GRANDES MOMENTOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

GRANDES MOMENTOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

O QUE É A MATEMÁTICA A Humanidade vive atualmente em um mundo dominado por tecnologias dos mais diversos tipos. O desenvolvimento de tais tecnologias decorreu da compreensão e do domínio que o Homem adquiriu sobre os fenômenos do mundo físico e isso só foi possível porque dispomos de um poderoso e eficiente arsenal matemático, acumulado ao longo de mais de 4 milênios. A palavra MATEMÁTICA vem de uma raiz grega que significa “saber” e era entendida como “aquilo que é ensinado”. Os pitagóricos chamavam de “mathematikoi” os estudantes que viviam permanentemente na Sociedade, em contraste com os “akousmatikoi”, ou seja, os ouvintes externos. Àquela época (circa 500 a.C.), a Matemática abrangia 4 áreas: Aritmética, Geometria, Astronomia e Música. A maneira mais simples de se “definir” a Matemática é dizer que ela é o ESTUDO DAS QUANTIDADES E DAS FORMAS, com isso abrangendo genericamente a Aritmética e a Geometria.

FAZEMOS OU DESCOBRIMOS A MATEMÁTICA?
O QUE É A MATEMÁTICA Entretanto, existem hoje catalogados cerca de ramos da Matemática, dentro dos quais publicam-se anualmente cerca de novos teoremas, o que faz com que aquela “definição” e todas as demais que foram propostas não consigam abranger tudo o que os matemáticos consideram fazer parte de seu campo de atuação. Diante disso, alguns especialistas propõem que a própria Matemática seja considerada um conceito primitivo, indefinível, ou seja: A MATEMÁTICA É AQUILO QUE OS MATEMATICOS FAZEM. A força com que a Matemática vem permitindo ao Homem compreender e dominar (ainda que parcialmente) o mundo físico, suscitou há cerca de 25 séculos outra pergunta de aparência bastante simples mas que até agora permanece sem resposta conclusiva: FAZEMOS OU DESCOBRIMOS A MATEMÁTICA?

OS PRIMÓRDIOS DA MATEMÁTICA
15 bilhões de anos Big Bang dá origem ao Universo 2 bilhões de anos Primeiras formas de vida, no mar 500 milhões de anos A vida migra para a terra 200 milhões de anos Começa a era dos Dinossauros 65 milhões de anos Fim súbito dos dinossauros 50 milhões de anos Ancestrais dos primatas 30 milhões de anos Ancestrais dos primatas superiores 6 milhões de anos Hominídeos adotam postura bípede 2 milhões de anos Primeiro membro da família Homo, o Homo Habilis, na África

1,6 milhões de anos Homo Erectus, que dominou o fogo e saiu da África. 250 a 200 mil anos Surge na África nossa espécie, o Homo Sapiens Sapiens (HSS). 100 mil anos O HSS deixa a África e começa a povoar o planeta. 35 mil anos O HSS chega à Europa. 20 mil anos Arco e flecha, lâmpadas a óleo, agulha de coser, pinturas em cavernas, comércio rudimentar. 14 mil anos Domesticação dos animais, diminuição do nomadismo. 11 mil anos (9.000 a.C) .. A Agricultura surge na Mesopotâmia, onde hoje é o Iraque. Primeiras cidades. Comércio. Governos. Impostos. 5.000 a.C Irrigação. 4.000 a.C Metalurgia do cobre. 3.500 a.C Carroças com rodas na Mesopotâmia.

3.500 – a.C Os sumérios inventam a escrita cuneiforme 3.000 a.C Os egípcios inventam os hierógligos 2.700 – a.C Construção das grandes pirâmides no Egito Àquelas alturas, conhecimentos práticos de Geometria e Aritmética, acumulados empiricamente ou por meio de algum raciocínio não sistematizado, estavam sendo utilizados rotineiramente. Tais conhecimentos, entretanto, não estavam organizados dentro de qualquer estrutura teórica. A MATEMÁTICA É FRUTO DA REVOLUÇÃO AGRÍCOLA, QUE DISPAROU UM LONGO PROCESSO DE URBANIZAÇÃO DA HUMANIDADE E INTENSIFICOU O COMÉRCIO ENTRE AS PESSOAS.

MESOPOTÂMIOS, EGÍPCIOS E CHINESES
Há indícios de que a Matemática mesopotâmica seja mais antiga do que a egípcia. Ela começou com os sumérios, no 4° milênio a.C.. Os sumérios foram conquistados pelos acádios (circa a.C.), estes pelos elamitas (circa a.C.) e estes pelos amoritas (circa a.C.), que construíram o chamado Antigo Império Babilônico. Tablete numérico sumério pré-cuneiforme (3.100 a.C.) Tablete numérico sumério cuneiforme (2.000 a.C.)

“Livro” babilônico de exercícios de
Geometria (circa a.C.) Tablete Plimpton 322 (1.800 a.C.) A Matemática babilônica do início do segundo milênio a.C. era notável: empregava um sistema de numeração posicional de base 60, resolviam-se equações do segundo grau, conhecia-se a lei geral dos triângulos retângulos (“teorema de Pitágoras”), calculava-se a diagonal do quadrado com grande precisão (1, ), etc. Os egípcios, poucos séculos mais tarde que os mesopotâ-mios, também desenvolveram uma Matemática prática bastante eficiente.

Volume do tronco de pirâmide (“receita” egípcia e fórmula moderna)
O mais antigo papiro matemático egípcio que chegou até nós é o chamado Papiro de Moscou, escrito por volta de 1850 a.C. e está hoje no Museu de Moscou de Finas Artes. Nele são resolvidos 25 problemas de Aritmética e Geometria e ali se encontra uma regra, expressa em palavras, para o cálculo do volume do tronco de pirâmide. Tal regra corresponde à fórmula moderna é mostra o quão avançados estavam os egípcios em Geometria à época. Volume do tronco de pirâmide (“receita” egípcia e fórmula moderna)

Questões geométricas no papiro de Ahmes (1.650 a.C.)
O segundo mais antigo papiro matemático egípcio conhecido é o chamado Papiro Rhind ou Papiro de Ahmes, escrito por volta de 1650 a.C., com base em documentos ainda mais antigos. Nele são resolvidos problemas de Aritmética e Geometria, alguns envolvendo equações do 1° grau, progressões aritméticas e áreas de figuras geométricas. Questões geométricas no papiro de Ahmes (1.650 a.C.)

Símbolos para a soma e subtração no Papiro de Ahmes (1.650 a.C.)
Nele Ahmes afirma que a área do círculo é igual à de um quadrado cujo lado é do diâmetro do círculo, o que equivale- ria a dizer que π 3,1605. No papiro de Ahmes já são usados símbolos para a soma e a subtração (perninhas). O sistema de numeração egípcio era não-posicional, de base 10. 8 9 — = ~ Símbolos para a soma e subtração no Papiro de Ahmes (1.650 a.C.)

Área do Círculo no Papiro de Ahmes
Conjectura sobre a regra de Ahmes Os egípcios não conheciam a lei geral dos triângulos retângulos. Alguns especialistas acreditam que eles soubessem que o triângulo de lados 3, 4 e 5 é retângulo mas outros afirmam que isso é uma lenda sem bases históricas.

Com base em vestígios documentais, credita-se que os chineses já haviam desenvolvido alguma Matemática prática em meados do segundo milênio a.C. Um livro chamado Chou-pei Suan-King, provavelmente do século XII a.C. e que chegou até nós em versões muito posteriores, apresentava uma figura, sem explicações, que hoje se utiliza para uma das muitas possíveis provas do Teorema de Pitágoras. Diagrama encontrado no Chou-Pei Suan-King, relativo aos triângulos retângulos (século XII a.C.) É entendimento predominante que tanto os chineses quanto os babilônios conheciam o Teorema de Pitágoras muito antes dos gregos. Os antigos textos matemáticos dos mesopotâmios, egípcios e chineses que chegaram até nós não indicavam preocupação com as justificativas lógicas das soluções que apresentavam, restringindo-se a dizer “faça isso, em seguida aquilo e esse é o resultado”.

TALES, DE MILETO Os gregos começaram a estabelecer-se na península dos Bálcãs por volta do final do terceiro milênio a.C., provavelmente vindos da região ao Sul do Mar Negro. Em sucessivas ondas, eles vieram a construir uma notável civilização, formada por um grande número de cidades-estados, que se estendia desde o Sul da Itália e chegava ao Norte da África, à costa da Anatólia (hoje Turquia) e ao litoral do Mar Negro. As cidades do Sul da Itália constituíam a chamada Magna Grécia, enquanto as das ilhas do Egeu e da costa da Anatólia formavam a chamada Jônia. A Jônia foi o verdadeiro berço das chamadas Filosofia e Matemática gregas. Em meados do século VII a.C. o faraó do Egito permitiu que comerciantes jônios estabelecessem um entreposto na cidade portuária de Náucratis, no delta do Nilo. Esta foi a porta de entrada por onde os gregos conheceram os esplendores da civilização egípcia, sua arte, sua arquitetura e sua Matemática. Na cidade jônia de Mileto viveu um homem admirável, chamado Tales, que foi considerado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga. Ele é considerado primeiro filósofo e o primeiro matemático grego e é provável que tenha nascido por volta de 640 a.C.

Principais centros de origem grega em meados do século VII a.C.

