Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional

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1 Pesquisa Operacional Livro: Introdução à Pesquisa Operacional
Capítulo 2 - Programação Linear Marcos Antonio Estremote – FIRB

2 Sumário Modelagem e limitações da Programação Linear.
Resolução Gráfica. Forma padrão de um modelo de Programação Linear. Definições e Teoremas. Forma canônica de um sistema de equações lineares. Método Simplex. Exercícios

3 Programação Linear Programação Linear:
Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas associados com modelos lineares. Modelo de Programação Linear: Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com relação as variáveis de decisão do modelo. Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de decisão do modelo.

4 Modelagem em Programação Linear
Razões para o uso da Programação Linear: Grande variedade de situações podem ser aproximadas por modelos lineares. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução de modelos lineares. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos dados do modelo. Estágio de desenvolvimento da tecnologia computacional.

5 Modelagem em Programação Linear
Passos básicos na obtenção de modelos de PL: Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia algébrica. Identificar as restrições do problema, expressá-las como equações ou inequações lineares em termos das variáveis de decisão. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo como função linear em termos das variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou minimizada.

6 Modelagem em Programação Linear
Construção de modelos não é uma ciência, mas uma arte, podendo ser melhorada com a prática. Exemplos a serem trabalhados: Determinação do mix de produção Seleção de mídia para propaganda Um problema de treinamento Uma indústria química Uma oficina mecânica Dimensionamento de equipes de inspeção

7 Modelagem em Programação Linear Determinação do mix de produção
Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos – mão-de-obra e material. A companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os dados a seguir: O suprimento de material é de 200 kg por dia. A disponibilidade diária de mão-de-obra é 150 horas. Formule um modelo de Programação Linear para determinar a produção diária de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia. Modelo A B C Mão-de-obra (horas por unidade) 7 3 6 Material (kg por unidade) 4 5 Lucro ($ por unidade) 2

8 Modelagem em Programação Linear
Formulação do modelo Identificação das variáveis de decisão: XA – produção diária do modelo A XB – produção diária do modelo B XC – produção diária do modelo C Identificação das restrições: (Limitação de mão-de-obra) XA + 3XB + 6XC  150 (Limitação de material) XA + 4XB +5XC  200 (Não-negatividade) XA  0, XB 0, XC  0. Identificação do objetivo: maximização do lucro total Lucro Total = L = 4XA + 2XB +3XC Max L = 4XA + 2XB +3XC

9 Modelagem em Programação Linear
Modelo Encontrar números XA, XB, XC tais que: Max L= 4XA + 2XB +3XC Sujeito as restrições: 7XA + 3XB +6XC  XA + 4XB +5XC  200 XA  0, XB 0, XC  0

10 Modelagem em Programação Linear Seleção de mídia para propaganda
Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em: TV horário Rádio Revistas normal nobre Custo 40.000 75.000 30.000 15.000 Clientes Atingidos Mulheres Atingidas 0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.

11 Modelagem em Programação Linear
A companhia não quer gastar mais de $ e, adicionalmente, deseja: (1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; (2) Gastar no máximo $ com TV; (3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV; (4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV; (5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para cada meio de divulgação. Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes.

12 Modelagem em Programação Linear
Resolução do exemplo “seleção de mídia para propaganda” Variáveis de decisão: X1 = nº. de exposições em horário normal na tv. X2 = nº. de exposições em horário nobre na tv. X3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio X4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas. Função-objetivo: “Maximizar nº. de clientes atingidos” Max Z = X X X X4

13 Modelagem em Programação Linear
Restrições: Orçamento: 40.000X X X X4  Mulheres atingidas: X X X X4  Gasto com TV 40.000X X2  Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas X1  3, X2  2, 5  X3  10, 5  X4  10 Não-negatividade X1, X2, X3, X4  0.

14 Exercícios Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro? Encontre a solução ótima do problema, e interprete sua resposta. Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.

15 Exercícios Uma confeitaria produz dois tipos de bolos de soverte: chocolate e creme. Cada lote de bolo de chocolate é vendido com um lucro de 3 u.m e os lotes de bolo de creme com um lucro de 1 u.m . Contratos com várias lojas impõem que sejam produzidos no mínimo 10 lotes de bolos de chocolate por dia e que o total de lotes fabricados nunca seja menos que 20. O mercado só é capaz de consumir até 40 lotes de bolos de creme e 60 de chocolate. As máquinas de preparação do sorvete disponibilizam 180 horas de operação, sendo que cada lote de bolos de chocolate consomem 2 horas de trabalho e cada lote de bolos de creme 3 horas. Formule apenas o modelo do problema.

16 Exercícios A Fashion Things Ltda. É uma pequena empresa fabricante de diversos tipos de acessórios femininos, entre eles bolsas de modelos diferentes. A empresa foi convencida, pelo seu distribuidor, de que existe mercado tanto para bolsas do modelo padrão (preço médio) quanto para as bolsas do modelo luxo (preço alto). A confiança do distribuidor é tão acentuada que ele garante que ele ir· comprar todas as bolsas que forem produzidas nos próximos três meses. Uma análise detalhada dos requisitos de fabricação resultaram na especificação da tabela abaixo, a qual apresenta o tempo despendido (em horas) para a realização das quatro operações que constituem o processo produtivo, assim como o lucro estimado por tipo de bolsa:

17 Exercícios A indústria Alumilândia S/A iniciou suas operações em janeiro de 2001 e já vem conquistando espaço no mercado de laminados brasileiro, tendo contratos fechados de fornecimento para todos os 3 tipos diferentes de lâminas de alumínio que fabrica: espessuras fina, média ou grossa. Toda a produção da companhia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra no Rio de Janeiro. Segundo os contratos fechados, a empresa precisa entregar 16 toneladas de lâminas finas, 6 toneladas de lâminas médias e 28 toneladas de Lâminas grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilândia S/A., há uma demanda extra para cada tipo de lâminas. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção diária de R$ ,00 para cada capacidade produtiva de 8 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 2 tonelada de Lâminas grossas por dia. O custo de produção diária da fábrica do Rio de Janeiro é de R$ ,00 para cada produção de 2 toneladas de lâminas finas, 1 tonelada de lâminas médias e 7 tonelada de Lâminas grossas por dia. Quantos dias cada uma das fábricas dever· operar para atender aos pedidos ao menor custo possível? Elabore o modelo.

