Lógica para Computação (IF61B) Lógica Proposicional Slides da disciplina “Lógica para Computação”, ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner,

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1 Lógica para Computação (IF61B) Lógica Proposicional Slides da disciplina “Lógica para Computação”, ministrada pelo Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. Eng.“Lógica para Computação” ( kaestner@dainf.ct.utfpr.edu.br) entre 2007 e 2008. kaestner@dainf.ct.utfpr.edu.br Alterações feitas em 2009 pelo Prof. Adolfo Neto (adolfo@utfpr.edu.br)adolfo@utfpr.edu.br Versão original disponível em http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~kaestner/Logica/LogicaProposicional.ppt http://www.dainf.ct.utfpr.edu.br/~kaestner/Logica/LogicaProposicional.ppt

2 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 2 Lógica Proposicional Linguagem informal x linguagem formal (1.1); Linguagem proposicional: envolve proposições e conectivos, formando fórmulas complexas; Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir um valor verdade (verdadeiro ou falso); Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU), negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…); Não trata de relações sobre elementos de um conjunto, como “todos”, “algum”, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa.

3 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 3 Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2): Alfabeto: –Símbolos proposicionais, variáveis proposicionais ou átomos: P = { p 0, p 1, p 2, … }; –Conectivos: –unário: negação:  (NÃO); –binários: conjunção:  (E), disjunção:  (OU), implicação:  (SE…ENTÃO…); –Símbolos de pontuação: parênteses “(“e “)”.

4 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 4 Lógica Proposicional A linguagem proposicional (1.2.1): Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf): definidas indutivamente como o menor conjunto L LP com as seguintes regras de formação: –Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P  L LP ; –Caso indutivo 1: Se A  L LP então  A  L LP ; –Caso indutivo 2: Se A, B  L LP então ( A  B )  L LP, ( A  B )  L LP, e ( A  B )  L LP.

5 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 5 Lógica Proposicional Fbf’s… Exemplos … Regras para a omissão de parênteses; Precedência entre os conectivos. Subfórmulas (1.2.2); Tamanho das fórmulas (1.2.3); Expressando idéias (1.2.4); Exercícios: pp. 12-13 (* 1.6)

6 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 6 Lógica Proposicional Semântica (= significado, 1.3): Em lógica proposicional consiste na atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem; Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0); Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V : P  {0,1}.

7 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 7 Lógica Proposicional Para as fórmulas complexas: – V (  A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ; – V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1; – V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1; – V ( A  B ) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1. Matrizes dos conectivos … Exercícios (pg.16).

8 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 8 Lógica Proposicional Satisfazibilidade, Validade, Tabelas- verdade (1.4): –Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração V de seus átomos tal que V ( A ) = 1; –Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração V de seus átomos tem-se que V ( A ) = 0; –Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 1; –Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V de seus átomos é tal que V ( A ) = 0.

9 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 9 Lógica Proposicional Resultados (1.4): –Toda fbf válida é também satisfazível; –Toda fbf insatisfazível é falsificável; –Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste caso é dita contingente; –Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também não pode ser insatisfazível e satisfazível; –Se A é válida,  A é insatisfazível e reciprocamente; –Se A é satisfazível,  A é falsificável e reciprocamente.

10 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 10 Lógica Proposicional Tabelas-verdade… – ASA CALC PRO ASA CALC PRO –http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequiz/tablepractice.html ;http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequiz/tablepractice.html –http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table ;http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table –http://www.brian-borowski.com/Truth/.http://www.brian-borowski.com/Truth/ – Mais na página da disciplina na Wiki do DAINF-UTFPRpágina da disciplina na Wiki do DAINF-UTFPR Exercícios (pg. 20).

11 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 11 Lógica Proposicional Conseqüência lógica (1.5): Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1; De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf  ={ A 1, A 2 … A n }, denotando-se por  |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de  também satisfaz B.

12 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 12 Lógica Proposicional Conseqüência lógica: Exemplo: Modus ponens: p, ( p  q ) |= q. Teorema da dedução: , A |= B sse  |= A  B. Mais exemplos…

13 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 13 Lógica Proposicional Equivalência lógica: Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A  B sse A |= B e B |= A ; Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas; Definição: A  B  ( A  B )  ( B  A ) Teorema: A  B sse A  B é tautologia.

14 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 14 Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.1): Algumas equivalências notáveis:   p  p (dupla negação); p  q   p  q (definição de  em função de  e  );  ( p  q )  (  p   q ) e  ( p  q )  (  p   q ); (Leis de De Morgan) p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) (distributividade de  sobre  ); p  ( q  r )  ( p  q )  ( p  r ) (distributividade de  sobre  ).

15 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 15 Lógica Proposicional Equivalência lógica (1.5.2) : (Re)definições de conectivos em função de  e  : p  q   p  q   (  p  q ); p  q   (  p   q ). É possível se definir todos os conectivos em função de um só ?

16 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 16 Lógica Proposicional Ver http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/Novo4.pdfhttp://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/Novo4.pdf “Barras de Sheffer” ou “conectivos de Sheffer” são simbolizados por: – # (negação conjunta) e – | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela: p q p # q p | q 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 00 1 1

17 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 17 Lógica Proposicional Fazendo: –  p = (p # p), e – p  q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os conectivos  e  a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses. Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas. Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q =  (p  q) e p | q =  (p  q):

18 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 18 Lógica Proposicional Exercícios (pg. 27).

19 Lógica para Computação (IF61B) 23/9/2016Prof. Celso A A Kaestner 19 Lógica Proposicional Desafios da Lógica Proposicional (1.6) SAT Problemas NP-completos –P=NP? (1 milhão de dólares!) –Chute vs. solução bem pensada –Vários problemas, todos redutíveis uns aos outros

20 Lógica para Computação (IF61B) Referências SILVA, Flávio S. C. da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana C. V. de. Lógica para Computação. São Paulo: Thomson Learning, 2006. –Os números em vermelho (por exemplo 1.6 ) ao lado de um tema indicam onde encontrar (capítulo e seção) neste livro o tema.