Tales, de Mileto (circa 640 a.C. - 564 a.C.)
Tales era um rico comerciante que se interessava por Filosofia, Matemática e Astronomia. Esteve no Egito e visitou as pirâmides em companhia do faraó Amásis. Ali, medindo as sombras da pirâmide de Quéops e de um bastão que plantara verticalmente na areia, calculou a altura do célebre monumento utilizando o conceito de semelhança de triângulos. Tales entrou em contato com os sacerdotes egípcios responsáveis pela preservação dos conhecimentos matemáticos. De volta a Mileto, resolveu promover seu estudo junto aos gregos. Ao fazê-lo, porém, estabeleceu o princípio fundamental da Matemática Dedutiva: AS VERDADES MATEMÁTICAS DEVEM SER PROVADAS POR MEIO DO RACIOCÍNIO

PITÁGORAS, DE SAMOS (E, DEPOIS, CROTONA)
Pitágoras nasceu na ilha jônia de Samos, a cerca de 50 km de Mileto, por volta de 580 a.C. É provável que ele tenha sido aluno de Tales ou de seus discípulos, em Mileto. Ele certamente esteve no Egito e possivel-mente na Babilônia. Devido a problemas políticos em Samos, ele mudou-se para a cidade de Crotona, ao Sul da bota italiana, e ali fundou, por volta de a.C., uma escola voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática. A Sociedade Pitagórica prosperou rapidamente na Matemática, fazen-do descobertas muito importantes e espalhando entre os gregos o interesse pelo estudo daquela ciência. Em poucas décadas, passaram a existir escolas pitagóricas em várias cidades do mundo grego. Acredita-se que as primeiras demonstrações matemáticas razoavel-mente rigorosas foram produzidas pelas pitagóricos, não só na Geometria mas, também, na Aritmética. Os pitagóricos enxergavam a Matemática como algo abstrato, existente no Universo, independentemente do Homem, e que nós apenas a descobrimos. Segundo eles, Deus era “o Grande Geômetra do Universo” e este era “feito de números”.

Pitágoras, de Samos/Crotona (586 a.C.?-500 a.C.)
A tradição consagra que Pitágoras teria sido a primeira pessoa a demonstrar o teorema que leva seu nome, já conhecido dos babilônios e chineses. Desconhece-se a prova dada por Pitágoras mas duas possibilidades são as seguintes:

1 Como a2 + 4( bc) = (b + c)2 , — 2 tem-se a2 = b2 + c2
Possível demonstração dada por Pitágoras (diagrama chinês) 1 2 — Como a2 + 4( bc) = (b + c)2 , tem-se a2 = b2 + c2 Demonstração sem palavras

As antigas fontes históricas relatam que a Sociedade Pitagórica, devido a seu misticismo e interferência nos assuntos de Crotona, acabou sendo repudiada pela população, o que forçou Pitágoras, já velho, a mudar-se para a cidade de Metaponto, também no Sul da Itália, onde teria morrido em uma rebelião popular. Os pitagóricos davam tratamento geométrico às questões aritméticas, resolviam equações do segundo grau por meio de figuras e criaram expressões como “quadrado” e “cubo” de um número, em analogia com áreas e volumes. Os pitagóricos sabiam calcular somas do tipo n e 1² + 2² + 3² + 4² n² Eles criaram o conceito de “números perfeitos” (aqueles que são iguais à soma de seus divisores, como 6, 28, 496, etc.) e “números amigos” (pares de números em que um é igual à soma dos divisores do outro e reciprocamente, como 220 e 284). Os pitagóricos já conheciam pelo menos 3 dos 5 poliedros regulares (tetraedro, cubo e dodecaedro). (Algumas fontes dizem que o octaedro e o icosaedro foram descobertos por Teeteto, da Academia de Platão.)

Foram os pitagóricos, especificamente certo Hipaso, de Metaponto, que descobriram a existência das grandezas incomensuráveis, ou seja, dos números irracionais, entre 500 a.C. e a.C., talvez posteriormente à morte de Pitágoras. Essa descoberta criou uma grande dificuldade na teoria das proporções que só foi superada um século mais tarde, por Eudóxio. No período de um século e meio que transcorreu entre a funda-ção da Escola Pitagórica (540 a.C.) e a fundação da Academia de Platão (386 a.C.), viveram alguns notáveis geômetras, como Zenão, de Eléia (circa 450 a.C.), Hipócrates, de Quios (circa 430 a.C.), Hípias, de Élis (circa a.C.), Demócrito, de Abdera (circa 460 a.C a.C.), Teodoro, de Cirene (circa 470 a.C.) e Árquitas, de Tarento (circa 428 a.c. – 347 a.C.) Também nesse período começou-se a perceber que nem todas as verdades podem ser provadas: algumas devem ser aceitas como postulados ou axiomas. É provável que o Método da Redução ao Absurdo tenha surgido nesse período. Os Três Problemas Clássicos (Quadratura do Círculo, Trissec-ção do Ângulo e Duplicação do Cubo, utilizando-se apenas a régua e o compasso) também datam desse período intermediário.

A ACADEMIA DE PLATÃO Depois de derrotar o poderoso Império Persa por duas vezes, em a.C. e a.C., os gregos, liderados por Atenas, viveram décadas de grande prosperidade e realizaram notáveis avanços no campo das ciências, das artes e da Filosofia. O estadista Péricles fez de Atenas o grande centro cultural do mundo à época e isso fez com que o século V a.C. entrasse para a História como O Século de Péricles. Platão, cujo verdadeiro nome é Arístocles, nasceu em 427 a.C., no início da violenta Guerra do Peloponeso, entre Esparta e Atenas, que pôs fim ao período áureo da Grécia Clássica. Com a derrota de Atenas, em a.C., Platão julgou prudente deixar a cidade e vagou pelo mundo mediterrâneo, atuando como comerciante. Ao retornar, em a.C., decidiu dedicar-se à Educação, para o que criou sua célebre Academia. Uma das áreas que maior atenção receberam de Platão e seus discípulos foi a Matemática, por ele considerada fundamental para todas as ciências e mesmo para a Filosofia. Segundo a lenda, ele teria escrito no portal de sua escola a seguinte frase: “Não são admitidos ignorantes em Geometria”.

Platão (427 a.C a.C.) Platão reuniu em sua Academia um grupo de talentosos geômetras, como Têudio, de Magnésia, Âmiclas, de Heracléia, Menecmo e Dinostrato, de Atenas, Ateneu, de Cízico e Hermótimo, de Cólofon. O livro-texto utilizado na Academia foi produzido por Têudio, certamente sistematizando trabalhos anteriores produzido pelos pitagóricos, por Hipócrates, de Quios, e por outros geômetras.

Já no tempo da Academia era empregada a expressão “Elementos de Geometria”, significando o conjunto dos teoremas básicos com os quais se constrói o edifício geométrico. Menecmo descobriu as secções cônicas (elipse, hipérbole e parábola). Ele foi, também, professor de Geometria do adolescen-te Alexandre Magno. O maior geômetra da Academia foi Eudóxio, de Cnidos, um menino pobre que se mudou para Atenas para estudar com os sábios. Foi ele quem resolveu a impasse teórico em que se encontrava a Teoria das Proporções depois da descoberta dos irracionais. Foi ele, também, quem criou o chamado Método da Exaustão, um precursor rudimentar do Cálculo Integral, e provou que a área do círculo pode ser calculada por meio de famílias de polígonos inscritos ou circunscritos, cujos números de lados crescem ilimitadamente. A essência do conceito de Limite já havia sido percebida pelos gregos dos séculos V e IV a.C. Outro gênio da Academia foi Aristóteles (384 a.C a.C.), o sistematizador da Lógica, grande filósofo e naturalista, que também foi professor de Alexandre Magno. A Academia de Platão permaneceu eu funcionamento por mais de 900 anos, até ser fechada em 529, pelo imperador Justiniano, por pressão dos bispos cristãos.

EUCLIDES E OS ELEMENTOS
Em 334 a.C., Alexandre Magno começou a conquista do Império Persa. O Egito foi tomado em 332 a.C. e ali, no delta do Nilo, ele fundou a cidade de Alexandria. Com a morte de Alexandre, em 323 a.C., o Egito coube ao general Ptolomeu I ou Soter. A cidade prosperou rapidamente, tornando-se rico centro comercial do Mediterrâneo. Por volta de a.C., estimulado pelo filósofo Demétrio, de Falero, Ptolomeu criou a célebre “universidade” de Alexandria, formada por uma grande biblioteca e um museu. Demétrio procurou atrair para Alexandria as melhores cabeças pensantes do mundo grego e foi nessa época que um geômetra de nome Euclides tornou-se diretor da área de Matemática do museu e professor daquela escola. Sabe-se pouco sobre a vida de Euclides. É provável que tenha estudado na Academia. Euclides produziu, compilando, aperfeiçoando e complementan-do trabalhos de geômetras anteriores, o célebre tratado Os Elementos, por muitos considerado o mais influente livro de Matemática de todos os tempos. Somente a Bíblia teve mais edições do que os Elementos e ele é o mais antigo livro de Matemática ainda em vigor nos dias de hoje.

