Teoria de Filas – Aula 4 Aula de Hoje Variáveis aleatórias contínuas Valor esperado de uma variável aleatória Aula Passada Variáveis aleatórias discretas.

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1 Teoria de Filas – Aula 4 Aula de Hoje Variáveis aleatórias contínuas Valor esperado de uma variável aleatória Aula Passada Variáveis aleatórias discretas Bernoulli Binominal Uniforme Poisson Geométrica

2 2 Espaço Amostral não Contável Espaço amostral é contínuo (não contável) não podemos enumerar o espaço Exemplo de espaço amostral contínuo? Exemplo de experimento aleatório? medir intervalo de tempo com precisão infinita! Associar probabilidade a cada possível resultado? Não! Um dado resultado irá possuir probabilidade zero! Idéia: Associar probabilidade a conjuntos de resultados ex. intervalo de tempo entre 1 e 1.1 segundos

3 3 Variável Aleatória Contínua Aplica-se quando espaço amostral não é contável Mesma idéia da v.a. discreta mapear o espaço amostral nos números reais Exemplo de experimento aleatório tempo até uma lâmpada queimar (medido com precisão infinita) X é uma v.a. que indica exatamente este tempo (função identidade)

4 4 Variável Aleatória Contínua Função de probabilidade de massa não faz sentido probabilidade de um ponto do espaço amostral é zero Função de distribuição cumulativa faz sentido probabilidade de uma região do espaço mapeado ex. prob. da lâmpada queimar em menos de 1 dia

5 5 Função de Densidade de Probabilidade (pdf) Aplicada a v.a. contínuas (facilita os cálculos) Define probabilidade da v.a. através de integrais pdf é a derivada da cdf Relação com cdf (função cumulativa) função de densidade da v.a. X

6 6 Função de Densidade de Probabilidade (pdf)

7 7 Exemplo O tempo X, medido em anos, para completar um projeto de software tem a seguinte pdf: Qual a probabilidade do projeto ser completado em menos de 4 meses?

8 8 Uniforme Valores podem ocorrer com a mesma probabilidade Parâmetros [a, b] : intervalo onde v.a. pode ocorrer cdf: Onde ocorre o evento (em relação ao começo do intervalo) Tamanho do intervalo

9 9 Uniforme CDF

10 10 Uniforme pdf

11 11 Exponencial Tempo até que um evento ocorra Relacionada com Poisson (tempo entre eventos) Parâmetros l: taxa de ocorrência de eventos cdf: pdf:

12 12 Exponencial pdfcdf t P[X <= t] t f X (x ) diferentes valores do parâmetro l

13 13 V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial Tempo entre chegadas de dois jobs sucessivos em um servidor de arquivos (interarrival time) Tempo de serviço de um servidor em uma rede de filas; o servidor pode ser uma CPU, um dispositivo de E/S ou um canal de comunicação Tempo para que um componente falhe (tempo de vida) Tempo para recuperar um componente

14 14 V.as que podem ser modeladas por uma v. a. Exponencial Para todos estes casos, estamos somente fazendo uma SUPOSIÇÃO de que podemos usar a variável exponencial para representar a probabilidade de ocorrência dos valores dos experimentos aleatórios! Somente através de uma validação através da análise de resultados reais poderá dizer que a nossa suposição está correta ou não!

15 15 Propriedade Memoryless Propriedade de memoryless Distribuição da probabilidade condicional é igual a distribuição da probabilidade original (para o restante do tempo) Correto Exemplo Errado! A chance de um evento não ocorrer nos próximos 10 segundos é igual a dos primeiros 10 segundos!

16 16 Exemplo 1 Seja a variável discreta N t que denota o número de requisições que chegam a um servidor de arquivos em um intervalo de tempo (0,t]. Seja X o tempo para a próxima chegada. Assuma que N t possua uma distribuição de Poisson com parâmetro. Qual a distribuição do tempo para a próxima chegada?

17 17 Exemplo 2 Considere um servidor Web com uma taxa média de requisição. Assumindo que o número de chegadas por unidade de tempo é distribuído segundo uma v.a de Poisson, o tempo entre chegadas X é exponencialmente distribuído com o parâmetro. Qual a probabilidade de que o intervalo para que ocorra uma próxima chegada seja maior que 10?

18 18 Erlang Tempo até que um evento ocorra Sequência de v.a. Exponenciais Parâmetro l: taxa de ocorrência de eventos r: número de estágios (de v.a. exponenciais) CDF:

19 19 Erlang CDF

20 20 Erlang pdf

21 21 Erlang - Exemplo Consideremos que um determinado componente deva passar por duas diferentes etapas para que seja finalizado. O tempo para cada uma das etapas pode ser representado por uma variável aleatória exponencialmente distribuída, com taxa. O tempo total de produção pode ser representado por uma variável aleatória Erlangiana, com dois estágios e parâmetro

22 22 Normal Distribuição fundamental em estatística resultado do teorema do limite central Aplicada a muitos fenômenos físicos (forma de sino Parâmetros u: média s: desvio padrão Normal padrão (média 0, desvio padrão 1) Não possui forma fechada (consultar tabela)

23 23 Valor Esperado, Média, Esperança A distribuição de probabilidades (F(x)), a função densidade de probabilidade (f(x))/ função probabilidade de massa (p(x)) caracteriza completamente o comportamento de uma variável aleatória No entanto, muitas vezes precisamos somente de uma descrição mais 'resumida' da variável aleatória

24 24 Valor Esperado, Média, Esperança Variável aleatória discreta Variável aleatória contínua

25 25 Propriedades da Média

26 26 Médias Poisson Exponencial