18 Exercícios Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele já transporta 200 caixas de laranjas a 20 u.m de lucro por caixa por mês. Ele necessita transportar pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma dever· ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo?

19 Até a Próxima Aula!!!! Aula 3

20 Modelagem em Programação Linear
O encarregado pela oficina deseja manter uma carga balanceada nas máquinas de modo que nenhuma delas seja usada mais que 30 minutos por dia que qualquer outra, sendo o carregamento de fresamento dividido igualmente entre as 05 fresas. Achar um modelo de PL para dividir o tempo de trabalho entre as máquinas de modo a obter o máximo de conjuntos completos ao final de um dia, num total de 08 horas de trabalho.

21 Modelagem em Programação Linear
Resolução do exemplo: Oficina mecânica Variáveis de decisão: X1 = número de partes 1 produzidas por dia X2 = número de partes 2 produzidas por dia Restrições: 3X1 + 5X2  480 (minutos por dia disponíveis para a furadeira) (20X1 + 15X2)/5 = 4X1 + 3X2  480 (minutos por dia disponíveis para cada fresa)

22 Modelagem em Programação Linear
Problema de dimensionamento de equipes de inspeção Uma companhia deseja determinar quantos inspetores alocar à uma dada tarefa do controle da qualidade. As informações disponíveis são: Há 08 inspetores do nível 1 que podem checar as peças a uma taxa de 25 peças por hora, com uma acuracidade de 98%, sendo o custo de cada inspetor deste nível $4 por hora; Há 10 inspetores do nível 2 que podem checar as peças a uma taxa de 15 peças por hora, com uma acuracidade de 95%, sendo o custo de cada inspetor deste nível $3 por hora.

23 Modelagem em Programação Linear
A companhia deseja que no mínimo 1800 peças sejam inspecionadas por dia (= 08 horas). Sabe-se, ainda, que cada erro cometido por inspetores no controle da qualidade das peças acarreta um prejuízo à companhia de $2 por peça mal inspecionada. Formular um modelo de PL para possibilitar a designação ótima do nº. de inspetores de cada nível de modo a otimizar o custo da inspeção diária da companhia.

24 Modelagem em Programação Linear
Resolução do exemplo: Dimensionamento de equipes de inspeção Variáveis de decisão: Xi = nº. de inspetores do nível i (= 1, 2) alocados à inspeção. Função objetivo: Minimizar C = custo total diário de inspeção ($/dia) onde : custo total = custo do salário dos inspetores + custo dos erros Min C = 8 *[(4X1 + 3X2) + 2 * (25*0,02X1 + 15*0,05X2)] Min C = 40X1 + 36X2

25 Modelagem em Programação Linear
Restrições: Quanto ao nº. de inspetores disponíveis: X1  (inspetores do nível 1) X2  (inspetores do nível 2) 2. Quanto ao nº. de peças inspecionadas por dia: 8 * (25X1 + 15X2)   X1 + 3X2  45 3. Restrições implícitas de não negatividade: X1  0 X2  0.

26 Resolução gráfica de modelos de PL
Aplicável para modelos com 02 variáveis de decisão Útil para a ilustração de alguns conceitos básicos utilizados na resolução de modelos de maior porte. Etapas a serem seguidas na resolução gráfica 1º Passo: identificar a região viável do modelo, isto é, quais são os pares (X1, X2) que satisfazem a todas as restrições. 2º Passo: achar a melhor solução viável, denominada Solução Ótima e denotada por (X1*, X2*), que leva ao valor ótimo da função-objetivo Z*.

27 Resolução gráfica de modelos de PL Problema de mix de Produção
Fabricação de dois modelos de brinquedos: B1 e B2. Lucros unitários/dúzia: $8 para B1 e $5 para B2 Recursos disponíveis: 1000 kg de plástico especial. 40 horas para produção semanal. Requisitos do Departamento de Marketing: Produção total não pode exceder 700 dúzias; A quantidade de dúzias de B1 não pode exceder em 350 a quantidade de dúzias de B2. Dados técnicos: B1 requer 2 kg de plástico e 3 minutos por dúzia. B2 requer 1 kg de plástico e 4 minutos por dúzia.

28 Resolução gráfica de modelos de PL
A Gerência está procurando um programa de produção que aumente o lucro da Companhia.

29 Resolução gráfica de modelos de PL
Variáveis de decisão: X1: produção semanal de B1 (em dúzias). X2: produção semanal de B2 (em dúzias). Função Objetivo: Maximizar o Lucro semanal

30 Resolução gráfica de modelos de PL
Max 8X1 + 5X2 (Lucro semanal) sujeito a: 2X1 + 1X2 ≤ (Plástico - Kg) 3X1 + 4X2 ≤ (Tempo de produção - minutos) X1 + X2 ≤ (Produção total) X X2 ≤ (mix) Xj  0, j = 1, (Não negatividade)

31 Resolução gráfica de modelos de PL
Conceitos importantes: Os pontos (X1, X2) que satisfazem todas as restrições do modelo formam a Região Viável. Esses pontos são chamados de Soluções Viáveis. Usando a resolução gráfica pode-se representar todos as restrições (semi-planos), a função objetivo (reta) e os três tipos de pontos viáveis.