Os postulados de Euclides são:
O toque de gênio de Euclides não está na descoberta de teoremas, o que ele certamente fez, mas estrutura lógica que deu a sua obra. Os Elementos estão organizados em 13 livros, dentro de uma admirável seqüência lógica, rigorosa e concatenada, em que as verdades matemáticas vão sendo provadas a partir de definições e de um pequeno número de premissas. As premissas de Euclides são cinco postulados geomé-tricos e cinco noções comuns válidas genericamente, não apenas na Geometria. Os postulados de Euclides são: Traçar uma linha reta de um ponto qualquer a outro ponto qualquer Estender um segmento de reta continuamente em uma linha reta Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio Todos os ângulos retos são iguais Se uma linha reta, caindo sobre duas linhas retas, faz ângulos internos do mesmo lado cuja soma seja menor do que dois retos, as duas linhas retas, se estendidas indefinidamente, encontram-se no mesmo lado em que a soma dos ângulos internos é menor do que dois retos (postulado das paralelas)

As noções comuns de Euclides são:
Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si Se iguais forem somados a iguais, os resultados serão iguais Se iguais forem subtraídos de iguais, os resultados serão iguais Coisas coincidentes são iguais entre si O todo é maior do que a parte Os Elementos não apresentam a moderna noção dos chamados “conceitos primitivos”. Os Elementos contêm proposições, muitas delas puramente aritméticas ou, em nossa classificação atual, algébricas. Os elementos não contêm toda a Matemática da época: as secções cônicas, por exemplo, não são ali tratadas. Euclides escreveu outros livros, além dos Elementos, um deles abordando as secções cônicas. Os atuais livros-texto de Geometria são extratos cobrindo apenas parte dos Elementos.

Algumas das principais pérolas dos Elementos são:
1 - Livro , proposição I-47, Teorema de Pitágoras (“Cadeira da Noiva”) 2 - Livro II, proposição II-11, Construção de Segmento Áureo 3 - Livro IV, proposição IV-11, Construção do Pentágono Regular 4 - LivroVII, proposição VII-2, Máximo Divisor Comum (Algoritmo de Euclides) 5 - Livro IX, proposição IX-20, Infinitude dos primos 6 - Livro IX, proposição IX-35, Soma dos termos de uma progressão geométrica 7 - Livro IX, proposição IX-36, Método para gerar Números Perfeitos 8 - Livro X, proposição X-1, Teorema Fundamental dos Processo de Exaustão 9 - Livro X, proposição X-28, Algoritmo para a geração das Trincas Pitagóricas 10 - Livro XII, proposição XII-2, Relação quadrática entre áreas de círculos 11 - Livro XII, proposição XII-5, Volume da Pirâmide 12 - Livro XIII, proposição XIII-16, Construção do Icosaedro 13 - Livro XIII, proposição XIII-17, Construção do Dodecaedro 14 - Livro XIII, Encerramento, provando que existem apenas Poliedros Regulares Os Elementos costumam incluir um 14° livro, escrito por um grande geômetra posterior a Euclides, chamado Hípsicles (circa 180 a.C.), contendo 8 importantes proposições sobre o Dodecaedro e o Icosaedro

ARQUIMEDES, DE SIRACUSA
Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.) foi o maior gênio da Antigüidade. Tanto na Física quanto na Matemática, seus feitos provocam espanto e admiração ainda hoje. As principais características de Arquimedes foram Excepcional capacidade de trabalho Abrangência dos temas de interesse Profundidade, clareza e rigor dos raciocínios Originalidade das idéias Arquimedes foi também um grande engenheiro, construindo armas e equipamento militares para o rei Hierão, de Siracusa. Seus principais tratados foram Sobre o Equilíbrio de Figuras Planas Sobre a Esfera e o Cilindro Sobre Espirais A Quadratura da Parábola Sobre Conóides e Esferóides Sobre Corpos Flutuantes A Medida de um Círculo O Contador de Grãos de Areia O Método

No tratado A Medida de um Círculo ele apresentou o primeiro método rigoroso para o cálculo de π, através de sucessivas duplicações dos números de lados de polígonos regulares inscritos e circunscritos ao círculo, chegando a < π < No tratado Sobre a Esfera e o Cilindro ele calculou, pelo Método da Exaustão, o volume e a área da Esfera. Ele considerava essa sua maior descoberta. 10 71 — 1 7 — Área total e volume do cilindro, comparados aos da esfera

No tratado A Quadratura da Parábola ele antecipou-se em 19 séculos ao Cálculo Integral e determinou a área de um segmento qualquer de Parábola Área do segmento de parábola No Contador de Grãos de Areia, Arquimedes expôs sua invenção de um sistema de numeração capaz de exprimir números gigantescos, como o dos grãos de areia necessários a preencher uma esfera com centro no Sol e raio igual à distância entre o Sol e a Terra. Foi nesse tratado que ficamos sabendo que Aristarco, de Samos, defendia o heliocentrismo e fizera estimativas das distâncias entre a Terra e o Sol e a Terra e a Lua.

No tratado Sobre Conóides e Esferóides, ele calculou volumes de sólidos gerados pela revolução de parábolas e hipérboles em torno de seus eixos. Ali ele calculou também a área da Elipse. Na Física, Arquimedes formulou as leis da Alavanca (“Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo”) e da Hidrostática. O conceito de Centro de Gravidade, tão importante na Física, foi criado por ele que, também, provou que o centro de gravidade de um triângulo é o ponto de encontro de suas medianas. O célebre Princípio de Arquimedes foi por ele formulado quando, imerso em uma banheira , pensava sobre uma questão que lhe havia sido proposta pelo rei Hierão, de Siracusa: “Todo corpo mergulhado em um fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado”. A idéia de decompor forças ou movimentos em componentes que hoje chamaríamos de vetoriais foi de Arquimedes e apareceu pela primeira vez em seu tratado Sobre Espirais. Arquimedes morreu assassinado por um soldado romano, quando Siracusa foi tomada durante a segunda guerra púnica, entre Roma e Cartago. Nunca, em toda a História, um matemático esteve tão à frente de seu tempo quanto Arquimedes.

APOLÔNIO, DE PERGA Apolônio, de Perga (262 a.C a.C.) foi um dos três gigantes da Idade de Ouro da Universidade da Alexandria, junto com Euclides e Arquimedes. Apolônio lecionou na Universidade e ficou conhecido em sua época como O Grande Geômetra. Vários de seus trabalhos se perderam, mas sua obra-prima, chamada “Cônicas” foi quase inteiramente preservada. Ao todo, o tratado continha mais de proposições rigorosamente demonstradas sobre a Elipse, a Hipérbole e a Parábola. Naquele tratado, Apolônio demonstrou que, seccionando-se um cone duplo por um plano, dependendo de sua inclinação relativamente à diretriz do cone, obtém-se uma elipse, uma parábola ou uma hipérbole. As “Cônicas”, de Apolônio, auxiliaram muito a Isaac Newton quando ele escreveu seu célebre tratado “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, no que respeita aos movi-mentos dos planetas sobre órbitas elípticas.

Secção elíptica de um cone (Dandelin)
APOLÔNIO, DE PERGA Secção elíptica de um cone (Dandelin) Em seu tratado “Sobre Contatos”, Apolônio produziu um dos grandes clássicos da Geometria, o “Problema de Apolônio”: “Dados 3 elementos, que podem ser pontos, retas ou círculos, repetidos ou não, traçar um (ou mais) círculo que passe por ou tangencie os elementos dados”.

A UNIVERSIDADE DE ALEXANDRIA
A Universidade de Alexandria permaneceu ativa de 300 a.C. a 641 d.C., quando foi fechada pelos conquistadores árabes. Ela funcionou, portanto, mais do que a mais velha das universidades européias, a de Bolonha, que tem atualmente cerca de 916 anos. Durante seu período áureo, passaram por ela dois outros gênios além de Euclides, Arquimedes e Apolônio: Aristarco, de Samos (310 a.C a.C.) e Eratóstenes, de Cirene (274 a.C a.C.). Eratóstenes, amigo de Arquimedes, idealizou um algoritmo para selecionar números primos (“crivo de Eratóstenes”) e calculou o comprimento da circunferência da Terra, raciocinando sobre sombras de colunas em diferentes latitudes. Sombras de colunas sobre a Terra redonda

AC.BD = AB.DC + AD.BC Entre a.C. e a.C., viveu o grande Hiparco, de Nicéia, que trabalhou na universidade por volta de 140 a.C. Ele é considerado o pai da Trigonometria, criou uma primeira tabela trigonométrica, catalogou estrelas e concebeu a idéia de localizar pontos sobre a Terra por meio de latitudes e longitudes. É provável que Hiparco tenha sido o descobridor de Teorema de Ptolomeu, dos quadriláteros inscritíveis. Por volta do ano 70, trabalhou na Uni versidade o grande Herão, de Alexandria Ele deduziu a célebre Fórmula de Herão, que fornece a área do triângulo em funçãoda medida de seus três lados: S = √ p(p – a)(p – b)(p – c) Ele foi também um grande engenheiro e inventou um tipo de máquina a vapor, uma bomba para apagar incêndios e uma máquina vendedora automática, precursora das que existem atualmente.

