Relação Tensão-Deformação Mecânica dos Materiais 2 Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais.

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1 Relação Tensão-Deformação Mecânica dos Materiais 2 Universidade de Brasília – UnB Departamento de Engenharia Mecânica – ENM Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA

2 ÍNDICE Curva Tensão Deformação Lei de Hooke – – Solicitação Uniaxial – Solicitação Biaxial Lei de Hooke Generalizada - Material Isotrópico Energia de Deformação Critério da Máxima Energia de Distorção

3 Curva Força versus Deslocamento Área A Curva Força versus Deslocamento

4 Curva Tensão Deformação Área A Tensão Atuante Deformação Atuante  

5 Curva Tensão Deformação – Pontos Notáveis Área A Tensão Atuante Deformação Atuante   yy uu 1 E  u  Tensão Resistência  y  Tensão de Escoamento Domínio Linear Elástico Domínio Elasto-plástico E  Módulo de Elasticidade

6 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial Área A  A-dA = Coeficiente de Poisson  n  Deformação Longitudinal  n  Deformação Transversal

7 Área A  A-dA = Coeficiente de Poisson  n  Deformação Longitudinal  n  Deformação Transversal Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial

8 Área A  A-dA Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Uniaxial

9 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Biaxial yy A x +dA x b h e b+db h+dh e+de A x = h  e x z y A y = b  e A x +dA y PxPx PyPy xx + Estado de Tensões Estado de Deformações

10 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Solicitação Biaxial A x +dA x b+db h+dh e+de A x +dA y PxPx PyPy + Estado de Deformações

11 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada zz xx yy

12 Um elemento cúbico submetido a uma tensão cisalhante assumirá uma forma distorcida. De forma semelhante aos esforços normais. Se plotarmos uma curva correlacionando a tensão cisalhante, , com a deformação cisalhante, , será verificado que, para pequenas deformações e dentro do regime elástico linear, essas duas quantidades pode ser representada pela seguinte relação: onde G é chamado de módulo de rigidez ou de cisalhamento.

13 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada  xy  xz  zy

14 Relação Tensão Deformação – Lei de Hooke Generalizada  xy  xz  zy

15 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Área A Curva Força versus Deslocamento  P W  Trabalho Executado pela Força P

16 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Área A Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação  

17 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação   Domínio Linear-Elástico

18 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Curva Tensão versus Deformação w  Densidade de Energia de Deformação   Domínio Linear-Elástico

19 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional

20 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional

21 Relação Tensão Deformação – Energia de Deformação Contexto Tri Dimensional  xy  xz  zy

22 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Verificação Experimental: Corpos Submetidos a Pressões Hidrostáticas se Deformam Muito, Mas Não Falham por Escoamento !!! P1P1 P 2 > P 1 P 3 > P 2 P 4 > P 3

23 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Análise da Situação : aa bb cc p p p  b -p  a - p  c - p = + Tensor Hidrostático Tensor Desviador Tensor Genérico

24 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Situação 1 Tensor Hidrostático Tensor Desviador

25 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Situação 2 – Aumento da Pressão em 100 MPa Tensor Hidrostático Tensor Desviador

26 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Tensor Hidrostático Tensor Desviador Situação 3 – Aumento da Pressão em 300 MPa

27 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Tensor Hidrostático Tensor Desviador Situação 4 – Aumento da Pressão em 600 MPa

28 Critério da Máxima Energia de Distorção - Introdução Conclusão: Aumento da Pressão Hidrostática Não Conduz à Elevação da Tensão Cisalhante Máxima !!! Informações Importantes Sobre a Condição de Falha por Escoamento Estão Contidas no Tensor Desviador !!!