32 Resolução gráfica de modelos de PL
1º Passo: Traçar eixos cartesianos, associando a cada um deles uma variável de decisão. No exemplo de fabricação de brinquedos: X1 para o eixo das abscissas e X2 para o eixo das ordenadas. As restrições de não-negatividade, X1  0 e X2  0, implicam que os pares (X1, X2) viáveis estão no 1º quadrante dos eixos considerados.

33 Resolução gráfica de modelos de PL
2º Passo: Observar que a função-objetivo, ao se fixar um valor para Z, representa uma reta. Alterações neste valor de Z gera uma família de retas paralelas. No exemplo dos brinquedos: considere a reta obtida fazendo Z= 2000, isto é , a reta dada por 8X1 + 5X2 = Percebe-se que ao se traçar retas paralelas no sentido de ficar mais afastado da origem (0, 0), o valor de Z aumenta. De fato pode-se verificar que a reta paralela, que contém algum ponto da região viável, no caso o ponto ótimo X* = (320, 360), e está mais afastada da origem, corresponde a um valor ótimo da função objetivo Z* = 4360.

34 Resolução gráfica de modelos de PL
Representando as condições de não negatividade X2 X1

35 Resolução gráfica de modelos de PL
Observar que no exemplo dos brinquedos, as restrições correspondem a semi-planos associados, respectivamente, às retas suportes dadas por: 2X1 + 1X2 = 1000 3X1 + 4X2 = 2400 X1 + X2 = 700 X X2 = 350 Xj  0, j = 1,2 Notar que cada reta suporte define dois semi-planos no espaço (X1, X2). Para identificar qual destes semi-planos é de interesse no caso, ou seja, contém os pontos que satisfazem a desigualdade da restrição, basta testar algum ponto à esquerda ou à direita (acima ou abaixo) da reta suporte da desigualdade. Um ponto que torna isto fácil é a origem (0, 0), mas poderia ser qualquer outro. Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá

36 Resolução gráfica de modelos de PL
X2 1000 Restrição do plástico 2X1+X2 £ 1000 700 Restrição da produção total X1+X2 £ 700 (redundante) 500 Inviável Viável Tempo de produção 3X1+4X2 £ 2400 X1 500 700

37 Resolução gráfica de modelos de PL
X2 1000 Restrição do plástico 2X1+X2 £ 1000 700 Restrição da produção total: X1+X2 £ 700 (redundante) 500 Inviável Restrição do mix da produção: X1-X2 £ 350 Viável Tempo de Produção 3X1+4X2 £ 2400 X1

38 Resolução gráfica de modelos de PL Há três tipos de pontos viáveis.
X2 1000 700 500 Inviável Viável X1 500 700 Pontos interiores. Pontos na fronteira. Pontos extremos. Há três tipos de pontos viáveis.

39 A busca por uma Solução Ótima:
Resolução gráfica de modelos de PL A busca por uma Solução Ótima: Começar com algum valor de lucro arbitrário, Por exemplo $ X2 1000 Depois aumentar o lucro, se possível... ...e continuar até que seja inviável 700 X* = (320, 360) com Z* = 4.360 600 X1 500

40 Pontos extremos e Soluções Ótimas
Resolução gráfica de modelos de PL Pontos extremos e Soluções Ótimas Se o problema de Programação Linear tem uma Solução Ótima, um ponto extremo é Solução Ótima.

41 Resolução gráfica de modelos de PL Visualização de situações possíveis
Solução única X1 Z Z* X2 Solução ilimitada Z X2 X1

42 Soluções Ótimas Múltiplas
Resolução gráfica de modelos de PL Soluções Ótimas Múltiplas Quando a função objetivo é paralela a alguma restrição. Todos os pontos do segmento de reta serão Soluções Ótimas. X*1 X* = X*1 + (1 - )X*2, com 0    1 X*2

43 Resolução gráfica de modelos de PL
X* Z Z* X2 X2 X1 Múltiplas Soluções Ótimas 2 Semi-reta Ótima Z* X* X1 Múltiplas Soluções Ótimas 1 – Segmento de Reta Ótimo

44 Resolução gráfica de modelos de PL
X2 X1 O conjunto viável é vazio. Há restrições incompatíveis. Problema inviável

45 Forma padrão de modelo de PL
Um modelo de PL com m restrições e n variáveis está na forma padrão se possuir as características abaixo: A função-objetivo é de minimização ou maximização; Todas as restrições estão na forma de igualdade; Todas as variáveis são não-negativas; As constantes de cada restrição são não-negativas.

46 Forma padrão de modelo de PL Modelo na forma padrão:
Minimizar (ou maximizar) Z = C1 X1 + C2 X Cn Xn Sujeito a:

47 Forma padrão de modelo de PL
Notação matricial para um modelo na forma padrão: Minimizar (ou maximizar) Z = C X Sujeito a: Onde: A (m x n)  matriz de coeficientes tecnológicos X (n x 1)  vetor das variáveis de decisão b (m x 1)  vetor de demandas C (1 x n)  vetor de custos (lucros)

48 Forma padrão de modelo de PL
Redução de um modelo geral para a forma padrão O Método Simplex exige que o modelo esteja na forma padrão. Tratando com restrições na forma de inequações: Estas restrições são transformadas em equações através da introdução de novas variáveis (não-negativas), chamadas de “variáveis de folga”.

49 Forma padrão de modelo de PL Tratando com variáveis não-positivas:
Suponha que num determinado modelo há uma variável X1  0. Basta substituí-la no modelo por uma nova variável não-negativa X1’  0, dada por X1’ = – X1.

50 Forma padrão de modelo de PL
Exemplo: Considere o problema de dimensionamento de equipes de inspeção: X1  8  X1 + X3 = 8, X3  0 é uma variável de folga. X2  10  X2 + X4 = 10, X4  0 é uma variável de folga. 5 X1 + 3 X2  45  5 X1 + 3 X2 – X5 = 45, X5  0 é uma variável de folga.