Por volta do ano 100, trabalhou na Universidade o célebre Menelau, que realizou vários trabalhos inovadores na Geometria e descobriu importantes teoremas da Geometria Projetiva. Ele expandiu a Trigonometria plana e criou a Trigonometria Esférica. AP . BQ . CR = BP . CQ . AR Teorema de Menelau Por volta do ano 150, o grande nome da Universidade era Klaudius Ptolemaios, autor de grandes obras sobre Geografia, Cartografia, Astronomia, Matemática e Música. Seu maior trabalho foi a “ Coleção Matemática”, conhecido como Almagesto, que influenciou o pensamento científico até o século XV. Ele produziu uma tabela trigonométrica (cordas), para ângulos variando de 30 em 30 minutos, e calculou π com boa precisão: 3,14166.

Cláudio Ptolomeu, como outros matemáticos de Alexandria, utilizava um sistema híbrido de numeração, em parte o jônio (letras representando números) em parte o sexagesimal, dos babilônicos. Por volta do ano 250, viveu em Alexandria o maior teórico dos números da Antigüidade: Diofanto. Seu tratado Aritmética é um marco na história da Teoria dos Números e foi estudando tal livro que Pierre de Fermat, no século XVII, levantou a questão que veio a ser conhecida como o Último Teorema de Fermat. Diofanto apresentou uma interessante prova geométrica de que o produto de dois números negativos é positivo. Diofanto foi pioneiro na simbolização da Aritmética/Álgebra. Por volta do ano 300, ensinou em Alexandria o último dos grandes geômetras gregos: Papus, de Alexandria, autor de uma obra prima chamada Mathematicon Synagogon (Coleção Matemática), em 8 volumes. Papus descobriu importantes teoremas da Geometria Projetiva e da chamada Isoperimetria. O período de Diofanto a Papus é conhecido como a Idade de Prata da Universidade. A partir daí ela entrou em contínua decadência. Por volta do ano 390, a área de Matemática da Universidade foi dirigida pelo famoso Têon, de Alexandria, que fez uma reedição dos Elementos de Euclides e neles introduziu pequenas mudanças. Foi essa reedição que chegou à Europa no Renascimento. No começo do século XIX foi encontrada a versão anterior.

No ano 391, instado por bispos cristãos, o imperador Teodósio determinou destruição de templos e livros considerados pagãos e uma parte dos livros da Biblioteca foi destruída. Têon tinha uma filha, bela e talentosa, chamada Hipácia ( ), professora de Filosofia e Matemática na Universidade. Ela é a primeira mulher de quem se tem notícia a dedicar-se à Matemática. Suas idéias sobre e Ciência e Filosofia despertaram a ira do bispo de Alexandria, Cirilo, que insuflou a turba para que a esperasse na porta da Universida-de e a assassinasse, de forma cruel, em 415. O assassinato de Hipácia simboliza o fim da gloriosa Matemática Grega, que começara com Tales, de Mileto, por volta do ano 600 a.C, e terminara um milênio mais tarde. A Academia de Platão foi fechada por Justiniano, no ano 529, também por pressão dos bispos cristãos. Vários sábios emigraram para a Pérsia e foram bem recebidos. A Universidade foi fechada em 641, pelo califa Omar, o conquistador árabe do Egito. Omar determinou também a queima do que restara da Biblioteca após as investidas anteriores dos fanáticos cristãos.

ÁRABES, HINDUS, CHINESES E EUROPA MEDIEVAL
Na Índia, na mesma época dos sumérios e do antigo Egito, povos locais desenvolveram sua Matemática prática. Mais tarde, com as invasões persa e macedônia, a Matemática hindu recebeu importantes influências externas que impulsionaram sua expansão. Já por volta do ano 250 a.C., os indianos, sob o imperador Açoka, empregavam símbolos numéricos dos quais derivaram os que o mundo inteiro adota atualmente. De início, embora já utilizando a base 10, o sistema indiano de numeração não era posicional. Foi somente por volta do século V ou VI que ele consolidou-se como posicional, com 10 símbolos numéri-cos, um dos quais o zero. Deve se ressaltado que, por volta do século II a.C., alguns textos matemáticos babilônicos já utilizavam, na nume-ração sexagesimal, um símbolo para as posições vazias, ou seja, um zero. Também os maias, na América, por volta do século V, criaram um símbolo para posições vazias em seu sistema de numeração de base 20. Já no século V, matemáticos hindus como Varahamihira e Aryabhata produziam livros sobre Astronomia, Geometria, Aritmética e Trigonometria.

Por volta do ano 630, destacou-se na Índia o famoso Brahmagupta, matemático e astrônomo, descobridor da Fórmula de Brahmagupta, que fornece a área dos quadriláteros inscritíveis , onde a, b, c e d são as medidas dos 4 lados. Os árabes, depois das conquistas do século VII e início do século VIII, rapidamente passaram a interessar-se pela cultura e pelas ciências. O califa al-Mansur fundou Bagdad em 762 e tornou-a capital do império, atraindo para a corte sábios de diversos países. Em 773, uma delegação de astrônomos e matemáticos hindus visitou sua corte e mostrou a ele e a seus eruditos como trabalhar com o sistema indiano de numeração, o que despertou grande interesse junto aos árabes. O califa seguinte, Harun al-Rashid, também patrocinou as ciências e as artes e determinou que as grandes obras gregas, como Os Elementos, fossem vertidas para o árabe. O filho de Harun, o califa al-Mamun, que reinou de a 833, deu continuidade às determinações do pai e trouxe para a corte o célebre persa Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa al-Khwarizmi ( ). Al-Khwarizmi escreveu dois livros que entraram para a História, um sobre Álgebra (Al-kitab al-jabr wa´l muqabalah) e outro sobre o sistema indiano de numeração (Kitab al jami wa´l tafrik bi hisab al hindi). S = √ (p - a)(p - b)(p - c)(p - d)

Os livros de al-Khwarizmi difundiram-se no mundo árabe e em pouco tempo todo o império passou a adotar o sistema indiano de numeração. As palavras “Álgebra”, “Algarismo” e “Algoritmo”, adaptadas aos diversos idiomas, estão presentes em todo o Planeta e vêm desse notável matemático. Ao realizar transações comerciais nas fronteiras do mundo árabe, os europeus tiveram contato pela primeira vez com o sistema indo-arábico de numeração e conheceram suas vantagens práticas em relação ao arcaico sistema romano de numeração. A China, que começara sua Matemática prática no século XII a.C., produziu mais tarde bons matemáticos como Chang Tsang (circa 200 a.C.), Liu Hui (circa 260 a.D.) e Tsu Ching-chih ( ). O budismo, surgido na Índia, começou a espalhar-se pela China no século I e veio a tornar-se um veículo de disseminação naquele país dos conhecimentos matemáticos indianos. Mais tarde, também através dos hindus, os chineses foram influenciados pelos árabes e, indiretamente, pelos antigos gregos. Por volta de 1020, o matemático indiano Sridhara produziu importantes trabalhos sobre Aritmética e Álgebra. Em um deles foi deduzida uma fórmula para a solução das equações do 2° grau, empregando a idéia do “completamento do quadrado”.

Um século depois, o célebre Bhaskara (1114 – 1185) também escreveu sobre Álgebra em um belo livro dedicado a sua filha Lilavati. Incorretamen-te, a posteridade veio a associar seu nome à fórmula geral da solução das equações do 2° grau. A Matemática da Índia e da China, embora importantes historicamente, jamais atingiram o nível de rigor da Matemática grega. Nos últimos anos do século X, o francês Gerbert d´Aurillac (950 – 1003), estudou com os árabes da Espanha, quando conheceu os clássicos gregos e o sistema indo-arábico de numeração. Tendo se tornado papa com o nome de Silvestre II, ele tentou adotar na Europa o mencionado sistema mas não conseguiu, devido à forte oposição dos cardeais. O inglês Adelard, de Bath (1075 – 1160), visitou vários países do mundo árabe e trouxe consigo informações sobre o sistema hindu, uma versão dos Elementos em Árabe e trabalhos astronômicos de al-Khwarizmi. Ele verteu os Elementos para o Latim e procurou ensinar seus compatriotas a utilizar os números indo-arábicos. Gerardo de Cremona (1114 – 1160) também aprendeu com os árabes em Toledo e traduziu para o Latim várias obras que ali encontrou. Foi Gerardo de Cremona quem pela primeira vez chamou de “seno (sinus)” a meia corda de um arco.

Os séculos XII e XIII sacudiram a Europa, com as Cruzadas, o comércio de Veneza, as viagens de Marco Polo, e construção das catedrais e o surgimento das universidades. Foi nesse período que viveu o maior matemático da Idade Média: Leonardo de Pisa ou Leonardo Fibonacci. Leonardo Fibonacci ( )

Fibonacci viajou pelo mundo árabe e ali aprendeu Matemática, em especial o sistema indo-arábico de numeração. Convencido de que tal sistema era muito superior ao então usado na Europa, publicou em sua primeira obra, o célebre Liber Abacci, que começa com estas palavras: “Estes são os nove símbolos dos hindus: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1. Com eles, mais o símbolo 0, que em Árabe é chamado Zéfiro, consegue-se escrever todos os números, conforme será mostrado a seguir”. Foi a partir desse livro que o sistema indo-arábico foi conquistando a Europa e o mundo mas a resistência contra ele durou mais de um século, inclusive da parte da Igreja. De um lado puseram-se os “Algoristas”, a favor dele, e, de outro, os “Abacistas”, contra. Leonardo publicou outros livros, como a Pratica Geometriae, o Liber Quadratorum e o Flos. Um de seus estudos deu origem à chamada Série de Fibonacci. Ele introduziu novos símbolos para facilitar o estudo da Álgebra. A tomada de Constantinopla pelos turcos, a invenção da imprensa (1456) e a descoberta da América (1492) marcaram o período final da Idade Média e o começo de uma nova era para a cultura, as artes, as ciências e, em especial, a Matemática na Europa.

