A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

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1 A RETA Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.

2 “Determinação de uma reta no plano”.
ESTUDO DA RETA “Determinação de uma reta no plano”. B(x,y) A(x,y) Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos A e B de uma reta, podemos representá-la no plano cartesiano, pois dois pontos distintos determinam uma reta.

3 “Equação geral da reta no plano cartesiano”.
ESTUDO DA RETA “Equação geral da reta no plano cartesiano”. B(x,y) C(x,y) A(x,y) Dados os pontos A,B e C, pertencentes a uma reta r, pela condição de alinhamento de três pontos, o determinante formado por esses pontos vale zero ( D=0)

4 Equação geral da reta, determinada por dois pontos
ESTUDO DA RETA Equação geral da reta, determinada por dois pontos Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : ax + by + c = 0   que é chamada equação geral da reta r

5 Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4)
ESTUDO DA RETA Exemplo Determinar a equação da reta que passa por A(1,3) e (2,4) Desenvolvendo o determinante obtemos: a equação : 1x -1y + 2 = 0   que é chamada equação geral da reta r

6 “Equação reduzida da reta”.
ESTUDO DA RETA “Equação reduzida da reta”. Da equação geral da reta ax + by + c = 0, obtemos a equação reduzida da reta y = mx + k, onde m é o coeficiente angular da reta e k coeficiente linear da reta, ou a equação na forma y = ax + b. (a é o coeficiente angular e b coeficiente linear).

7 ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação reduzida da reta”. 6x-3y-12=0 Y=
Da equação geral 6x-3y-12=0 Y= 2.x - 4 obtemos a equação reduzida da reta: Cuja representação gráfica é Onde: c.a =2 m=2 c.l =- 4 - 4

8 Equação segmentária da reta obtemos a equação segmentária da reta:
ESTUDO DA RETA Equação segmentária da reta ax+by+c=0 Da equação geral obtemos a equação segmentária da reta: ax/c +by/c= c/c x/p + y/q=1 Graficamente temos: p q

9 ESTUDO DA RETA Exemplo de equação segmentária da reta”. 6x-3y-12=0
Da equação geral obtemos a equação segmentária da reta: 6x-3y= 12 6x/12 - 3y/12= 12/12 x/2 + y/ - 4=1 Graficamente temos: 2 - 4

10 “Equação paramétrica da reta”.
ESTUDO DA RETA “Equação paramétrica da reta”. Quando um ponto qualquer P(x , y) de uma reta vem com suas coordenadas x e y expressas em função de uma terceira variável t (denominada parâmetro), nós temos nesse caso as equações paramétricas da reta. Se x= f(t) e y = g(t) onde f e g são funções de 1º grau. Nestas condições , para se encontrar a equação geral da reta , basta se tirar o valor de t em uma das equações e substituir na outra .

11 ESTUDO DA RETA “Exemplo de equação paramétrica da reta”.
Dados os pontos X= 2.t+1 e Y= t+3 Coordenadas do ponto P(x,y) Isolando “t” em y temos: t = y- 3 Substituindo “t” em x temos: x = 2.(y- 3)+1 Organizando, obtemos a equação geral x-2y+5=0 Obs: existe outra forma de obtermos a equação geral, em uma equação paramétrica

12 “Equação fundamental da reta”.
ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. Equação da reta r que passa pelo ponto P(x,y) e tem coeficiente angular m P(x,y) ()

13 “Equação fundamental da reta”.
ESTUDO DA RETA “Equação fundamental da reta”. A equação y – yo = m (x – xo) onde (xo,yo) é um ponto conhecido e m é o coeficiente angular da reta, é chamada equação fundamental da reta

14 ESTUDO DA RETA Exemplo aplicação da equação fundamental da reta e
A equação da reta que passa por P(2,3) Tem coeficiente angular m =-2 é y- 3=-2(x- 2) 3 m =-2 2 Equação geral:2.x+y-7=0

15 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA O coeficiente angular de uma reta ( m )é um número real “a” que representa a sua inclinação (). Por definição, temos que: m= a = tg  São quatro as possibilidades para o coeficiente angular:

16 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é agudo  a > 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular positivo.

17 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  é obtuso  a < 0 Neste caso a reta tem um coeficiente angular negativo.

18 COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA
ESTUDO DA RETA COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA  = 0º ou 180º  a = 0  = 90º  a não existe Neste caso a reta tem um coeficiente zero. Neste caso a reta não tem coeficiente angular

19 Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0
ESTUDO DA RETA Determinação do Coeficiente angular na equação Dada a equação geral ax+by+c=0, podemos determinar o coeficiente angular através da expressão. -a Exemplo m = b Qual o “c.a” na equação 3x-2y+5=0 - 3 3 m = m = -2 2

20 Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10)
ESTUDO DA RETA Determinação do Coeficiente angular entre dois pontos Dados os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), o coeficiente angular da reta que passa por esses pontos é representado por: yb-ya m = xb-xa Qual o “c.a” da reta que passa por A(3,6) e B(5,10) Exemplo 10 - 6 4 2 m = m = m = 5 - 3 2

21 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS Em relação ao plano cartesiano, as retas podem ocupar várias posições, posições estas que determinam nomes e propriedades particulares. Veremos aqui a algumas delas .... RETAS PARALELAS RETAS CONCORRENTES RETAS PERPENDICULARES

22 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS RETAS PARALELAS: retas paralelas tem os mesmos coeficientes angulares RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes. RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º.

23 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS
ESTUDO DA RETA POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS RETAS PARALELAS: tem os coeficientes angulares iguais (m1 = m2) m1 m2

24 ESTUDO DA RETA POSIÇÕES DAS RETAS
RETAS CONCORRENTES: tem os coeficientes angulares diferentes (m1 diferente de m2) m2 m1

25 ESTUDO DA RETA POSIÇÕES DAS RETAS Formam entre si ângulo de 90º
RETAS PERPENDICULARES: Formam entre si ângulo de 90º O produto entre os coeficientes angulares vale -1 (m1 . M2 = -1)

26 DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
ESTUDO DA RETA DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA Dado um ponto P(X,y) e uma reta r: ax+by+c=0, a distância entre o ponto e a reta é representada por: dp,r * P(x,y)

27 ESTUDO DA RETA Ângulo entre Retas Ângulo formado por duas retas
Sendo mr e ms os coeficientes angulares das retas r e s respectivamente , a tangente do ângulo agudo formado pelas retas é dado por : r s mr ms

28 Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva
BIBLIOGRÁFIA Livro de matemática volume 3 editora Moderna , autor Manoel Paiva Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.