Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares

Apresentação em tema: "Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear Tipos Especiais de Operadores Lineares
Prof. Paulo Salgado

2 Sumário Tipos Especiais de Operadores Lineares
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos Caracterização dos Operadores Ortogonais

3 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Operadores Auto-Adjuntos Operadores Ortogonais Teorema: Sejam V um espaço vetorial com produto interno < , > e  = {u1, ..., un} base ortonormal de V. Então, se v e w são vetores de V com Temos: <v, w> = x1y1 + x2y xnyn x1 … xn y1 … yn [v] = e [w] =

4 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Em outras palavras, ao trabalharmos com uma base ortonormal, para efetuar o produto interno de dois vetores basta multiplicar as coordenadas correspondentes e somar Definição: Seja A uma matriz n x n real e A’ sua transposta: a) Se A = A’, dizemos que A é simétrica b) Se A.A’ = A’.A = I (ou seja, a inversa de A, A-1 = A’), dizemos que A é uma matriz ortogonal 4

5 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Teorema: Seja A uma matriz ortogonal. Então det A = 1 Prova: Como A é ortogonal, A.A’ = I  det (A.A’) = det(I) = 1 det (A.A’) = det(A).det(A’) (propriedade)  det(A).det(A’) = 1 Mas, det(A) = det(A’) (propriedade) Logo, det2(A) = 1  det(A) = 1 5

6 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Teorema: Uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais Exemplo: Seja V = R2 e ={(1, 0), (0, 1)} e  = {(cos θ, -sen θ), (sen θ, cos θ)} bases ortonormais [ I ] = ? (matriz de mudança de base de  p/ ) Use os conceitos de mudança de base e coeficientes de Fourier Calculando como vimos antes... cosθ -senθ senθ cosθ [ I ] = 6

7 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Cont. Exemplo: Para checar se [ I ] é ortogonal, basta multiplicá-la pela sua transposta: cosθ -senθ senθ cosθ cosθ senθ -senθ cosθ cos2θ + sen2θ 0 sen2θ + cos2θ = 1 0 0 1 Também é preciso multiplicar a transposta pela matriz para tentar encontrar a identidade... = 7

8 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Teorema: Se V é um espaço vetorial com produto interno e  e  são bases ortonormais de V, então a matriz de mudança de base [ I ] é uma matriz ortogonal Nesses casos: [ I ].([ I ])’ = I ou seja ([ I ])’ = ([ I ])-1, e ainda mais ([ I ])’ = ([ I ])-1 = [ I ] Assim, tendo [ I ], [ I ] é apenas sua transposta 8

9 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Definição: Seja V um espaço vetorial com produto interno,  uma base ortonormal e T:V→V um operador linear. Então: a) T é chamado um operador auto-adjunto, se [T] é uma matriz simétrica b) T é chamado um operador ortogonal, se [T] é uma matriz ortogonal Sejam  e  bases ortonormais: se [T] é simétrica, então [T] também é. se [T] é ortogonal, então [T] também é. Esses operadores (auto-adjunto e ortogonal) não dependem da base ortonormal escolhida. 9

10 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Exemplo: Seja T:R2→R2 onde T(x, y) = (2x – 2y, -2x + 5y) Se  é a base canônica, a matriz de T é: que é uma matriz simétrica e, portanto, T é operador auto-adjunto 2 -2 -2 5 [T]= 10

11 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Teorema: Seja V um espaço vetorial com produto interno < , > e T:V→V linear Então T auto-adjunto implica que <Tv, w>=<v, Tw> para todo v, w  V Prova: 11

12 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Prova: (no caso de n = 2)  = {v1, v2} uma base ortonormal v = x1v1 + y1v2 w = x2v1 + y2v2 ou [v] = e [w] = Como T é auto-adjunto, então [T] é simétrica Seja: x1 y1 x2 y2 a b b c [T]= 12

13 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Cont. Prova: Então [Tv] = = e [Tw] = = Assim, <Tv, w> = (ax1 + by1)x2 + (bx1 + cy1)y2 e <v, Tw> = x1(ax2 + by2) + y1(bx2 + cy2) Portanto <Tv, w> = <v, Tw> a b b c x1 y1 ax1 + by1 bx1 + cy1 a b b c x2 y2 ax2 + by2 bx2 + cy2 13