O SURGIMENTO DE UMA NOVA MATEMÁTICA
Em 1543, o polonês Niklas Koppernigk ou Nicolau Copérnico (1473 – 1543) publicou um livro que revolucionou o pensamento científico europeu, ao refutar o sistema geocêntrico e mostrar que os planetas giram em torno do Sol: De Revolutionibus Orbium Coelestium. Nicolau Copérnico ( )

Naquela mesma época, a Álgebra estava passando por grandes transformações no Norte da Itália. Na Universidade de Bolonha, um professor chamado Scipione Del Ferro encontrou, em 1510, um método geral para resolver equações do tipo x³ + px + q = 0 e, antes de morrer, ensinou-o a seu aluno Antonio Maria Fior. No mesmo período e na mesma região, viviam dois matemáticos cujos nomes entraram para a História: Girolamo Cardano (1501 – 1576) e Nicolò Fontana, ou Tartaglia. Girolamo Cardano ( )

Cardano era também médico e legou à posteridade um célebre livro denominado Artis Magnae sive de Regulis Algebraicis, conhecido como Ars Magna, o maior tratado de Álgebra da época. Tartaglia nasceu em extrema pobreza mas, pelo próprio esforço e grande talento, tornou-se famoso na Matemática, sendo professor em Vicenza, Verona, Brescia e Veneza. Nicolò Fontana (Tartaglia) ( )

x³ = A³ + B³ + 3AB(A + B) ou x³ = A³ + B³ + 3ABx
Desejando alcançar a fama, Antonio Fior desafiou Tartaglia para um duelo matemático, em que cada um deveria propor problemas ao outro, vencendo quem resolvesse a maior quantidade. Tartaglia aceitou o desafio mas veio a saber que Fior planejava levantar questões envolvendo a solução de equações do 3° grau. Ameaçado de perder o duelo, Tartaglia, com grande esforço, encontrou a solução daquelas equações no dia 10 de fevereiro de 1531, com o que derrotou Fior. Sabendo que Tartaglia descobrira um método para resolver equações do terceiro grau, Cardano pediu a ele que o ensinasse, para publicação em um livro que estava escrevendo. Tartaglia negou mas Cardano, através de juramentos e promessas de segredo, acabou obtendo de Tartaglia as cobiçadas fórmulas. Cardano quebrou os juramentos e publicou-as em 1545, na Ars Magna, o que provocou um áspero conflito entre os dois. O método de Tartaglia, em essência, consiste em transformar a equação geral do terceiro grau ax³ + bx² + cx + d = 0 em outra incompleta do tipo x³ + px + q = 0 ou x³ = -px - q, cuja solução é mais fácil. Fazendo-se x = A + B e elevando-se ao cubo tem-se x³ = A³ + B³ + 3AB(A + B) ou x³ = A³ + B³ + 3ABx

p 27 - — Logo q = A³ + B³ e p = 3AB ou A³B³ = A³ e B³ são, portanto, dois números dos quais conhecemos a soma e o produto. Resolvendo o sistema por meio de equações do segundo grau tem-se: x = — (—)2 + (—) — (—)2 + (—)3 q q p q q p √ que é a chamada Fórmula de Cardano, um marco na história da Álgebra. Na mesma época, um brilhante discípulo de Cardano, chamado Ludovico Ferrari, encontrou um método para resolver a equação geral do 4° grau, transformando-a em outra sem o termo do 3° grau. A idéia de Ferrari foi reagrupar os termos dessa nova equação, obtendo em um lado da igualdade um trinômio do quarto grau e do outro um trinômio do segundo grau, ambos quadrados perfeitos. Extraindo-se a raiz quadrada dos dois lados, cai-se em equações do segundo grau, resolúveis facilmente. Para conseguir aquele reagru-pamento, é preciso resolver uma equação do 3° grau. O grande mérito de Ferrari foi provar que as equações do quarto grau podem ser resolvidas por meio de um número finito de operações algébricas: soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação inteiras.

2x³ + 5x = 17 como 2cub´p : 5reb´ aequalis 17
Uma conseqüência inesperada do admirável método de Tartaglia foi a descoberta de que o Campo Real não é suficiente para o estudo da Álgebra, sendo indispensável trabalhar-se também com os chamados “números imaginários). Isso pode ser visto, por exemplo, na equação x³ - 15x - 4 = 0 da qual x = 4 é claramente uma raiz. Entretanto, a Fórmula de Cardano fornece Como esse resultado existe e deve ser igual a 4, ficou evidente a necessidade de se criar o chamado Campo Complexo para continuar os estudos da Álgebra. O primeiro matemático a perceber isso e a tentar trabalhar com aqueles estranhos números foi o italiano Rafael Bombelli (1530?- ?), que deu início a pesquisas que duraram mais de dois séculos. O francês François Viète (1540 – 1601), talvez o maior matemático do século XVI, deu importantes contribuições à Trigonometria e à Álgebra, modernizando sua simbologia e difundindo o emprego de letras para representar genericamente números e incógnitas. A simbologia da época era muito inadequada. Cardano, por exemplo, escrevia a equação: x = √ 2x³ + 5x = como cub´p : 5reb´ aequalis 17 O interesse pela Matemática espalhou-se, também, por países como a Inglaterra, a Alemanha e a Holanda. Surgiram os sinais + e – (Johann Widmann), o símbolo para os radicais (Christoff Rudolff), o sinal de igualdade (Robert Recorde), etc.

Em 1585, o belga Simon Stevin publicou o célebre livro La Disme (A Dízima), onde ensinou com clareza como trabalhar com as frações decimais. Em 1614, o nobre escocês John Napier, matemático, físico, engenheiro e astrônomo, publicou o livro Mirifici Logaritmorum Canonis Descriptio (Descrição da Maravilhosa Lei dos Logaritmos), sobre a invenção que fizera anos antes. Embora os progressos na Matemática e nas ciências em geral estives-sem se acelerando em toda a Europa, a Igreja Católica, de um modo geral, opunha forte resistência à liberdade científica. Em , por exemplo, o matemático e físico italiano Giordano Bruno foi queimado vivo em Roma por defender o heliocentrismo. Na segunda metade do século XVII, Galileu Galilei ( ) hoje considerado o Pai da Física, realizou importantes descobertas sobre as leis dos movimentos dos corpos. Foi ele quem formulou a Lei da Inércia e mostrou que, sob a ação da gravidade, os corpos caem com velocidade que se acelera da mesma forma, independentemente de seus pesos. Ele aperfeiçoou o telescópio, descobriu montanhas na Lua, os anéis de Saturno, as fases de Vênus e quatro satélites de Júpiter. Galileu foi outro a perceber a crucial importância da Matemática nas ciências físicas e disse: “O Universo é um grande livro que não pode ser compreendido a menos que antes se aprenda a entender a linguagem e a ler as letras nas quais ele está composto. Ele está escrito na linguagem da Matemática”.

Galileu foi forçado pela Igreja a retratar-se de suas publicações sobre a Astronomia, sob a ameaça de receber a mesma punição dada a Giordano Bruno. Galileu Galilei ( ) Contemporâneo de Galileu foi o gênio da Matemática e da Física, o alemão Johannes Kepler (1571 – 1630). Kepler descobriu três leis que regem os movimentos dos planetas: As órbitas dos planetas são elipses, das quais o Sol ocupa um dos focos; A linha que une o Sol a qualquer planeta cobre áreas iguais em tempos iguais; os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos de suas distâncias médias ao Sol. Meio século depois, Newton usou-as em sua descoberta da Lei da Gravitação Universal.

Johannes Kepler ( ) Em 1635, o Matemático Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647) criou o chamado Método dos Indivisíveis, uma versão da antiga idéia de Eudoxio, Arquimedes e outros de calcular áreas e volumes imaginando as figuras compostas por pequenas “fatias”. Em 1639, o arquiteto e engenheiro francês Gérard Desargues (1593 – 1661) publicou seus estudos sobre um novo e importante campo da Matemática, a Geometria Projetiva, alguns de cujos teoremas haviam sido descobertos por Menelau e Papus, de Alexandria.

FERMAT E DESCARTES INVENTAM A GEOMETRIA ANALÍTICA
A Aritmética e a Geometria tiveram origens independentes mas logo começou a acontecer uma lenta aproximação entre ambas. Os antigos gregos, por exemplo, já resolviam questões aritméticas por meio de figuras geométricas. Em várias de suas demonstrações sobre as secções cônicas, Apolônio (século III a.C.) localizava pontos sobre as curvas por meio de suas distâncias a dois eixos conjugados. Hiparco (século II a.C.) localizava pontos sobre a Terra por meio de suas distâncias a dois círculos de referência. A evolução da Álgebra ocorrida nos séculos XVI e XVII finalmente permitiu que os números e as formas viessem a ser amplamente unificados por aquilo a que hoje chamamos Geometria Analítica. René Descartes, nascido em 1596 em uma família abastada, foi um homem de excepcional talento tanto na Filosofia quanto nas Ciências. Formado em leis e apaixonado pela Matemática, ele teve contato com grandes matemáticos franceses da época, como Mersenne e Mydorge, aprendendo bastante com eles e por conta própria. Em 1.637, com o objetivo de discutir as melhores formas de se buscar a verdade científica, Descartes publicou o célebre “Discurso sobre o Método para bem conduzir a Razão e procurar a Verdade nas Ciências”.