51 Forma padrão de modelo de PL
Interpretação das variáveis de folga no exemplo: X3 = número de inspetores do nível 1 não utilizados. X4 = número de inspetores do nível 2 não utilizados. X5 = número (extra) de peças inspecionadas por dia, acima da quantidade mínima (1800) especificada pela empresa Variáveis de folga fornecem informações úteis sobre o problema.

52 Forma padrão de modelo de PL
Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal): Em algumas situações exige-se o uso de variáveis que podem assumir tanto valores positivos, nulos, e negativos. Estas variáveis são chamadas de livres (free) ou irrestritas em sinal. Exemplo: Modelo de Planejamento Macroeconômico Uma das Variáveis de Decisão é a Taxa de Inflação que pode assumir qualquer valor positivo, nulo ou negativo (neste caso é conhecida como Deflação).

53 Tratando com variáveis livres (irrestritas em sinal):
Estas variáveis devem ser eliminadas do modelo na forma padrão. Há, pelo menos, duas maneiras de se fazer isto: 1. Por substituição – utilizando uma das restrições do modelo, já na forma padrão (igualdade), procura-se expressar a variável livre como função das demais variáveis (não negativas) do modelo. A seguir eliminar a variável livre do modelo substituindo-a pela função escolhida na etapa anterior. A equação utilizada para expressar a variável livre como função das demais variáveis também será eliminada do modelo. 2. Por transformação – Suponha que a variável livre é S. Basta substituir em todas as restrições, e na função objetivo, a variável S por S = S’ – S”, com S’  0 e S”  0 sendo duas novas variáveis (auxiliares) no modelo.

54 Forma padrão de modelo de PL
Exemplo Completo Obtenha a forma padrão do modelo abaixo: Maximizar Z = X1 – 2X2 + 3X3 Sujeito a:

55 Forma padrão de modelo de PL
1. Introduzir variáveis de folga nas restrições (1) e (2): X1 + X2 + X3 + X4 = 7 (1’) com X4  0. X1 – X2 + X3 – X5 = 2 (2’) com X5  0. 2. Multiplicar a restrição (3) por (– 1) para eliminar b3 = – 5 < 0: –3X1 + X2 + 2X3 = (3’) 3. Substituir X2 0 por X2’  0 através de X2’ = – X2: Max Z = X1+ 2 X2’ + 3 X3 Sujeito a:

56 Forma padrão de modelo de PL
4. Eliminar X3: 4.1. Substituição ou Transformação Max Z = -2X1 + 5X2’ - 3X ou Max Z = X1 + 2X2’ + 3X3’ - 3X3’ s. a: s. a: Usando De (1’’): X3 = 7 – X1 + X2’ – X ou X3 = X3’ – X3’’

57 Definições e Teoremas em PL
Ponto central na resolução de modelos de PL é a solução de sistemas de equações lineares. Apresenta-se a seguir o Método de Eliminação de Gauss Jordan. Considere o sistema de equações abaixo: (S1) (nº variáveis >> nº equações)

58 Definições e Teoremas em PL
Conjunto solução de (S1) é a coleção de todos os valores de (X1, X2, X3, X4, X5) que satisfazem as equações (1) e (2) conjuntamente. Dois sistemas são equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução. Sistemas equivalentes podem ser obtidos por meio de operações elementares sobre as linhas do sistema: 1. Multiplicar (dividir) qualquer equação por um nº. 2. Adicionar à qualquer equação uma Combinação Linear das demais equações.

59 Forma Canônica Um sistema (S2) equivalente a (S1) pode ser obtido multiplicando-se a equação (1) por – 1 e adicionando-se o resultado à equação (2): (S2) Um sistema (S3) equivalente a (S1) pode ser obtido multiplicando-se equação (4) por 2 e adicionando-se o resultado à equação (3): (S3) (S3) é denominado uma forma canônica do sistema original (S1).

60 Forma Canônica Considere uma forma canônica de um sistema de equações lineares: (como (S3) anteriormente obtido) Uma variável é dita ser variável básica para uma dada equação do sistema se ela possuir coeficiente 1 nesta equação e coeficientes nulos nas demais equações do sistema. Exemplo: em (S3) X1 e X2 são variáveis básicas Variáveis que não satisfazem a condição acima são chamadas de variáveis não-básicas. Exemplo: em (S3) X3, X4, X5 são variáveis não-básicas.

61 Solução Básica A solução de um sistema na forma canônica, obtida fazendo-se as variáveis não-básicas iguais a zero, é chamada de uma solução básica (SB). Nº máximo de soluções básicas = Exemplo: Em (S3) fazendo-se X3 = X4 = X5 = 0  X1 = 6 e X2 = 2 formam uma solução básica. Nº de soluções básicas = = 10 Uma Solução Básica Viável (SBV) de um sistema é uma solução básica onde todas as variáveis assumem valores não-negativos. Exemplo: a solução básica do exemplo anterior é uma SBV.

62 Pivoteamento Operações de Pivoteamento são as operações elementares aplicadas à um sistema para transformar uma dada variável em variável básica. São usadas pelo método de eliminação de Gauss Jordan. Deve-se identificar o elemento Pivô – que deve ser transformado em 1 e os demais elementos da sua coluna que devem ser transformados em 0. Para obter uma forma canônica de um sistema basta aplicar uma sequência de operações de pivoteamento (método de Gauss Jordan) de modo se conseguir uma variável básica associada com cada equação.

63 Método de Eliminação de Gauss Jordan
Artifício para a realização de operações de pivoteamento: Considere o sistema (S) abaixo: (S) Achar (S’) uma forma canônica de (S) de modo que X1 seja a variável básica associada com a equação (1), e X3 seja a variável básica associada com a equação (2).