29 Critério da Máxima Energia de Distorção Metodologia de Construção do Modelo de Análise aa bb cc p p p  b -p  a - p  c - p = + w = = + + wHwH wDwD

30 Critério da Máxima Energia de Distorção Metodologia de Construção do Modelo de Análise aa bb cc  w = + wHwH wDwD = 11 22 33  P A wDwD = - wwHwH w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH Comparação das Energias Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração

31 Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Deformação Associada ao Estado Geral de Tensões w = + wHwH wDwD 11 22 33 wDwD = - wwHwH

32 Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Deformação Associada ao Estado de Tensões Hidrostáticas w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH p p p

33 Critério da Máxima Energia de Distorção Cálculo da Energia de Distorção Associada ao Estado de Tensões Principais w = + wHwH wDwD wDwD = - wwHwH p p p

34 Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Distorção Associada ao Estado de Tensões Principais 11 22 33

35 Critério da Máxima Energia de Distorção Energia de Distorção Associada ao Estado Uniaxial de Tensões  1 =  adm P A

36 Critério da Máxima Energia de Distorção aa bb cc  = 11 22 33  adm P A Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração =

37 Critério da Máxima Energia de Distorção aa bb cc  = 11 22 33  adm P A Estado Geral de Tensões Condição Uniaxial de Tensões Ensaio de Tração

38 Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Estado de Tensões Principais: 11 22 33 Estado de Geral de Tensões:  yx  yz  zx  xx  yy  zz

39 Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Representação Gráfica: bb aa cc aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb  adm  adm

40 Critério da Máxima Energia de Distorção – Von Mises Comparação com Tresca: bb aa cc aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb cc   aa bb  adm  adm  b >  a  a >  b

41 Exemplos 1 – Demonstrar a relação: Relações Conhecidas Para demonstrar a relação determinaremos as tensões e deformações cisalhantes máximas relacionados ao seguinte estado de tensões:  

42 Exemplos 2 - A peça esquematizada, com uma geometria complicada, é fabricada em latão (E = 105 GPa e G = 39 GPa) e submetida um sistema complexo de esforços. Pede-se determinar as tensões máximas de tração/compressão e cisalhamento no ponto da superfície assinalado, onde foi montada uma roseta e foram medidas as seguintes deformações nas direções indicadas:  a = +400µStrain; ε b = +800µStrain; ε c = +450µStrain Faça os cálculos utilizando as fórmulas e confira através da análise feita através dos círculos de Mohr. Considere tratar-se de um estado triplo de tensões, sendo nula a tensão no 3º plano (o da superfície onde foi montada a roseta).

43 Exemplos 2 – Solução Representação esquemática do sistemas de extensômetros: +400µStrain (c) (b) (a) Configuração Padrão Roseta Retangular x y +800µStrain +450µStrain

44 Exemplos 2 – Solução 2.2 - Representação Tensorial +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.3 – Deformações Principais – Eq. Transformação

45 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais – Teorema de Cauchy (Prob. Autovalor/Autovetor)

46 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais (Círculo de Mohr)

47 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.4 – Deformações Principais (Círculo de Mohr)  R R R  a b c d

48 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.5 – Deformações Principais (Círculo de Mohr) x (800, 150) x y y (400,-150)

49 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.6 – Estado de Tensões – Base : x-y Prop. Material: E = 105 GPa G = 39 GPa = 0,346

50 Exemplos 2 – Solução +400µStrain (c) (b) (a) x y +800µStrain + 450µStrain 2.6 – Estado de Tensões Principais Prop. Material: E = 105 GPa G = 39 GPa = 0,346

51 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm E al = 70 GPa = 0,3

52 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm 19º l 

53 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm

54 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm X (63,85; -14,96) Y (115,7; +14,96) MPa

55 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm

56 Exemplos 3 – Estimar a pressão interna em uma latinha de refrigerante considerando que ao ser aberta, foram lidas em uma roseta retangular as seguinte deformações  a = +416,4 µStrain; ε b = +1175,5µStrain; ε c = +1378,9 µStrain. Diâmetro Externo do Corpo: 66,167 +/- 0,178 mm Espessura da Parede: 0,157 +/- 0,025 mm MPa