René Descartes ( ) Como anexos do livro, exemplificando o uso de seu método, ele apresentou três trabalhos, um deles chamado “La Géométrie”, que é considerado a origem da Geometria Analítica. Ali Descartes mostrou, em 100 páginas, que a Álgebra já havia atingido um nível de desenvolvimento suficiente para que questões geométricas fossem resolvidas por meio dela. Vários exemplos são dados por Descartes embora, ao contrário do que muitos acreditam, não tenha usado as chamadas “coordenadas cartesianas”. Elas só passaram a ser utilizadas alguns anos mais tarde, em especial por Newton.

Frontispício do Discurso do Método,
publicado em 1.637 Mesmo sem ter usado coordenadas, Descartes tratou de problemas que hoje chamamos de “indeterminados”, para os quais uma infinidade de soluções é possível, associando-se equações indeterminadas a linhas geométricas. Essa é a essência da Geometria Analítica.

Também na Géométrie, Descartes tratou de equações algébricas e expôs, por exemplo, a chamada “Regra de Descartes”, a respeito das quantidades de raízes positivas e negativas de uma dada equação. A simbologia algébrica utilizada por Descartes em suas equações consagrou-se e é basicamente a que utilizamos até hoje. Foi nessa parte da Géométrie que Descartes criou a expressão “raízes imaginárias”. Trecho da Géométrie, onde Descartes cunhou a expressão “Raízes Imaginárias”

A vida de Pierre de Fermat (1601 – 1665) transcorreu na mesma época da de Descartes. Formado em leis, poeta, conhecedor das antigas línguas clássicas e magistrado por profissão, Fermat dedicava-se amadoristicamente à Matemática e nela deixou belas e inovadoras contribuições. Suas idéias eram tão originais, profundas e importantes que ele é hoje conhecido como O Príncipe dos Amadores. Pierre de Fermat (1.601 ? )

O tema preferido de Fermat era a Teoria dos Números, o ramo da Aritmética superior que estuda as propriedades dos números inteiros, como divisibilidade, decomposições em fatores primos, decomposições em somas, etc. Naquele campo ele descobriu importantíssimos teoremas que o celebrizaram. Foi estudando Teoria dos Números na Arithmetica, de Diofanto de Alexandria, que Fermat escreveu em uma margem do livro que a equação an + bn = cn, com a, b, c e n inteiros positivos, não tem solução para n > 2. Tal conjectura somente foi provada em e celebrizou Fermat em todo o mundo. Mas Fermat interessou-se, também, pelo traçado de tangentes a certas curvas e isso levou-o a associar equações indeterminadas a linhas geométricas, ou seja, à chamada Geometria Analítica. Em 1636, um ano antes da publicação da Géométrie de Descartes, Fermat escreveu uma carta a Roberval mostrando que vinha utilizando essa técnica havia alguns anos. Pesquisando o traçado de tangentes, Fermat criou um método que é, essencialmente, o usado por Newton e Leibniz no Cálculo Diferencial. Fermat só não foi aclamado o criador da Geometria Analítica porque seus trabalhos só foram publicados postumamente, por seu filho, muito depois da Géométrie.

Duas décadas mais jovem do que Descartes e Fermat, mas contemporâneo de ambos, foi o gênio precoce Blaise Pascal (1623 – 1662). Aos doze anos já fazia descobertas próprias na Geometria e aos dezesseis escreveu um ensaio sobre Geometria Projetiva que entrou para a História. Ele construiu uma sofisticada máquina de calcular, lançou os fundamentos da moderna Teoria das Probabilidades em uma troca de correspondências com Fermat, pesquisou em profundidade o Triângulo Aritmético e difundiu o Método da Indução Completa. Pascal foi um precursor do Cálculo e, também, um gênio filosófico-literário. Blaise Pascal ( )

NEWTON Isaac Newton ( )

NEWTON Isaac Newton, nascido no dia de Natal de 1644, foi um dos maiores gênios das Ciências Exatas já produzidos pela Humanidade. Ele é, aliás, o único gênio que tem condições de disputar, simultaneamente, os cetros de o maior físico e o maior matemático de todos os tempos. Na Matemática, somente Arquimedes (século III a.C.) e Gauss (século XIX) podem ser comparados a ele. Newton atuou magistralmente nos seguintes campos: Matemática pura e aplicada Sistematização das leis da Dinâmica Concepção da Lei da Gravitação Universal Óptica em geral Concepção de fabricação de instrumentos científicos, em especial telescópios e lentes Newton nasceu prematuramente, em uma fazenda em Woolsthorpe, a 90 km de Cambridge, Inglaterra. Deram-lhe poucas chances de sobrevivência mas ele viveu 84 anos. Seu pai era analfabeto e morreu 2 meses antes de seu nascimento. Aos 3 anos, foi deixado pela mãe aos cuidados da avó e esse abandono materno marcou-o para sempre: Newton era arredio, introspectivo, solitário e raramente confiava em alguém.

Nesta casa nasceu Isaac Newton e aqui, segundo a lenda, ele teve seu célebre encontro com a maça.

NEWTON Dos 12 aos 17 anos fez estudos elementares na cidade de Grantham mas seu talento, à época, somente se demonstrou na habilidade manual com que construía brinquedos mecânicos. Aos 17 anos retornou à fazenda mas logo decidiu preparar-se em Grantham para a Universidade de Cambridge, onde entrou aos 18 anos e meio, em junho de 1661, com o objetivo de estudar a lógica de Aristóteles e seus rigorosos padrões de raciocínio. Abraham DeMoivre, seu amigo, conta que Newton apenas começou a interessar-se pela Matemática em meados de , casualmente. Entretanto, seu aprendizado foi excepcionalmente rápido e, em menos de dois anos e lendo tudo o que estava a seu alcance, ele dominou toda a Matemática conhecida até então. A partir daí começou a fazer suas próprias descobertas. Naquela época, os matemáticos estavam pesquisando três temas atualíssimos: o traçado analítico de tangentes, a quadratura (áreas) de curva e as séries infinitas. A primeira grande realização de Newton foi a descoberta da lei da potenciação de binômios para expoentes negativos inteiros e para expoentes racionais positivos ou negativos, casos em que são produzidas séries infinitas. O caso de expoentes inteiros positivos já havia sido amplamente tratado por outros.

NEWTON Em agosto de 1665, uma epidemia de peste bubônica paralisou a Univer-sidade e Newton voltou à fazenda. Ali, pesquisando o traçado de tangentes, baseado na idéia de Fermat, ele criou o Método das Fluxões, hoje chamado Cálculo Diferencial. Também pesquisando a Óptica por meio de diversas experiências, ele concebeu a Teoria das Cores em janeiro de 1666. Em março de 1666 ele retornou a Cambridge e, em maio, estudando a quadratura de curvas, ele concebeu o Método Inverso das Fluxões, aquilo a que hoje chamamos Cálculo Integral. Ele retornou à fazenda novamente em junho de e ali, pensando sobre as forças que mantêm a Lua girando em torno da Terra e os planetas em torno do Sol, descobriu a Lei da Gravitação Universal: Matéria atrai matéria na razão direta do produto das massas e na razão inversa do quadrado da distância”. Tendo começado a estudar Matemática por conta própria em 1663, em 1666, antes de completar anos, ele já havia feito descobertas revolucionárias na Física e na Matemática. Ele era, então, totalmente desconhecido da comunidade científica internacional e não fez qualquer alarde de suas façanhas. Nos dez anos seguintes Newton tornou-se respeitado pelos cientistas da Inglaterra mas em meados da década de 1670 ele iniciou um longo período de misticismo religioso e de investigações na Alquimia, mantendo-se afastado da Matemática e da Física e nada publicando.

Em 1672, vivendo em Paris, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716) começou a aprender Matemática com Christiaan Huygens. Seu progresso foi fulminante e em 1675 ele já estava pesquisando os temas do momento: o traçado analítico de tangentes e a quadratura de curvas. Manuscritos ainda hoje preservados, produzidos entre outubro de novembro de 1675, mostram que ele compreendera plenamente a essência dessas questões. Entretanto, ele somente publicou suas descobertas em (Cálculo Diferencial, nome dado pelo próprio Leibniz) e em (Cálculo Integral, nome sugerido por Jean Bernoulli). Leibniz criou o sistema binário de numeração e foi um gênio multidisciplinar. Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716)

NEWTON Durante alguns anos, não houve qualquer reação de Newton reivindicando a prioridade na invenção do Cálculo. Entretanto, à medida que Leibniz foi ficando mais conhecido, matemáticos ingleses começaram a defender Newton como o verdadeiro inventor, com base em seus documentos de A questão polarizou os matemáticos europeus, que se dividiram entre os pró-Newton e os pró-Leibniz. A lamentável polêmica prolongou-se por longos anos e nela ambas as partes tiveram comportamentos indignos dos verdadeiros filósofos-cientistas. Hoje há consenso de que ambos inventaram o Cálculo independentemente e merecem compartilhar a glória decorrente. No mesmo ano em que Leibniz publicou seu primeiro trabalho sobre o Cálculo Diferencial, 1684, Newton deu um novo rumo a sua vida de cientista. Na Física, o tema do momento era encontrar explicações para as chamadas Leis de Kepler. Newton, em 1666, já percebera a Lei da Gravitação Universal mas nada publicara e o assunto estava sendo estudado em Londres por pelo menos três importantes físicos / matemáticos: Edmond Halley, Robert Hooke e Christopher Wren. Não conseguindo avançar, resolveram consultar Newton e, para tanto, Halley fez uma célebre viagem a Cambridge. Nessa conversa, Newton relatou que provara, muitos anos antes, que as órbitas elípticas dos planetas decorriam de uma força de atração inversamente quadrática. Halley, entusiasmado, estimulou Newton a escrever sobre suas descobertas na Mecânica Celeste. Teve início, então, a redação do célebre Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, por muitos considerado o mais influente livro científico de todos os tempos.