64 Método de Eliminação de Gauss Jordan
VB X X X b Operações Elementares Feitas X (1) - Pivô em azul X (2) X (1’) = (1)/2 - Equação do Pivô X (2’) = (2) + (1’) – Pivô em Azul X / (1’’) = (1’) - 3*(2’’) X / (2’’) = (2’)/2 – Equação do Pivô (S’) Solução básica (não é viável): X1 = – 4 (Variável básica) X3 = 2 (Variável básica) X2 = 0 (Variável não básica)

65 Teoremas em PL Teorema 1 Dado um modelo já na forma padrão, as soluções básicas viáveis do sistema de equações, correspondente às restrições do modelo, estão associadas a pontos extremos do conjunto de soluções viáveis do modelo original. Teorema 2 Se um modelo de Programação Linear possui Solução Ótima então pelo menos um ponto extremo, do conjunto de soluções viáveis do modelo original, corresponde a uma Solução Ótima.

66 Comentários Gerais Procedimento simplista para resolver um modelo de PL Gerar todas as possíveis soluções básicas viáveis. Determinar qual das soluções básicas viáveis corresponde ao melhor valor da função-objetivo. Problemas: 1. Nº de soluções básicas viáveis pode ser excessivo. 2. Modelo pode apresentar solução ilimitada ou ainda ser inviável. Observe que problemas de médio porte, que aparecem na prática, costumam envolver centenas de variáveis (valor de n) e milhares de restrições (valor de m).

67 Comentários Gerais Linhas de Pesquisa
Algoritmos de pontos interiores e suas derivações. Implementações de algoritmos para processamento em paralelo. Linguagens de modelagem: ajudar no desenvolvimento e aplicação de modelos de Pesquisa Operacional. Exemplos: AMPL - Modeling Language for Mathematical Programming - R. Fourer, D. M. Gay, and B. W. Kerningham, 1993. GAMS - General Algebraic Modeling System - J. Bisschop and A. Meeraus, 1982. What’s best - The ABC of Optimization - S. L. Savage, 1992.

68 Etapas de aplicação do Método Simplex
Procedimento iterativo que resolve qualquer modelo de PL num número finito de iterações. Indica a ocorrência de múltiplas Soluções Ótimas, solução ilimitada, e problema inviável. Etapas de aplicação do Método Simplex Considere um modelo de PL que esteja na forma padrão, e uma Solução Básica Viável inicial. O Método Simplex consiste basicamente da aplicação sucessiva de duas etapas: Etapa A: Identificação de uma Solução Ótima. Etapa B: Melhoria de uma Solução Básica Viável.

69 Método Simplex Etapa A: Identificação de uma Solução Ótima.
Verificar se a Solução Básica Viável atual satisfaz o critério de otimalidade do algoritmo: Se o critério for satisfeito termina a aplicação do método; Caso contrário deve-se aplicar a etapa B. Etapa B: Melhoria de uma Solução Básica Viável. Procurar obter uma Solução Básica Viável melhor que a atual: Determinação da variável não-básica que deve entrar; Determinação da variável básica que será substituída; Obtenção da nova Solução Básica Viável - através de operações de pivoteamento.

70 Método Simplex - Minimização
Desenvolvimento do Método Simplex Seja um modelo de PL (minimização) colocado na forma padrão: Min Z = C1 X1 + C2 X Cn Xn s. a:

71 Método Simplex - Minimização
Considere o sistema (S) abaixo: s. a: Obter, aplicando o método de eliminação de Gauss-Jordan, o sistema equivalente (S’) = uma forma canônica de (S) onde: X1 seja a variável básica referente a equação (1), X2 seja a variável básica referente a equação (2), ... Xm seja a variável básica referente a equação (m), –Z seja a variável básica referente a equação (m+1).

72 Método Simplex - Minimização
O sistema (S’), que é uma forma canônica de (S), foi obtido pelas operações de pivoteamento aplicadas às variáveis X1, X2, ..., Xm, e –Z, é dado por:

73 Método Simplex - Minimização
Em (S’) : são respectivamente os novos coeficientes das variáveis nas equações de (S’), as novas constantes nestas mesmas equações, e os novos coeficientes das variáveis na função objetivo (expressão (I)), obtidos pelas operações de pivoteamento no sistema (S). (2) Os coeficientes são denominados coeficientes de custo relativo (ou reduzido) das variáveis não-básicas da solução atual. (3) Há uma Solução Básica Viável explícita em (S’), onde: Variáveis básicas: Variáveis não-básicas: Valor da função objetivo:

74 Método Simplex - Minimização
Visualização da etapa A do Método Simplex: Teste de otimalidade da Solução Básica Viável atual. Min Z = 4X1 + X2 + X3 s. a: (S):

75 Método Simplex - Minimização
Aplicando o método de eliminação de Gauss Jordan para obter uma forma canônica (S’) associando X3 como variável básica para a equação (1), X1 para a equação (2) e –Z para a equação (3), tem-se: (S’): Solução básica viável atual Variáveis básicas: X1 = 1/2, X3 = 3/2 Variáveis não-básicas: X2 = 0 Função objetivo: Z = Z0 = 7/2

76 Método Simplex - Minimização
De (I): Z = 7/2 – 13/4 X2 Análise de otimalidade da Solução Básica Viável (SBV) atual: X2 = 0 é variável não básica Se X2 se tornar VB o valor de X2 Se X2 o valor de Z o que é desejável pois a função objetivo é de minimização Conclusão: A SBV atual não é ótima e X2 deve se tornar VB numa próxima SBV melhor que a atual. Assim X2 deve Entrar. Ir a etapa (B).

