Teoria de Filas – Aula 3 Aula de Hoje Variáveis aleatórias discretas Bernoulli Binominal Uniform Poisson Geométrica Aula Anterior Independência Condicionamento.

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1 Teoria de Filas – Aula 3 Aula de Hoje Variáveis aleatórias discretas Bernoulli Binominal Uniform Poisson Geométrica Aula Anterior Independência Condicionamento Probabilidade Total Variável aleatória discreta Funções de distribuição.

2 Definição de V.A. Uma variável aleatória X é uma função sobre um espaço amostral S que associa um número real a cada elemento de S v.a. é uma função (e não uma variável) imagem de X é o espaço amostral (discreto ou contínuo) função não precisa ser bijetora (um-para-um)

3 Definição de V.A.

4 4 Função de probabilidade de massa (pmf) Associar probabilidade a valores de uma v.a. Seja X uma v.a. (discreta) Qual a probabilidade de X = x? Conjunto de eventos elementares que são mapeados no valor x notação de pmf (probability mass function)

5 5 Exemplo: 2 dados Seja X uma v.a. que representa a soma de dois dados Defina a pmf de X Qual é o domínio de X (valores que X pode assumir)? = 1/36 = 2/36 = 3/36 X=2 : {(1,1)} X=3 : {(1,2), (2,1)} X=4 : {(1,3), (2,2), (3,1)}...

6 6 Exemplo: 2 dados pmf, graficamente x (valor que X pode assumir) P [X = x]

7 7 Função de distribuição cumulativa (cdf) Probabilidade cumulativa (ao invés de pontual) Dada v.a. X, temos notação da cdf (cumulative distribution function) F X (x) é não decrescente Limite quando x tende a infinito é 1

8 8 Exemplo: 2 dados cdf, graficamente x (valor que X pode assumir) P [X <= x]

9 9 Uniforme A pmf mais simples é da v.a uniforme, onde TODOS os elementos do conjunto imagem, de cardinalidade n, terão a mesma probabilidade de ocorrência pmf para todo no conjunto imagem cdf

10 10 Bernoulli Somente dois eventos podem ocorrer cara ou coroa, sucesso ou falha, par ou ímpar, etc. v.a. binária (evento 0 ou evento 1) Parâmetro p, ocorrência de um dos eventos) pmf:

11 11 Bernoulli CDF q p+q = 1 01 F(x) = 0 x < 0 F(x) = q 0 <= x <1 F(x) = 1 x >= 1

12 12 Binomial Contagem de eventos de Bernoulli eventos indepenentes Número de sucessos dado N experimentos Dois parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) N: número de experimentos pmf: Número de vezes que exatamente k eventos podem ocorrer Prob. que exatamente k eventos ocorram

13 13 Binomial cdf

14 14 Binomial pmf

15 15 Binomial cdf

16 16 Binomial Quando usar a distribuição binomial? Cada tentativa (evento de Bernoulli) tem exatamente dois resultados, usualmente definidos como sucesso e falha A probabilidade de sucesso em cada tentativa é constante e denotada por p. A probabilidade de falha é dada por q = 1-p Os resultados de duas tentativas sucessivas são independentes

17 17 Aplicando a v.a. Binomial Em Redes de Computadores Probabilidade de conexões simultâneas na comutação de pacotes

18 Aplicação da v.a Binomial  1 Mb/s enlace  Cada usuário:  100 kb/s quando “ativo”  ativos 10% do tempo  Comutação de circuitos:  10 usuários  Comutação de pacotes:  com 35 usuários, probabilidade > 10 ativos ao mesmo tempo é de.0004 Comutação de pacotes permite mais usuários compartilhando a rede! N users 1 Mbps link Q: como calcular a probabilidade 0.0004?

19 Aplicando a v.a. Binomial Podemos considerar cada usuário como um evento de Bernoulli: X: v.a. Total de usuários ativos Sucesso → ativo → p = 0.1 P[X > 10] = ? Devemos considerar TODAS as combinações onde temos mais de 10 usuários ativos

20 Aplicando a v.a. Binomial Ao se transmitir dígitos binários através de um canal de comunicação, o número de dígitos recebidos corretamente, C n, entre n dígitos tem uma distribuição binomial, onde p é a probabilidade de sucesso de transmissão de um dígito. Qual a probabilidade de ter exatamente i erros? Qual a probabilidade de se ter uma transmissão livre de erros?

21 Aplicando a v.a. Binomial Número de pessoas com Rh positivo em um conjunto de 10 indivíduos Número de meninas numa família com 5 filhos

22 Geométrica Sequência de eventos de Bernoulli até que ocorra um sucesso (incluindo o sucesso) Parâmetros p: prob. de ocorrência do evento (sucesso) pmf: Prob. de um evento de sucesso Prob. de exatamente k-1 eventos de falha

23 Geométrica cdf:

24 Geométrica

25 Aplicações v.a. Geométrica Uma série de componentes é produzida por um determinado fabricante. A probabilidade que um dado componente esteja com defeito é dada por uma constante p, que não depende da qualidade dos componentes produzidos anteriormente. A probabilidade de que o i- ésimo componente é o primeiro com defeito é dada pela pmf da v.a. geométrica p X (i) = (1-p) i-1 p

26 Aplicações v.a. Geométrica Considere o seguinte sistema de computação: Fila de processos “prontos” CP U p q

27 Aplicações v.a. Geométrica Se assumimos independência, a pmf da v.a. que denota o número total de time slices necessários para a execução do programa é dada pela pmf da v.a. geométrica: p X (i) = (1-p) i-1 p

28 Geométrica Modificada Sequência de eventos de Bernoulli anterior ao primeiro sucesso pmf cdf

29 Aplicações v.a. Geométrica Modificada Se considerarmos que um determinado loop de um programa é executado com probabilidade q = 1-p, o total i de vezes que o loop é executado antes da saída é dada por uma v.a geométrica modificada p X (i) = (1-p) i p

30 Propriedade de Falta de Memória Geométrica Uma propriedade importante da v.a geométrica é a propriedade de memoryless. Consideremos uma sequência de eventos de Bernoulli Z – v.a que representa o número total de eventos até o primeiro sucesso n – total de eventos já observados com resultado de falha Y – v.a que representa o número total de eventos até o sucesso → Y = Z - n

31 Propriedade de Falta de Memória Geométrica Pela propriedade de falta de memória, não necessitamos “lembrar” quantos eventos de Bernoulli aconteceram para determinar a probabilidade das tentativas adicionais até alcançar o sucesso! Assim, o número de tentativas restantes até o primeiro sucesso, dada pela v.a Y, tem a mesma pmf de Z!

32 32 Poisson Número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo Parâmetros t: intervalo de tempo l: taxa média de ocorrência de eventos por unidade de tempo pmf: Siméon-Denis Poisson (1781-1840)

33 33 Poisson

34 34 Exemplo com Poisson Chegada de chamadas a uma central de atendimento segue a distribuição de Poisson Taxa média de chegada é de 3 chamadas por minuto Qual a probabilidade de não haver nenhuma chamada em 1 minuto? Qual a probabilidade de termos mais de 100 chamadas em 1 hora?

35 35 Poisson Em sistemas com congestionamento (ou seja com filas), o número total de jobs que chegam, o número total de jobs que completam o serviço, o número total de mensagens transmitidas em um canal de comunicação, em um intervalo fixo de tempo, é aproximado por uma v.a de Poisson