14 Operadores Auto-Adjuntos e Ortogonais
Teorema: Seja T:V→V auto-adjunto e λ1, λ2 autovalores distintos de T e v1 e v2 os autovetores associados aos autovalores. Então v1  v2. Prova: λ1.<v1, v2> = <λ1.v1, v2> = <Tv1, v2> = <v1, Tv2> = <v1, λ2.v2> = λ2.<v1, v2> → λ1.<v1, v2>-λ2.<v1, v2> = 0 Então (λ1 - λ2).<v1, v2> = 0 Como λ1  λ2, então λ1 - λ2  0, logo <v1, v2> = 0, o que implica v1  v2 14

15 Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores para este operador?
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais Teorema: Seja T:V→V um operador auto-adjunto. Então existe uma base ortonormal de autovetores de T Exemplo 1: Seja T:R3→R3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica é Podemos exibir uma base ortonormal de autovetores para este operador? -2 0 0 0 6 1 0 1 6 [T] = 15

16 Pelo teorema anterior, é garantida uma base ortonormal de autovetores
Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais Cont. Exemplo 1: Podemos observar que T é um operador auto-adjunto (a matriz é simétrica e a base canônica é ortonormal) Pelo teorema anterior, é garantida uma base ortonormal de autovetores Calculando os autovalores e os autovetores associados, temos: λ1 = -2  v1 = (1, 0, 0) λ2 = 7  v2 = (0, 1, 1) λ3 = 5  v3 = (0, 1, -1) 16

17 Diagonalização de Operadores Auto-Adjuntos e Caracterização dos Operadores Ortogonais
Cont. Exemplo 1: Como esses autovetores provêm de autovalores distintos e T é auto-adjunto, eles são ortogonais (Teo slide 14) Então {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} é uma base ortogonal de autovetores Para encontrarmos a base ortonormal, basta normalizar a base ortogonal: {(1, 0, 0), (1/√2)(0, 1, 1), (1/√2)(0, 1, -1)} 17

18 Caracterização dos Operadores Ortogonais
Teorema: Seja T:V→V um operador linear num espaço vetorial V com produto interno < , >. Então as condições abaixo são equivalentes: T é ortogonal T transforma bases ortonormais em bases ortonormais. Isto é, se {v1,...,vn} é base ortonormal de V, então {Tv1,...,Tvn} é base ortonormal T preserva o produto interno, i.e., <Tu, Tv> = <u, v> T preserva a norma, i.e., ||Tv|| = ||v|| Dada a condição anterior já que ||v|| = <v, v> 18

19 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Exemplo: (Exercício 3) Sejam ={(1,1), (2,0)} e ={(-1,0), (2,1)}. A partir dessas bases, construa bases ortonormais, usando o método de Gram-Schmidt. Mostre que a matriz mudança de base [ I ]’’ é ortogonal (onde ’ e ’ são as novas bases ortonormais). Solução: 19

20 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Cont. Exemplo: (Exercício 3) Solução:  = {(1,1), (2,0)} v1’ = (1, 1)  ||v1’|| = 2 v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (1, -1)  ||v2’|| = 2 ’ = {(1/2, 1/2), (1/2, -1/2)}  = {(-1,0), (2,1)} v1’ = (-1, 0)  ||v1’|| = 1 v2’ = v2–(<v2,v1’>/<v1’,v1’>).v1’ = (0, 1)  ||v2’|| = 1 ’ = {(-1, 0), (0, 1)} 20

21 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Cont. Exemplo: (Exercício 3) Solução: ’ = {(1/2, 1/2), (1/2, -1/2)} ’ = {(-1, 0), (0, 1)} [ I ]’’ = ?? (1/2, 1/2) = a(-1,0) + b(0, 1) (1/2, -1/2) = c(-1,0) + d(0, 1) [ I ]’’ = -1/2 -1/2 1/2 -1/2 21

22 Tipos Especiais de Operadores Lineares
Cont. Exemplo: (Exercício 3) Solução: Para ser ortogonal, precisa ter A.A’ = A’.A = I, onde A = [ I ]’’ A.A’ = A’.A = -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 -1/2 1 0 0 1 = -1/2 1/2 -1/2 -1/2 -1/2 -1/2 1/2 -1/2 1 0 0 1 = Logo, é ortogonal. 22

23 Exercícios Sugeridos 1 2 5a e b 6 23

24 A Seguir... 4 EE... 24