77 Método Simplex - Minimização Etapa (A) do Método Simplex
Questão: Como verificar se a Solução Básica Viável explicitada em (S’) é ótima para o modelo em estudo? Resposta: Considere a expressão (I) em (S’), dada por:

78 Método Simplex - Minimização
Analisando (I) há duas possibilidades: Se não há então a solução atual é ótima. Não haverá a aplicação da etapa (B). Fim da aplicação do Método Simplex. Se há a solução atual não é ótima. Uma variável não-básica XS, associada com um coeficiente de custo relativo negativo, deve ser transformada em variável básica numa próxima solução básica viável . Esta nova Solução Básica Viável terá um valor para a função objetivo melhor (no caso do modelo de minimização, menor) que o valor da função objetivo atual Z0. Aplicar a etapa (B).

79 Método Simplex - Minimização
Visualização da etapa B do Método Simplex (PL de Minimização): Seja uma Solução Básica Viável disponível dada por, X1 = 5, X2 = 6, X3 = X4 = 0, Z = 4, Associada ao sistema (S) abaixo: (S): Aplicando a etapa (A) tem-se: Como Desta maneira X3 deve Entrar e seu valor deverá aumentar. Observe-se que X4 não deve Entrar pois piorará o valor da F. O.

80 Método Simplex (minimização)
Problema: Até quanto aumentar o valor de X3? Análise: como X4= 0 (permanece variável não-básica), tem-se: De (1): X1 = 5 – 2X ou seja se De (2): X2 = 6 – 2X ou seja se Sabe-se que X1  0  X3  5/2 Sabe-se que X2  0  X3  6/2 Portanto X3 substituirá X1 no conjunto das variáveis básicas da nova Solução Básica Viável dada por: X3 = 5/2, X2 = 1, X1 = X4 = 0, Z = 4 - 4X3 = -6

81 Método Simplex - Minimização
Etapa (B) do Método Simplex Hipótese: Há um coeficiente de custo relativo deve-se achar uma nova Solução Básica Viável onde XS seja variável básica. Problema: Qual das atuais variáveis básicas será substituída por XS na próxima Solução Básica Viável?

82 Método Simplex - Minimização
Solução: Sejam i,s os coeficientes de XS nas equações do sistema de restrições, onde i = 1, ..., m. Procurar a equação r do sistema de restrições onde ocorra: A variável básica da Solução Básica Viável atual associada com a equação r acima será substituída por XS.

83 Método Simplex - Minimização
Artifício para aplicar as etapas (A) e (B) do Método Simplex. Considere o exemplo de minimização usado na visualização da etapa (B), já colocado numa forma canônica:

84 Método Simplex - Minimização
Operacionalização da aplicação das etapas (A) e (B):  VB X X X X b X X  (5/2)  menor quociente X1 sai (6/2) -Z  X3 entra X / / /2 X -Z Não há , assim a solução atual é ótima. Z* = - 6

85 Método Simplex - Maximização
Modelo de Programação Linear com função objetivo de maximização. Etapa (A): Solução básica viável atual será ótima Etapa (B): A variável XS que entra terá > 0, para possibilitar uma melhoria (aumento) no valor da função objetivo associado com a Solução Básica Viável atual. Importante: as operações de pivoteamento não se alteram.

86 Método Simplex (maximização)
Exemplo de modelo de maximização resolvido pelo Método Simplex. Modelo original  Modelo na forma padrão Max Z = 3X1 + 5X  Max Z = 3X1 + 5X2 s. a: s. a:

87 Método Simplex Solução Ótima Entra X2, Sai X4 Entra X1, Sai X5
VB X X X X X b X X X -Z Entra X2, Sai X4 X X X -Z Entra X1, Sai X5 X3* / / X2* X1* / / -Z* Solução Ótima X*1 = 2, X*2 = 6, X*3 = 2, X*4 = X*5 = 0, Z* = 36

88 Método Simplex Comentários Gerais
 Considere um modelo de Programação Linear na forma padrão que seja de minimização.  (1) Ocorrência de “Empate na Entrada”: Escolher para entrar a variável não-básica Xs associada ao menor valor de coeficiente de custo relativo < (Regra de entrada de Dantzig)

89 Método Simplex (2) Identificação de Solução Ilimitada:
Pode ser feita a identificação de solução ilimitada durante a aplicação da etapa (B). Se houver alguma variável não-básica Xs para entrar que tenha coeficientes  0, em todas as equações i (= 1,..., m) do sistema de restrições.

90 Método Simplex Exemplo de Modelo com Solução Ilimitada:
 Seja a Solução Básica Viável abaixo, associada a forma canônica (S):  X1 = 5, X2 = 6, X3 = X4 = 0, Z = – 4 (S): Observar que = – 4 < 0  X3 deve entrar. Quem vai sair?  De (1): X1 = 5 + 2X3 quando X3   X1 , X2 e Z De (2): X2 = 6 + 2X3 Assim o modelo apresenta solução ilimitada com Z  – .

91 Método Simplex (3) Interpretação geométrica do Método Simplex:
  Em cada iteração do Método Simplex (Etapa (A) + Etapa (B)) há um deslocamento de uma Solução Básica Viável para outra que apresenta um valor para a função objetivo melhor.   Em termos da resolução gráfica: numa iteração há a locomoção de um ponto extremo para outro ponto extremo adjacente na região viável do modelo em questão.