NEWTON O livro foi publicado, em três volumes, em e mudou o curso da Ciência. Sua estrutura lógico-dedutiva, partindo de alguns poucos axiomas, é análoga à dos Elementos, de Euclides. Ele contém proposições, em cujas provas foram usadas apenas a noção de limite, a Álgebra e a geometria das Secções Cônicas. Não foi usado o Cálculo. Em 1696, Newton foi convidado a ser diretor da Casa da Moeda da Inglaterra, que vivia uma grande crise inflacionária. Também como administrador público, Newton desempenhou-se muito bem, tendo substituído o meio circulante, eliminado as fraudes e enforcado alguns falsários. Ele foi, também presidente da Royal Society, a sociedade dos sábios ingleses. Em 1705, a rainha Anne alçou-o à nobreza, com o grau de Cavaleiro do Império Britânico. Newton morreu de velhice, em 1727, e está enterrado em lugar de destaque na Abadia de Westminster.

Os Principia Mathematica, nos moldes dos Elementos, de Euclides

EULER, “O MESTRE DE TODOS NÓS”
As descobertas de Newton e Leibniz inspiraram uma verdadeira legião de matemáticos do século XVIII. Muitos deles foram verdadeiramente grandes e deixaram seus nomes na História mas uma figura agigantou-se dentre todos os demais: o suíço Leonhard Euler. Leonhard Euler (1.707 – 1.783)

EULER, “O MESTRE DE TODOS NÓS”
Euler nasceu em 1707, quando a exploração das potencialidades do Cálculo estava em seu início, e foi o gênio certo, no momento certo, no local certo. Captando o espírito matemático de seu tempo, ele expandiu a Matemática em praticamente todas as direções, inclusive criando vários ramos que sequer haviam sido vislumbrados por seus antecessores. Euler dominou o cenário mundial das Ciências Exatas durante sua vida produtiva e é, de longe, o matemático que mais obras produziu em todos os tempos. A coleção completa de seus trabalhos, chamada Opera Omnia e compilada no século XX, contém 73 grandes volumes, totalizando páginas dos 900 livros e estudos que escrevera. Euler era dotado de memória prodigiosa, sabia de cor tabelas de primos, quadrados, cubos, logaritmos e funções trigonométricas. Além disso, era um gênio lingüístico, dominando diversos idiomas. Euler escreveu sobre Álgebra, Geometria, Teoria dos Números, Topologia, Cálculo, Equações Diferenciais, Astronomia, Mecânica, Engenharia, Acústica, etc. Diziam que ele era “a encarnação da Análise” e que “calculava com a mesma facilidade com que as pessoas respiram e as águias pairam no ar”. Na Matemática elementar ele notabilizou-se por contribuições como:

1 n — 1 - Profundos estudos sobre o célebre limite e = lim ( )n para n → ∞ 2 - Teoria dos Números Complexos, onde demonstrou, por exemplo, que todo complexo não nulo tem n raízes enésimas (n inteiro positivo) ou que eiθ = cos θ + isen θ 3 - Consolidação da simbologia utilizada atualmente, tendo criado vários símbolos como i para a raiz de -1, Σ para a somatória, f(x) para representar a função de uma variável, ( ) para as combinações de m elementos n a n, etc. Foi Euler, também, quem consagrou o símbolo π para a célebre constante da circunferência, proposta em 1706 pelo inglês William Jones. 4- Descoberta de belos teoremas geométricos que haviam escapado aos gregos. m n — Euler perdeu a vista esquerda aos 28 anos e ficou totalmente cego durante os últimos 18 anos de vida. Mesmo cego, produziu importantes obras na Física e na Matemática. Euler era uma pessoa muito afável, modesta e generosa. Trabalhou por décadas para os czares da Rússia, em São Petersburgo, e para o imperador da Alemanha, em Berlim. Teve 13 filhos e dizia-se que ele “jamais procurou impressionar as pessoas com aquilo que sabia: ele apenas desejava ser compreendido”. O grande Laplace dizia a seus alunos: “Leiam Euler! Leiam Euler! Ele é o mestre de todos nós!”

GAUSS, “O PRINCIPE DOS MATEMÁTICOS”
Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), juntamente com Arquimedes (século III a.C.) e Newton (século XVII), integra o Triunvirato Supremo da Matemática. Suas contribuições foram inovadoras, importantes, rigorosas, profundas e variadas. Ainda em vida era chamado de Titã, Colosso de Rodes ou O Príncipe dos Matemáticos. Carl Friedrich Gauss (1.777 – 1.855)

Nascido em uma família humilde, filho de um trabalhador braçal, seu talento matemático manifestou-se muito precocemente. Aos três anos já corrigia as contas feitas pelo pai e aos 9 surpreendeu o professor ao somar em poucos instantes os inteiros de 1 a 100. Seus dotes valeram-lhe o patrocínio do Duque de Brunswick, que financiou seus estudos desde os 14 anos até diplomar-se e obter um emprego. Também um gênio lingüístico e apaixonado pela Filologia, somente decidiu-se pela Matemática aos 19 anos quando, em 29 de março de 1796, realizou uma façanha de proporções históricas: mostrou que o polígono de 17 lados é construtível com régua e compasso. Aos 21 anos Gauss doutorou-se pela Universidade de Helmstedt. Sua tese foi a demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra: Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no campo complexo, pelo menos uma raiz (do que decorre que ela tem n raízes, sendo n o grau da equação). Este importantíssimo teorema havia sido conjecturado havia muito tempo. Vários grandes matemáticos, como Euler e D´Alembert, haviam tentado, sem sucesso, prová-lo. Gauss desenvolveu ainda mais a Teoria dos Números Complexos, concluindo o trabalho iniciado por Euler.

Na mesma época de seu doutoramento, ele escreveu um de seus mais célebres livros, o Disquisitiones Arithmeticae, sobre a Teoria dos Números, área onde Gauss é considerado o maior especialista de todos os tempos. Gauss foi o criador da Teoria dos Erros, ferramenta matemática importantíssima nas pesquisas das Ciências Naturais. Ele foi, também, um grande astrônomo e deixou importantes contribuições no estudo dos fenômenos elétricos. Ele construiu um telégrafo anos antes de Samuel Morse. Os importantes trabalhos de Gauss na Geometria Diferencial foram cruciais para a formulação das modernas teorias físicas sobre o movimento e a Gravitação. Gauss foi, também, primeiro matemático a desenvolver um sistema coerente de Geometria em que o postulado das paralelas tem formulação diferente da utilizada por Euclides. Entretanto, ele jamais publicou esses estudos. A expressão “Geometria não-Euclidiana” foi criada por ele.

NIELS ABEL E ÉVARISTE GALOIS
As equações do terceiro e quarto graus foram resolvidas algebricamente na primeira metade do século XVI. Por muito tempo, acreditou-se que as soluções algébricas das de outros graus, como o quinto, seriam encontradas à medida que avançassem as pesquisas. O desenvolvimento da Teoria dos Números Complexos e a demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra aumentaram as esperanças. Entretanto, mais de 250 anos haviam se passado desde que Ferrari resolvera as equações do 4° grau e nada havia sido conseguido sobre as do 5°. Em vista disso, por volta de 1800, o matemático italiano Paolo Ruffini (1765 – 1822) conjecturou que, talvez, não houvesse caminho algébrico para resolvê-las, o que não é intuitivo porque, afinal, sabemos que as raízes existem. A prova desse surpreendente fato coube, independentemente, a dois jovens gênios cujas vidas forma marcadas por tragédias. O primeiro a fazê-lo foi o norueguês Niels Henrik Abel (1802 – 1829).

Niels Henrik Abel (1.802 – 1.829) Em 1823 Abel provou que “exceto em casos particulares, é impossível resolver as equações gerais de grau acima do 4° utilizando-se apenas um número finito de operações algébricas (soma, subtração, multiplicação, divisão, potenciação inteira e radiciação)”. Abel morreu em extrema pobreza, aos 26 anos, de tuberculose, e jamais conseguiu um emprego.

