade Mão de obra ($) /unidade Matéria-prima ($) /unidade Boneco271410 Trem21109

6  Fatores que afetam o alcance do objetivo Limitações de capacidade produtiva Limitações de demanda Produto Horas requeridas/unidade MarcenariaAcabamento Boneco12 Trem11 Horas semanais disponíveis80100 ProdutoDemanda máxima mensal Boneco40

7  Representação Informal do Problema Deseja-se Maximizar lucro semanal = {receita - gastos de mão-de-obra - gastos de matéria-prima} com bonecos e trens, sujeito às seguintes restrições: 1.as horas semanais de marcenaria para fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 2.as horas semanais de acabamento para a fabricação dos produtos não podem exceder a disponibilidade semanal 3.a quantidade de bonecos produzidos semanalmente não pode exceder sua demanda semanal

8  Formulação do Modelo de Programação Matemática x 1 = número de bonecos produzidos/semana x 2 = número de trens produzidos/semana b) Função Objetivo (FO) Maximização do lucro ou minimização do custo escrito como alguma função das variáveis de decisão. Max { 3x 1 + 2x 2 } ($/semana) a) Variáveis de Decisão Descrevem completamente as decisões a serem feitas Estão associadas ao objetivo do problema

9  Formulação do Modelo de Programação Matemática 2x 1 + x 2 ≤ 100 (horas/semana) Máximo de 80 horas de marcenaria disponíveis por semana x 1 + x 2 ≤ 80 (horas/semana) c) Restrições Máximo de 100 horas de acabamento disponíveis por semana Máximo de 40 bonecos a serem produzidos por semana x 1 ≤ 40 (unidades/semana)

10  Formulação do Modelo de Programação Matemática x 1, x 2 ≥ 0 (unidades/semana) d) Restrições de sinal apenas valores não negativos

11 Modelo de Programação Linear para o Problema de Geppeto Variáveis de Decisão: x 1 = número de bonecos produzidos por semana x 2 = número de trens produzidos por semana Max 3x 1 + 2x 2 sujeito a: 2x 1 + x 2 ≤ 100 (acabamento) x 1 + x 2 ≤ 80 (marcenaria) x 1 ≤ 40 (demanda de bonecos) x 1 ≥ 0 (sinal) x 2 ≥ 0 “sujeito a” : valores de x 1 e x 2 precisam satisfazer todas as restrições

12 Função Linear f(x 1,x 2,...,x n ) é uma função linear se e somente se para algum conjunto de constantes c 1, c 2,.., c n : f(x 1,x 2,...,x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n Desigualdades Lineares Para qualquer função linear f(x 1,x 2,...,x n ) e qualquer número b, f(x 1,x 2,...,x n ) ≥ b e f(x 1,x 2,...,x n ) ≤ b são desigualdades lineares Problema Linear (PL) – Procura-se maximizar (ou minimizar) uma função linear das variáveis de decisão – Os valores das variáveis de decisão precisam satisfazer um conjunto de restrições – Cada restrição precisa ser uma igualdade linear ou uma desigualdade linear – Uma restrição de sinal está associada a cada variável

13 Região Factível de um PL Conjunto de todas as soluções que satisfazem todas as restrições Solução Ótima de um PL Solução na região factível com o maior valor de função objetivo (problemas de maximização). Solução na região factível com o menor valor de função objetivo (problemas minimização) ESPAÇO DE SOLUÇÕES FACTÍVEIS SOLUÇÃO ÓTIMA

14 Implicações da premissa de linearidade A contribuição de cada variável de decisão à função objetivo e ao lado esquerdo de cada restrição é – proporcional ao valor da variável de decisão – independente dos valores das outras variáveis de decisão Cada variável de decisão pode assumir valores não inteiros Admite-se que cada dado de entrada é conhecido com certeza (problemas determinísticos)

15 Resolução Gráfica de PLs de 2 variáveis 1. Identificar a região factível 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 x1, x2 ≥ 0 2x1 + x2 = 1002x1 + x2 ≤ 100

16 Resolução Gráfica de PLs de 2 variáveis 2. Identificar a solução ótima 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 Max 3x1 + 2x2 Linhas Isolucro Ponto cruzando eixo x 1 : (10, 0)  fo=3*10 + 2*0=30 Ponto cruzando eixo x 2 com fo=30 :  fo=3*0 + 2* x 2 =30  x 2 = 15 Logo, o ponto é (0,15) fo = 30 fo = 90 Solução ótima x=(20,60) fo=180 x1, x2 ≥ 0 Outra Linha Isolucro Ponto cruzando eixo x1: (30, 0)  fo=90 Ponto cruzando eixo x2 com fo=90: (0,45)

17 Conjuntos convexos, pontos extremos e PL Conjunto convexo : conjunto S de pontos onde o segmento de reta unindo quaisquer par de pontos em S está totalmente contido em S Ponto extremo : ponto P em um conjunto convexo S onde cada segmento de reta contido completamente em S e que contém o ponto P, tem P como ponto final A E B C D A B

18 Resultado importante A região factível para qualquer PL é um conjunto convexo A região factível para qualquer PL tem um número finito de pontos extremos Qualquer PL que tenha uma ou mais soluções ótimas*, tem um ponto extremo que é ótimo EXISTE UMA SOLUÇÃO ÓTIMA NO CONJUNTO DOS PONTOS EXTREMOS

19 Pontos Extremos no Problema de Geppeto 2x1 + x2 ≤ 100 x1 + x2 ≤ 80 x1 ≤ 40 Max 3x1 + 2x2 Solução ótima x1, x2 ≥ 0

20 1.Uma única solução ótima 2.A linha isolucro (isocusto) toca não um ponto mas uma face da região factível, resultando em um número infinito de soluções ótimas: PL com soluções ótimas alternativas ou múltiplas (todas com o mesmo valor !) 3.Ausência de região factível: PL infactível – Faz-se apenas o passo 1 da resolução gráfica 4.A linha isolucro (isocusto) não converge pois há sempre soluções melhores que as atuais: PL ilimitado - Não há solução ! Casos de Programação Linear

21 Problemas com mais de 2 variáveis A resolução gráfica não pode ser aplicada Maioria dos problemas de interesse : centenas, milhares e até milhões de variáveis X Pacotes computacionais: CPLEX, OSL, LINDO, LINGO, GAMS, AMPL, AIMMS,...  Lista 1 Método Simplex eMétodos de Pontos Interiores Visita pontos extremos um a um até que condições de otimalidade sejam satisfeitas Gera pontos interiores da região factível buscando a convergência a uma solução ótima