92 Método Simplex Exemplo: Modelo original Min Z = –3X1 – 5X2 s. a:
Região viável X1

93 Método Simplex Exemplo: Modelo original  Modelo na forma padrão
 Min Z = –3X1 – 5X  Min Z = –3X1 – 5X2 s. a: s. a: X2 Região viável X1

94 Resolução do exemplo para interpretação geométrica do Método Simplex:
 VB X X X X X b  X  X  X  -Z Quadro 1: Entra X2 Sai X4  X  X  X  -Z Quadro 2: Entra X1 Sai X5 Quadro 3 (ótimo)  X3* / /  X2*  X1* / /  -Z* Solução básica viável ótima: X1* = 2, X2* = 6, X3* = 2, X4* = X5* = 0, Z* = –36

95 Visualização das iterações
Método Simplex Visualização das iterações Quadro 3: X4 *= X5* = 0, Z* = -36, X1* = 2, X2* = 6, X3* = 2. X2 Região viável Quadro 2: X1 = X4 = 0, Z = -30, X2 = 6, X3 = 4, X5 = 6. Quadro 1: X1 = X2 = 0, Z = 0, X3 = 4, X4 = 6, X5 = 18. X1

96 Método Simplex (4) Identificação de Soluções Ótimas Múltiplas:
Considere que há uma Solução Básica Viável ótima para um modelo de minimização, ou seja, tem-se Z* = Z* e todos  0 para toda variável não-básica X s . A identificação da ocorrência de Soluções Ótimas múltiplas é feita, no Quadro Ótimo, quando há alguma variável não-básica Xj com = 0. Assim ao se escolher Xj para entrar no conjunto das variáveis básicas, não se alterará o valor ótimo Z* da função objetivo. Desta maneira, pode-se obter uma nova Solução Básica Viável ótima na qual Xj será uma variável básica. Fica caracterizada assim a existência de múltiplas Soluções Ótimas.

97 Método Simplex A seguir apresenta-se:
Exemplo:  Modelo original  Modelo na forma padrão Min Z = – X1 – 2X  Min Z = – X1 – 2X2 S. a: S. a: A seguir apresenta-se: A resolução gráfica do modelo original.   A resolução do modelo na forma padrão pelo Método Simplex.   Uma visualização das iterações desenvolvidas pelo Método Simplex sobre a região viável do modelo original.

98 Resolução gráfica do exemplo com múltiplas Soluções Ótimas
Método Simplex Resolução gráfica do exemplo com múltiplas Soluções Ótimas 3 X* (0,4) X2 = XA* 14 = XB* Z* = - 9 Z = - 6 (3,0) X1 Observação: XA* , XB* são soluções básicas viáveis ótimas, Z* = – 9 é o valor ótimo da função objetivo, a expressão geral da Solução Ótima é: X* =  XA* + (1 – ) XB* com 0    1.

99 X* =  XA* + (1 - ) XB*, com 0    1, e Z* = - 9
Método Simplex Resolução do modelo na forma padrão VB X X X X X b X X X -Z Quadro 1: Entra X2 e Sai X4 X X X -Z Quadro 2: Entra X1 e Sai X5 X3* X2* X1* -Z* Quadro 3: Ótimo (XA*) Solução ótima geral: X* =  XA* + (1 - ) XB*, com 0    1, e Z* = - 9 X4* / / X2* / / X1*  -Z* Quadro 4 Ótimo (XB*)

100 Visualização das iterações do Método Simplex
Quadro 3: X4* = X5* = 0, X1* = 1, X2* = 4, X3* = 2, Z* = -9 X* =  XA* + (1 -) XB*, onde 0    1 X2 XA Quadro 2: X1 = X4 = 0, X2 = 4, X3 = 3, X5 = 1, Z = -8 Quadro 4: X3* = X5* = 0, X1* = 3, X2* = 3, X4* = 1, Z* = -9 É o caso, em termos de resolução gráfica, de um segmento de reta ótimo. X* XB (0,0) X1 Quadro 1: X1 = X2= 0, X3 = 3, X4 = 4, X5 = 9, Z = 0

101 Observação importante:
Método Simplex Observação importante: Se no Quadro 3, na coluna da variável X4 não houvesse algum coeficiente , não se poderia efetuar o pivoteamento; Então este é o caso, em termos da resolução gráfica, que a Solução Ótima é uma semi-reta, da forma X* = XA* com   1 .

102

103 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Considere um modelo de Programação Linear que esteja na forma padrão Se todas as restrições do modelo original (ainda não colocado na forma padrão) forem desigualdades do tipo “  “, tem-se uma forma canônica inicial (ou seja, uma Solução Básica Viável inicial) evidente, onde as variáveis básicas serão as variáveis de folga introduzidas para a redução das desigualdades para equações equivalentes. Se alguma restrição do modelo original for uma igualdade “=“, ou ainda desigualdade do tipo “  “, a condição acima não ocorrerá e não haverá uma Solução Básica Viável inicial explícita. Quando não há uma Solução Básica Viável inicial deve-se utilizar algum procedimento de inicialização para o Método Simplex.

104 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
 (1) Método das Duas Fases.  Fase 1:   (a) Construção e resolução de um modelo artificial (b) Análise da Solução Ótima do modelo artificial  Fase 2: Resolução do modelo original utilizando como solução inicial a Solução Ótima do modelo artificial. (2) Método do Big M .   Introduz variáveis artificiais, nas equações do sistema de restrições (exatamente como o método das duas fases), e na função objetivo original com coeficientes penalizantes adequados, isto é, M >>0 para minimização e –M <<0 para maximização.  A seguir apresenta-se as bases do Método das Duas Fases para inicialização do Método Simplex.

105 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Desenvolvimento do Método das Duas Fases  Considere que o modelo de Programação Linear na forma padrão abaixo não apresenta uma Solução Básica Viável inicial, isto é, não há uma forma canônica evidente.  Modelo original (na forma padrão)  Min Z = C1 X1 + C2 X Cn Xn s.a:

106 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Fase 1: Construção e resolução de um modelo artificial O modelo artificial, a partir das equações do sistema de restrições do modelo original será:   com Y1, Y2, ..., Ym sendo as variáveis artificiais não negativas.  Min W = Y1 + Y Ym s. a: A F. O. artificial sempre será de Minimização, qualquer que seja o Modelo Original.