O segundo matemático a provar o mesmo fato, por um caminho totalmente diferente, foi o francês Évariste Galois. Galois foi um gênio precoce e aos 18 anos criou a Teoria dos Grupos, dentro da qual a prova daquela impossibilidade torna-se bem mais fácil. Galois morreu antes de completar 21 anos, em um duelo. Sua obra só foi compreendida décadas depois de sua morte. Évariste Galois (1.811 – 1.832)

GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
O Postulado das Paralelas, tal como formulado por Euclides, despertou dúvidas entre os geômetras já no tempo dos antigos gregos. Alguns acreditavam que ele era um teorema, demonstrável com base nos quatro outros postulados. Posidônio e Gemino (século I a.C.) tentaram fazê-lo, sem sucesso. O mesmo ocorreu com Cláudio Ptolomeu (século III a.C.), Proclo (século V), Nasir ed-din (século XIII), John Walis (século VXII), Legendre (século XVIII) e outros. Na tentativa de demonstrá-lo por absurdo, Saccheri (1667 – 1723) e Lambert (1728 – 1777) acabaram, sem se dar conta, descobrindo alguns teoremas não-euclidianos, ou seja, teoremas de uma geometria onde o conceito de paralelismo é outro. Entretanto, jamais acreditaram que uma tal geometria fosse possível. O primeiro matemático a admitir outro conceito de paralelismo e sobre ele construir uma geometria diferente da de Euclides foi Gauss, por volta de Entretanto, temendo não ser compreendido ou entrar em polêmicas, ele nada publicou sobre suas descobertas. Anos mais tarde, depois de tentar infrutiferamente demonstrar o Postulado das Paralelas, o matemático russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1793 – 1856) chegou à conclusão que era possível admitir outra formulação para aquele postulado e construiu um novo tipo de geometria, análoga à criada por Gauss.

Suas descobertas foram anunciadas em 1826, em uma conferência na Universidade de Kasan, e publicadas em mas ninguém deu-lhe crédito. Somente depois de 1840, quando escreveu em Alemão e foi lido por Gauss, é que seu trabalho foi reconhecido. Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1.793 – 1.856) Sem saber o que estava acontecendo na Rússia, o matemático húngaro János Bolyai (1802 – 1860), independentemente, fez estudos análogos e também construiu por volta de uma geometria essencialmente igual à de Lobachevsky. Seu trabalho, entretanto, só foi publicado em 1832.

János Bolyai (1.802 – 1.860) Na geometria de Gauss – Lobachevsky – Bolyai as paralelas são assintóticas entre si, por um ponto fora de uma reta passam duas paralelas a ela, a soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 2 retos, etc. Tal geometria é conhecida por Geometria Hiperbólica. Três décadas depois de Bolyai e Lobachevsky, o matemático alemão Georg Bernhard Riemann (1826 – 1866) mostrou que é possível construir um terceiro tipo de geometria, onde as retas são linhas fechadas, onde por um ponto fora de uma reta não passa nenhuma paralela a ela e onde a soma dos ânulos internos de um triângulo é maior do que 2 retos.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1.826 – 1.866) A geometria de Riemann é chamada de Geometria Elíptica e é muito usada na Cosmologia moderna. A descoberta das Geometrias não-Euclidianas chamou a atenção dos matemáticos para a crucial importância dos fundamentos da Matemática e do rigor com que as premissas devem ser analisadas. Muito trabalho foi dedicado no século XIX sobre a axiomática, não só da Geometria mas dos demais ramos da Matemática. Os próprios cálculos Diferencial e Integral tiveram suas bases rigorosamente revisadas, em especial a definição de Limite.

NÚMEROS ALGÉBRICOS E NÚMEROS TRANSCENDENTES
Os primeiros irracionais descobertos pelos matemáticos correspon-diam a raízes de índices inteiros de números racionais. Tais números, evidentemente, elevados a certas potências inteiras, tornam-se racionais. A raiz de 2, por exemplo, elevada a qualquer potência par, torna-se um número racional. Foi Euler, ao pesquisar as propriedades do número e, quem primeiro constatou que existem números que, mesmo elevados a qualquer potência racional, permanecem irracionais. Euler conjecturou, então, que os números irracionais poderiam pertencer a categorias ou tipos diferentes. Foi em 1844 que o matemático francês Joseph Liouville confirmou a suspeita de Euler, criando uma família de números que não podem ser raízes de uma equação algébrica de coeficientes racionais. Esse tipo de número recebeu o nome de “transcendente”, porque eles transcendem os limites da Álgebra, em contraste com os demais, chamados algébricos, que podem ser raízes de equações algébricas. Aquelas equações, portanto, dividem os reais em duas categorias. Todo transcendente, é claro, é irracional. Com bastante esforço, conseguiu-se provar que os célebres ‘e’ e ‘π‘ são transcendentes.

AS IMPOSSIBILIDADES DOS TRÊS PROBLEMAS CLÁSSICOS
Os Três Problemas Clássicos (Quadratura do Círculo, Trissec-ção do Ângulo e Duplicação do Cubo, utilizando apenas a régua e o compasso), foram levantados por volta do século IV a.C. mas dois milênios se passaram até serem definitivamente esclarecidos. Foi em 1837 que um jovem matemático francês, Pierre Laurent Wantzel (1814 – 1848) provou, por argumentos algébricos, que a Trissecção do Ângulo e a Duplicação do Cubo são impossíveis. Wantzel provou, também, que todos os números construtíveis são raízes de equações algébricas de grau 2n. Somente em o alemão Ferdinand Lindemann (1852 – 1939) provou que π é um número transcendente, portanto não pode ser raiz de uma equação de grau 2n, portanto não é construtível e a quadratura do círculo apenas com régua e compasso é impossível.

NÚMEROS TRANSFINITOS A idéia de “infinito” fascinou filósofos e matemáticos já no início da Matemática dedutiva. O filósofo Zenão, de Eléia (circa a.C.), por exemplo, produziu com ela alguns paradoxos muito interessantes. Os Cálculos Diferencial e Integral também foram desenvolvidos com base na idéia de incrementos “infinitamente pequenos” ou somas de “infinitas parcelas”. Entretanto, somente no século XIX um matemático, Georg Cantor (1845 – 1918), consegui tratar as infinidades de forma verdadeira-mente matemática. Georg Cantor (1.845 – 1.918)

NÚMEROS TRANSFINITOS A idéia de Cantor foi simples: ele tomou a infinidade dos números naturais como uma espécie de “unidade de medida das infinidades” e comparou outros conjuntos de infinitos elementos com ela. Sempre que um conjunto de infinitos elementos pode ser colocado em correspondência biunívoca com o conjunto dos naturais, ele é chamado “enumerável” ou “contavelmente infinito”. Ao conjunto dos naturais, Cantor associou um número “transfinito” a que ele chamou de Alef–Zero, a menor das infinidades. Ele provou que existe uma “hierarquia de infinidades”, Alef–1, Alef–2, etc. Ele mostrou, também, que os números racionais e os algébricos são enumeráveis, ou seja, há tantos racionais ou algébricos quanto naturais, o que não é intuitivo. Ele mostrou que existem tantos pontos em um segmento de reta quanto em um quadrado. Entretanto, os reais e os transcendentais não são contáveis, ou seja, são mais abundantes do que os naturais.

A MATEMÁTICA CONTEMPORÂNEA
As pesquisas matemáticas atualmente se fazem em áreas muito sofisticadas, somente acessíveis aos especialistas. Alguns temas tratados pelos matemáticos do século XX, entretanto, podem ser explicados de maneira simples. O primeiro deles foi a questão dos fundamentos lógicos da Matemática e de seus axiomas. A Geometria (por David Hilbert) e a Aritmética (por Giuseppe Peano), por exemplo, foram colocadas em bases sólidas, através da formulação de conjuntos de seus respectivos axiomas. As profundas pesquisas realizadas modernamente no campo da Axiomática, entretanto , acabaram por produzir uma descoberta desconcertante, feita pelo lógico-matemático Kurt Gödel, em 1931: “Em qualquer sistema axiomático formal consistente da Aritmética existem sempre proposições cuja veracidade ou falsidade não podem ser provadas a partir dos axiomas do sistema”. Significa que todo sistema axiomático consistente da Matemática é necessariamente incompleto e que sempre serão encontradas proposições cuja veracidade ou falsidade é impossível provar. É o chamado Teorema da Incompletude.

Outro campo em que a Matemática contemporânea vem trabalhando intensamente e com muito sucesso são as aplicações no desenvolvimen-to tecnológico. Telecomunicações, Informática, Astronáutica, Eletro-Eletrônica e Engenharia em geral avançaram rápida e admiravelmente no século XX graças ao trabalho de legiões de matemáticos anônimos espalhados em centros de pesquisa de universidades e empresas privadas dos países desenvolvidos do mundo. Alguns desses matemáticos destacaram-se dos demais e merecem ser citados; James Clerk Maxwell ( ) Claude Shannon ( )

Charles Babbage ( ) Alan Turing ( )

John von Neumann ( )

GRANDES MULHERES DA MATEMÁTICA
Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil ( ), Mme. Du Châtelet

Maria Gaetana Agnesi ( ) e seu célebre livro

Sophie Germain ( )

Mary Fairfax Somerville ( )

Sofia Kovalevskaia ( )

Amalie Emmy Noether ( )

Siméon-Denis Poisson (1.781 - 1.840)
“A VIDA É BOA POR DUAS COISAS: DESCOBRIR MATEMÁTICA E ENSINAR MATEMÁTICA”

GRANDES MOMENTOS DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
Gilberto Geraldo Garbi

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