107 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Observe que o modelo artificial está na forma padrão com Solução Básica Viável inicial: X1 = X2 = ... = Xn = (variáveis não-básicas) Y1 = b1, Y2 = b2, ..., Ym = bm (variáveis básicas) W = b1 + b bm. Analisando o valor ótimo da função objetivo W* do modelo artificial pode-se concluir: Caso 1: Se W*  0  há pelo menos uma variável básica artificial Yj com valor  0. Nesta situação conclui-se que o sistema de restrições do modelo original depende destas variáveis artificiais não nulas para ser satisfeito. Assim o Modelo Original é inviável. Não há a fase 2.

108 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Caso 2: se W* = 0  Y1* = Y2* = ... = Ym* = 0. Conclui-se que o sistema de restrições do Modelo Original pode ser satisfeito apenas com as variáveis Xi.   Desta forma o Modelo Original é viável. Subcaso 2.1: se todas as variáveis artificiais são não-básicas na Solução Ótima do modelo artificial.   Basta eliminar todas as variáveis artificiais, substituir a função objetivo artificial pela original, e iniciar a fase 2.

109 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Subcaso 2.2: se alguma variável artificial permanece como variável básica na Solução Ótima do modelo artificial. Observe que estas variáveis devem ser nulas, pois W* = 0. Deve-se, através de operações de pivoteamento, substituir estas variáveis artificiais básicas por variáveis originais, eliminar todas as variáveis artificiais não básicas, substituir a função objetivo artificial pela original, e iniciar a fase 2. Se não é possível substituir alguma variável artificial básica por uma variável original (pela inexistência de elemento pivot), basta eliminar a equação associada com a variável artificial em questão (a equação é uma combinação linear das demais equações do modelo original).

110 Visualização das iterações
Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases Visualização das iterações Modelo Min Z = -3X1 - 5X2 s. a:

111 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases  Modelo  Modelo na forma padrão   Min Z = -3X1 - 5X  Min Z = -3X1 - 5X2 s. a: s. a:

112 Procedimentos de inicialização para o Método Simplex
Fase 1: construção do Modelo Artificial  Min W = Y1 s. a: X X = 4 X X = 6 3X1 + 2X – X5 + Y1 = 18 Xi ≥ 0, i = 1,5; Yi ≥ 0 Solução básica viável inicial para o Modelo Artificial:  X1 = X2 = X5 = 0 (variáveis não-básicas)  X3 = 4, X4 = 6, Y1 = 18 (variáveis básicas)  W = 18

113 Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases
Fase 1: Resolução do Modelo Artificial VB X X X X X Y b X Adequar a X função Y objetivo -W Transformar em Zeros os coeficientes das variáveis artificiais na F. O. X X Quadro 1 Y -W Fase 1: Análise da Solução Ótima do Modelo Artificial W* = 0 Caso 2.1: Modelo Original viável. Não há variáveis básicas artificiais. Eliminar variáveis artificiais, substituir função objetivo artificial pela original. Iniciar fase 2. X   X Quadro 2 Y -W X X / / / Quadro 3   X / / / -W*

114 Exemplo de aplicação do Método das Duas Fases
Fase 2: Resolução do Modelo Original  VB X X X X X b X Adequar a X / / função X / / objetivo -Z Coeficientes de variáveis básicas na F. O. devem ser Zero X X / / Quadro 3’ X / / -Z / / Solução ótima (única) do Modelo Original: X1* = 4, X2* = 6, X5* = 6, X3* = X4* = 0, Z* = -42 X1* X5* Quadro 4 X2* (Ótimo) -Z*

115 Visualização da Iterações do Método das Duas Fases
Quadro 1: W = 18, Z = 0 (4, 0) Quadro 2: W = 6, Z = -12 X1 (4, 3) Quadro 4: Ótimo, Z* = -42 Região Viável X2 (2, 6) (4, 6) Quadro 3= Quadro 3’: W = 0, Z = -27

116 SIM

117 Exercícios: Resolver graficamente e pelo Simplex
Min Z = X1 + 2 X2 X1 + X2 ≥ 3 s. a: 2X1 + X2 ≤ 2 X1, X2 ≥ 0 (R: Inviável) Max Z = 6X X2 3X1 + 5X2 ≤ 15 s. a: 5X1 + 2X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0 R: há mais de uma solução ótima (Segmento de reta ótimo)

118 Exercícios 3. Max Z = 2X1 + 2X2 X1 - X2 ≥ -1 s. a: - ½ X1 + X2 ≤ 2
X1, X2 ≥ 0 (R: Solução ilimitada) 4. Max Z = X1 + X2 X1 + 4X2 ≥ 4 s. a: 3X1 + X2 = 1 X1, X2 ≥ 0 Comentário: Fica a Variável Artificial na solução ótima do Problema Artificial como Variável Básica, ela sai por pivoteamento.

119 Exercícios 5. Max Z = X1 + X2 2X1 + 3X2 = 5 s. a: - 6X1 - 9X2 = - 15
X1 – X2 ≥ Comentário: 1a. equação é X1, X2 ≥ combinação linear das demais. 6. Max Z = - 4X1 + X2 3X1 + X2 ≥ 3 s. a: X1 - X2 ≤ - 1 4X1 – X2 ≥ - 4 X1, X2 ≥ 0 R: Há mais de uma solução ótima (Semi-reta ótima)

120 7. Max Z = 3X1 – 5X2 s.a: -3X1 + 5X2  0 X1 – 2X2  -2 Xi  0, i = 1,2
Exercícios 7. Max Z = 3X1 – 5X2 s.a: -3X1 + 5X2  0 X1 – 2X2  -2 Xi  0, i = 1,2 R: Há mais de uma solução ótima (Semi-reta ótima)